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Mensajes - Luis Fuentes

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Geometría y Topología / Re: Típico y bonito
« en: 24 Marzo, 2006, 08:56 am »
Hola


Una solución dibujada




 (contenía una errata apuntada por teeteto y que ha sido corregida: gracias!)
[cerrar]

Saludos.

48842
Hola

 Bueno tu contraejemplo teeteto, más simple imposible. Aunque de momento no me saltes a tres dimensiones, que las alturas me marean. Cambiemos el tetraedro por el triángulo equilátero.  ;)

 En cuanto a tu "preguntita". Bufffff, menuda pregunta!!!!. No parece fácil (a mi). En cualquier caso y para poder seguir la cadena voy a dar una caracterización, que más que solucionar nada lo complica. Pero esto me permitirá seguir con el "juego" y al mismo tiempo darme tiempo para pensar una mejor respuesta.

 Me permitirán que me divierta un poco con la notación.

 Llamaré "sucesión de León" a una sucesión de puntos construida como nos explica León.  :D

 Diré que una "sucesión de León" es "buena" si cumple la propiedad del límite que indicó León.

 Diré que un conjunto cerrado acotado es "ilusionante" si toda sucesión de León es buena.

 Diré que un conjunto cerrado acotado es "frustrante" si exsite una sucesión de León que NO es buena.

 Por último, llamaré OJO generado por dos puntos A y B a un conjunto exactamente como el de mi contraejemplo (el amarillo).

 Entiendo que tu pregunta es:

 "Caracterizar los conjuntos cerrados acotados "ilusionantes" de \( \mathbb{R}^2 \) "

 Contestaré mejor a la opuesta (pero sabida una se sabe la otra).

 "Caracterizar los conjuntos cerrados acotados "frustrantes" de \( \mathbb{R}^2 \) "

 Bien ahí voy......

 CASO 1. Supongamos que C está formado por 4 puntos. Entonces tenemos seis segmentos posibles entre puntos tomados 2 a 2. Los llamamos \( D_i  \)  y sus longitudes \( d_i \). Suponemos además los segmentos ordenados de mayor a menor: \( d_1\geq d_2\geq d_3\geq d_4\geq d_5\geq d_6 \). Entonces C es frustrante si y sólo si \( d_1>d_2 \) y los segmentos \( D_1 \) y \( D_2 \) no tienen extremos comunes.

 CASO GENERAL. Un conjunto cerrado acotado C de \( \mathbb{R}^2 \) es frustrante si y sólo si existen cuatro puntos en la frontera de C que cumplen las condiciones del caso I y el OJO generado por los extremos del segmento D_2 contiene a C.

  En fin, soy gallego. Como decimos en mi tierra "manda carallo" la caracterización. La explicación de porque esta bien (si no me he equivocado, que puede ser), la pospongo. Voy a tomar aire.

 Mi pregunta. Dada una sucesión de León, ¿existe una subsucesión \( \{a_{n_k}\} \) tal que las sucesiones \( \{a_{n_k}\} \) y \( \{a_{n_k+1}\} \) converjan?.

Saludos.

 



48843
Teoría de números / Re: Conjetura de Collatz
« en: 24 Marzo, 2006, 08:22 am »
Hola

 Esto no tiene mucho que ver con la conjetura de Collatz (aunque quien sabe...). En cualquier caso para poder trabajar con logaritmos de números negativos, hay que trabajar con logaritmos complejos. Para definir la función logaritmo hay que "decidir" en que intervalo van a tomarse los argumentos (ángulos) (\( (-\pi,\pi);  \) por ejemplo), o cualquier otro intervalo de longitud de 2\( \pi  \) que nos apetezca). Entonces la corrección de tu afirmación depende del logaritmo que estés tomando.

 Por otra parte también podría definirse logaritmo (sin ser como función) de un número complejo z, a cualquier valor x de manera que \( e^x=z \). Admitiríamos así que cada número tiene infinitos logaritmos.
 
 Esto está muy bien explicado en el libro de Variable Compleja de C. Ivorra. Hay un enlace al mismo en los enlaces del rinconmatematico.

Saludos.

48844
Hola

 Esta es una cuestión algo vieja, pero me gusta y me apetece usar el winplot otra vez.

 Entiendo que el diámetro de un conjunto compacto se define como la máxima distancia entre dos puntos cualesquiera.

