Autor Tema: Probabilidad decreciente

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06 Noviembre, 2019, 07:53 pm
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Quema

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Sean \( n \) variables aleatorias independientes \( X_{i},i=1,2,...,n \) con igual distribución \( P(X_{i}=a)=\displaystyle\frac{1}{a} \) y \( P(X_{i}=0)=\displaystyle\frac{a-1}{a}, \) para \( n\geq{}k\geq{}1,a=\displaystyle\frac{n+1}{k}. \)

Entonces

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{}\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i} \) es decreciente en \( n. \)

06 Noviembre, 2019, 11:54 pm
Respuesta #1

Ricardo Boza

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Hola,

Sean \( n \) variables aleatorias independientes \( X_{i},i=1,2,...,n \) con igual distribución \( P(X_{i}=a)=\displaystyle\frac{1}{a} \) y \( P(X_{i}=0)=\displaystyle\frac{a-1}{a}, \) para \( n\geq{}k\geq{}1,a=\displaystyle\frac{n+1}{k}. \)

Entonces

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{}\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i} \) es decreciente en \( n. \)

Seguramente sea \( P(X_{i}=1)=\displaystyle\frac{1}{a} \).

En tal caso, \( X \) sigue una distribución binomial.

\( P(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)} \)

o en tu notación

\( P(X=i)=\displaystyle\binom{n}{i}p^i(1-p)^{(n-i)} \)

\( p=\dfrac{1}{a}=\dfrac{k}{n+1} \)

\( 1-p=\dfrac{n+1-k}{n+1} \)

\( P(X=i)=\displaystyle\binom{n}{i}(\dfrac{k}{n+1})^i(\dfrac{n+1-k}{n+1})^{(n-i)} \)

\( F(k-1)=P(X\leq k-1)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}P(X=i)=f(n) \)

\( f(n) \) decreciente si se da: \( n_1<n_2\Longrightarrow f(n_1)>f(n_2) \), lo cual ocurre si se da que para cada término de ambas sumas (\( k \) con mi notación, sin relación con lo anterior): \( P_1(X=k)>P_2(X=k) \), para una misma \( p \) y un mismo \( k \).

Lo anterior sucede si y sólo si \( \displaystyle\binom{n_1}{k}p^k(1-p)^{(n_1-k)}>\displaystyle\binom{n_2}{k}p^k(1-p)^{(n_2-k)}\Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow \dfrac{(n_2-k)!}{(n_1-k)!}>\dfrac{n_2!}{n_1!}\, (1-p)^{n_2-n_1} \)

Aplicando el principio de inducción:

\( \dfrac{(n_2-k+1)(n_2-k)!}{(n_1-k+1)(n_1-k)!}>\dfrac{(n_2+1)\, n_2!}{(n_1+1)\, n_1!}(1-p)^{n_2+1-n_1 - 1} \)

Usando la hipótesis de inducción, se deduce que lo anterior es cierto si y sólo si es cierto:

\( \dfrac{n_2-k+1}{n_1-k+1}>\dfrac{n_2+1}{n_1+1} \)

Llamando \( n_2+1=x \) y \( n_1+1=y \):

\( \dfrac{x-k}{y-k}>\dfrac{x}{y}\Longleftrightarrow xy-ky<xy-kx\Longleftrightarrow y<x\Longleftrightarrow n_1<n_2 \), que se tiene por hipótesis.


\( \therefore  \: f(n) \) es decreciente.


Con este gráfico de Wikipedia y las funciones de distribución binomiales azul y roja tienes un ejemplo de que efectivamente ocurre así.



Saludos.

07 Noviembre, 2019, 11:28 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Bobby Fisher no está bien lo que haces porque tal como se ha planteado el problema las probabilidad \( p \) varían con \( n \):

\( p=\dfrac{k}{n+1} \)

 Y en ese caso no es tan sencillo. Por que aunque si es cierto que \( f(n) \) es decreciente no es cierto que lo sean todos los sumandos que aparecen en el sumatorio.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 12:44 pm
Respuesta #3

Ricardo Boza

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Vale, gracias por haber revisado y visto mi error. De la otra forma no sé hacerlo.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 01:13 pm
Respuesta #4

Quema

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Además,

\( P(X_{i}=a)=\displaystyle\frac{1}{a} \) de forma que la esperanza sea uno.

07 Noviembre, 2019, 01:17 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Me despista un poco el enunciado. ¿Se trata de probar que para todo \( k \) entero, positivo y menor que \( n+1 \)

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{}\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i} \) es decreciente en \( n. \)
?

No entiendo el porqué de lo de las variables aleatorias del principio

07 Noviembre, 2019, 01:23 pm
Respuesta #6

Quema

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Si, para todo \( k \) (creo que debe ser entero) tal que \( n\geq k \geq 1. \)

Además, \( p \) se mueven en relación inversa con \( n \) y la función de distribución debe ser no decreciente respecto a \( p \) de ahí no implica que \( f(n) \) deba ser decreciente?

07 Noviembre, 2019, 01:25 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Hola.

Me despista un poco el enunciado. ¿Se trata de probar que para todo k

\( f(n)=\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{}\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i} \) es decreciente en \( n. \)
?

No entiendo el porqué de lo de las variables aleatorias del principio

Entiendo que era \( P(X_i=1) \) ese \( f(n)  \)es la probabilidad de que \( X_1+X_2+\ldots+X_n\leq k-1 \). Aunque ciertamente no es imprescindible tener en cuenta eso.

Saludos.

07 Noviembre, 2019, 01:32 pm
Respuesta #8

Quema

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Cuidado que en el enunciado dice \( P(X_{i}=a)=\displaystyle\frac{1}{a}. \)

07 Noviembre, 2019, 01:35 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Cuidado que en el enunciado dice \( P(X_{i}=a)=\displaystyle\frac{1}{a}. \)

Sea como sea eso es indiferente, ya que no influye para nada en como has definido \( f(n). \)

En ese caso sería:

\( P(X_1+X_2+\ldots+X_n\leq (k-1)a) \)

Saludos.