 \( diametro(C)=max\{d(P,Q)|\qquad P,Q\in C\} \)

 Dicho esto. NO, NO ES CIERTO.

 Contraejemplo: (véase dibujo).



\(  a_n=A; \qquad a_{n+1}=B; \)

 Ahora otra pregunta (no si León espera que se haga una pregunta en concreto, pero yo haré esta):

Segunda pregunta: ¿Es cierto que \( \{a_{2n}\} \) y \( \{a_{2n+1}\} \) son siempre sucesiones convergentes?.

Saludos.

48845
Geometría y Topología / Re: Típico y bonito
« en: 23 Marzo, 2006, 09:06 am »
Hola

 Me "disfrazo" de Joaquin_mx:



Saludos.

48846
Geometría y Topología / Re: Típico y bonito
« en: 22 Marzo, 2006, 06:30 pm »
Hola

 Introduciendo coordenadas es inmediato. Pero sería más bonito una demostración sin utilizar coordenadas ni sucedáneos, sino con propiedades clásicas de geometría (semejanza de triángulos p.ej). Eso requiere un buen dibujo.

 El señor Joaquin_mx ha presentado aquí grandes dibujos de construcciones mucho más complejas. Le invito una vez más a ilustrar el problema.

Saludos.

48847
Topología (general) / Re: Topologías y bases
« en: 22 Marzo, 2006, 06:27 pm »
Hola juanchito topólogo:

 Una base trivial de cualquier topología siempre es la topología entera (todos los abiertos). Por tanto una base sí puede ser una topología.

Saludos.

48848
Foro general / Re: Busco una solución
« en: 22 Marzo, 2006, 04:01 pm »
Hola

 La cosa es casi más lingüística que matemática. Si la redacción exacta del reglamento es la que dijiste al principio:


Citar
Los puntos obtenidos pesarán el 35% (a esto llamamos campeonato de verano) + los puntos obtenidos pesarán 45% (campeonato de Invierno) + los puntos obtenidos pesarán 20%. (a esto llamaron Gran Final)

 No está muy bien expresado. El 35%, ¿de qué?. Lo lógico es del total de los puntos. Otra cosa no tiene mucho sentido.

 Bien, si admitimos esta interpretación, la segunda que yo te di no es aceptable por el argumento que ya expuse:

Citar
Pero esto no es muy razonable. Si dice que los puntos del campenato de verano pesan un 35% del total, la máxima puntuación en este campenato y la mínima (cero) en el resto debería de suponer que uno tiene el 35% de los puntos totales. Esto ocurre con la primera interpretación pero no con esta.

Saludos.

48849
Hola

Consideraciones generales.

 Una definición en matemáticas es poner un nombre a algo que cumpla unas determinadas condiciones. Es deseable que los matemáticos nos pongamos de acuerdo en poner el mismo nombre a las cosas que cumplen las mismas condiciones.

 La matematización de la realidad siempre es por "convención" (por conveniencia). Matematizamos la realidad como "convenga" para que las cosas "funcionen bien" (más o menos).

En particular.

  La definción de función a partir de relaciones es la que tu has dado.

  La relación definida en \( \mathbb{R}\times \mathbb{R} \)

 \( (x,y)\in f \Longleftrightarrow{} x=y^2 \)
- no es una función porque un mismo x (1) está relacionado con dos y (-1, 1).

- además si x=-1 no existe ningún y tal que \( x=y^2 \).

 Fíjate que es importante indicar donde estás considerando la relación: en \( \mathbb{\mathbb{R}\times \mathbb{ R}.} \)

 Pero si te quedas en \( \mathbb{\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+},  \) es decir, en los números positivos en las dos componentes no tendrás ese problema. La raiz positiva de un número real positivo es única. Esto te permite trabajr con la función raiz cuadrada como tal.

 Támbién podrías quedarte con los números negativos en la segunda componente. Tendrías entonces la función raiz cuadrada negativa.

 En definitiva si cambias el conjunto don de estas definiendo la relación, cambia esa relación y por tanto cambia la correspondiente función.

 Por acuerdo (aunque depende del contexto) normalmente si uno escribe la función:

\( f(x)=\sqrt[ ]{x} \)

se refiere a la raiz positiva (El acuerdo consiste en decidir que nombre  y que símbolo ponemos para referirnos una función concreta, como la denotamos)

Saludos.



48850
Cálculo 1 variable / Re: Derivada rara?¿
« en: 21 Marzo, 2006, 06:10 pm »
Hola

 Bachiller_ esta muy acertado en sus correcciones.

 Pero una cosa más para ahorrar cálculos (espero no liarte más). Tu función era:

\(
 f(x)=\displaystyle\frac{e^{x+2}}{p(x)} \)

 Donde \( p(x)=x^2-2x \). Entonces:

\(  f'(x)=\displaystyle\frac{e^{x+2}q(x)}{p(x)^2} \)

 Donde q(x)=p(x)-p'(x).

 Y tu segunda derivada:

\(  f''(x)=\displaystyle\frac{e^{x+2}(q(x)+q'(x)-2q(x)p(x)p'(x))}{p(x)^4} \)
 Pero si no me equivoco todo esto lo estas haciendo para caluclar máximos y mínimos.

 Entonces f'(x) se anula cuando q(x)=0. Y ahora te interesa saber en esos puntos el signo de f''(x). Pero si q(x)=0, en esos puntos f''(x) te queda:

\(  \displaystyle\frac{e^{x+2}q'(x)}{p(x)^4} \)

Luego únicamente tendrás que calcular el signo de q'(x)  en los puntos donde se anula q(x).

Saludos.

48851
Cálculo 1 variable / Re: Derivada rara?¿
« en: 21 Marzo, 2006, 12:07 pm »
Hola

 Perdona. De acuerdo tu función es entonces:

\(  f(x)=\displaystyle\frac{e^{x+2}}{x^2-2x} \)

 y efectivamente la primera derivada es

\(  f'(x)=\displaystyle\frac{e^{x+2}(x^2-4x+2)}{(x^2-2x)^2} \)

 La segunda derivada creo que la tienes errónea (digo creo porque me cuesta leer la notación sin LaTeX).

 Debe de dar:

 \( f''(x)=\displaystyle\frac{(e^{x+2}(x^2-4x+2))'(x^2-2x)^2-e^{x+2}(x^2-4x+2)((x^2-2x)^2)'}{(x^2-2x)^2} \)

En concreto tu problema está en la derivada:

\( ((x^2-2x)^2)' \) que debe de dar \( 2(x^2-2x)(2x-2) \)
y creo que te has "comido" el factor \( (x^2-2x) \).

Esto te permitirá simplificarlo "arriba" y "abajo" en la fracción.

 Por otra parte ahora \( e^{x+2} \) nunca se anula porque la exponecial (real) siempre toma valores positivos.

Saludos.

48852
Cálculo 1 variable / Re: Derivada rara?¿
« en: 21 Marzo, 2006, 08:33 am »
Hola

 Si tu función era:

\(  f(x)=\displaystyle\frac{e^x+2}{x^2+2x} \)

 Creo que YA tu primera derivada esta mal. Revisa bien tus cuentas. Ten en cuenta que

\(  f'(x)=\displaystyle\frac{(e^x+2)'(x^2+2x)-(x^2+2x)'(e^x+2)}{(x^2+2x)^2} \)

 Cuidado con calcular bien la derivada de \( (e^x+2). \). Haz los cálculos con calma que seguro que sabes derivar bien.

 Por otra parte para resolver la ecuación e^x+2=0 podrías recurrir a logaritmos. En general:

\(  e^x-a=0 \Longleftrightarrow{} x=\ln(a) \)

Sin embargo en tu caso ln(-2) no existe, por lo que la ecuación NUNCA se anula. Para razonar esto simplemente ten en cuenta que \( e^x \) siempre es positivo y si le sumas 2 sigue siendo positivo.

Saludos.



48853
Foro general / Re: Busco una solución
« en: 21 Marzo, 2006, 08:22 am »
Hola

 Francamente para mí la interpretación más lógica es la que te he dado.

 Otra forma (pero para mi ilógica, e inculso diría que incorrecta) sería pensar lo siguiente.

 Los puntos del campeonato A valen 0.35. Los del campeonato B, valen 0.45. Los del C valen 0.10. Por tanto la puntuación total sería:

 TOTAL=0.35*A+0.45*B+0.10*C

 Hasta un máximo de 0.35*30+0.45*40+0.10*20=30.5 puntos.

 Pero esto no es muy razonable. Si dice que los puntos del campenato de verano pesan un 35% del total, la máxima puntuación en este campenato y la mínima en el resto debería de suponer que uno tiene el 35% de los puntos totales. Esto ocurre con la primera interpretación pero no con esta.

 Puedes econtrar sitios donde se halbe del "peso" desde este punto de vista si buscas en el google "media ponderada".

Saludos.
 

48854
Hola

 Mejor que explicarlo yo, puedes consultarlo aquí:


http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/polireg5.htm


 Por cierto: no puede verificar que está bien porque me va muy lenta la conexión hoy. Pero la página es del MEC (Ministerio de Educación y Ciencia español) y me da confianza

 De todas formas viene explicado en más sitios por internet. A buscar!!!

Saludos.

48855
Foro general / Re: Busco una solución
« en: 19 Marzo, 2006, 08:53 pm »
Hola

 Entiendo que seria así (aunque caben más intepretaciones).

 A = Puntos en campeonato de verano.
 B = Puntos en campeontato de invierno.
 C = Puntos en gran final:

\(  TOTAL= 35*\frac{A}{30}+45*\frac{B}{40}+20*\frac{C}{10} \)

donde el TOTAL es un número entre 0 y 100.

Saludos.
 

48856
Hola

 Pensemos en la idea de tangente a una curva en un punto P. Intuitivamente se trata de un límite de rectas secantes que pasan por dos puntos A y B de la curva, a medida que ambos se acercan a P.

 La cuestión es, cómo se acercan los puntos A Y B al punto P donde queremos calcular la derivada.

 La función es derivable, si la recta tangente así definida no depende de cómo los puntos A y B se acerquen a P.

 Si la función es derivable con la definición usual, es decir,  existe el límite

\(  \displaystyle\lim_{h \to{+}0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}} \)

entonces cualquier par de sucesiones \( a_n,b_n \) que converjan a \( x_0 \) nos darán el mismo límite. En particular también si cogemos puntos igualmente distanciados de \( x_0 \) (la segunda definición de patricia).

 La función valor absoluto de nuevo da un buen ejemplo de que ocurre si nos acercamos a 0 de distintas formas.

 Podemos pensar en los límites:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} \)

 Pero por ejemplo también:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{3h} \)

ó también:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\dfrac{f(x_0+3h)-f(x_0-h)}{4h} \)

etcétera

obteniendo diferentes "tangentes=secantes límites" (un dibujo ilustraría muy bien cada caso).

Saludos.

48857
Propuestos por todos / Re: Doblando una tira de papel
« en: 19 Marzo, 2006, 12:32 pm »
Hola

 Esbozo adjunto.

Saludos.

48858
Hola

 OJO.EL problema no es sólo el dominio de definición.

 La derivada es la pendiente de la tangente.

 La tangente es límite de secantes, pero secantes pasando por el punto \( x_0 \) fijo donde estás calculando la derivada. Es decir tomas rectas por \( x_0 \) y \( x_0+h \), de manera que h se va acercando a 0.

 Piensa qué ocurre con la función valor absoluto de x, en el 0. Fíjate qué ocurriría si aplicases tu definición de derivada. Compara qué ocurre con la definición usual.

Saludos.



48859
Cálculo 1 variable / Re: Polinomios
« en: 18 Marzo, 2006, 10:12 am »
Hola

 A ver lo que me refiero es lo siguiente. Evidentemente para comparar los dos polonimios los desarrollamos con la fórmula del binomio de Newton y listo.

 Yo entendí que se trataba de no hacer tantas cuentas y traté de pensar alguna alternativa.

 Lo de las derivadas no ahorra cuentas.

 Si ahorra cuentas lo siguiente:

 \( b(x)=2(x^3-2x^2)^5 \)

 Los coeficientes del binomio de Newton de grado 5 son:

 1 5 10 10 5 1

 Ninguno de ellos múltiplo de 45. Además 2^n nunca es múltiplo de 3 ni de 5. Por tanto ambos polinomios no tienen coeficentes comunes (los de A SI son múltiplos de 45).

SAludos.

48860
Hola

 Me gusta más la primera prueba de teeteto, que la segunda. Utiliza una propiedad que no en absoluto rara ni complicada para la escuela media (creo):

 Dado \( x>0 \), \( x=e^{ln(x)} \) por definición de logaritmo, y por tanto \( x^y=(x^{ln(x)})^y=x^{y ln(x)} \).

 Además (y aunque esto ya se salga de la escuela media) la primera demostración es válida para un logaritmo complejo, mientras que la segunda no.

Saludos.

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