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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Hola

Buenos días gracias por sus respuestas y recomendaciones, si es cierto me equivoque el conjunto es la clausura de S:
 \( \overline{S}=\left\{{x\in{X}:dist(x,S)=0}\right\} \)

quizas puedas ayudarme con ese cambio

Masacroso ya te ha dado una indicación para probarlo en ese caso. ¿Has intentado seguirla?¿Qué dudas concretas tienes?.

Sin embargo el teorema es cierto si el conjunto \( S \) es cerrado, para demostrar tal cosa puedes utilizar estos dos hechos que seguro conoces

1. \( x\in S \) si y solo si existe una sucesión en \( S \) que converge a \( x \) (ya que \( S \) está compuesto de puntos límites o aislados).

2. Si \( k \) es el ínfimo de un conjunto \( A \) entonces existe una sucesión en \( A \) que converge a \( k \).

Saludos.

2
Hola

Para la segunda parte, había pensado tomar un conjunto de Vitali de medida exterior infinita y tomar otro conjunto como \(  \mathbb{R}   \) menos dicho conjunto de Vitali, entonces la unión sería medible y de medida infinita, pero un conjunto en cuestión no sería medible y tendría el contraejemplo. ¿Es correcto, no? Solamente tengo la duda de si \(  \mathbb{R}   \) es medible.

Si. Está bien. ¡Y claro el conjunto total siempre es medible!

Saludos.

3
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

El siguiente problema :
Una persona ha escrito n cartas a n personas distintas y escribe las direcciones de estas en n
sobres. ¿De cuántas formas puede colocar las n cartas en los n sobres de forma que solo una
carta este en su sobre correcto
?
Lo he resuelto multiplicando n por desórdenes de n, pero no estoy segura.

 Son el número de permutaciones de \( n \) elementos en las que sólo un elemento permanece "en su sitio".

 Hay \( n \) posibilidades para el elemento que está fijo. Una vez elegido éste hay que contar los "desarreglos" o "desórdenes" (permutaciones con todos los elementos fuera de su sitio) de \( n-1 \) elementos. Entiendo que tu lo has hecho de \( n \) elementos y eso estaría mal.

 Quedaría:

\(  n\cdot desarreglos(n-1)=n\cdot (n-1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k}{k!} \)

Saludos.

4
Hola

Creo que esta solución es más correcta.

\( AB=a,\color{red}AD=b\color{black},BC=c\\

△ABC:asin3θ=csinθ⇒ a(3sinθ−4sin3θ)=csinθ⇒ a(3−4sin2θ)=c⇒\\
sin^2θ=\frac{3a−c}{4a}⇒ c<3a\\

\color{red}△BCD:csin∠BCD=bsin2θ\color{black}⇒ sin∠BCD=bcsin2θ\\ \)

Pero no veo está ultima igualdad que he marcado en rojo. Donde pones \( b\cdot sin (2\theta) \) debería de ser \( BD\cdot sin(2\theta) \). Pero tu dices que \( b=AD \).

Algún comentario adicional:

1) Utiliza símbolos LaTeX:

En lugar de θ pon \theta y saldrá \( \theta \).
En lugar de △ pon \triangle y saldrá \( \triangle \).
En lugar de ∠ pon \angle y saldrá \( \angle \).

2) Para clarificar el ejercicio y seguir un debate, ¿no sería mejor que reaccionases a mis preguntas o dieses tu parecer al respecto?.

He dejado varias planteadas y todavía no sé que te parece:

Hola
¿Te refieres a qué no se dice en el enunciado o a qué no se usa en la demostración?.

¿Estás de acuerdo conmigo en que la demostración que has presentado NO está bien?. Si \( AD \) no es entero de \( AD<k \) NO se deduce \( AD=k-1 \) (entendiendo que tomamos el valor más alto posible de AD).

¿Has entendido lo que te comentaba en mi anterior mensaje?.

Esto último es importante. Porque lo que te estoy diciendo es que siempre pueden conseguirse triángulos en las condiciones dadas con \( BC=3k-4. \)

Saludos.

5
Hola

 Por concretar la similitud. Tus tres cubos son:

\(  3^{k-2}\omega\lambda \sigma'=\dfrac{\omega\lambda}{3}\cdot \sigma=-\dfrac{1}{\omega\lambda}\sigma \) (i)

\(  -\dfrac{3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau}{2}=\dfrac{-1}{2}\left(-\dfrac{\sigma}{\omega\lambda}+\tau\right)=-\dfrac{1}{\omega\sigma}\cdot \dfrac{1}{2}(-\sigma+\tau\omega\lambda) \) (ii)

 Donde \( \sigma=\alpha+\beta \) y \( \tau=\alpha-\beta \). El tercero no lo pongo porque viene dado para que los tres sumen cero.

 Pero:

\(  \dfrac{1}{2}(-\sigma+\tau\omega\lambda)=\dfrac{1}{2}(-\alpha-\beta+(\alpha-\beta)(-2\omega-1))=\dfrac{1}{2}((-2-2\omega)\alpha+\beta(2\omega))=(-1-\omega)\alpha+\beta\omega=\alpha\omega^2+\beta\omega \)

 Entonces el cubo (1) es \( \sigma=\alpha+\beta \) divido por \( \lambda \) y por una unidad.
 Entonces el cubo (2) es \( \color{red}\cancel{\sigma=}\color{black}\alpha\omega^2+\beta\omega \) divido por \( \lambda \) y por una unidad.

 Son EXACTAMENTE los factores de Ivorra que él denota por \( (\beta+\gamma) \) y \( (\beta \omega^2+\gamma \omega) \) y que divide por el factor común \( \pi  \)(tu \( \lambda \)).

Sólo me gustaría pedirte una cosa. Si después del repaso la siguieras viendo bien, ¿podrías anclarla en la Sección como una versión si acaso de la de Carlos Ivorra? Me haría ilusión  :P

Si, claro no hay problema. Me lleva tiempo revisar porque no tengo soltura en manejar los enteros de Eisenstein, y no me funciona la intuición con ellos. Tengo que hacer todo formalmente.

Saludos.

CORREGIDO

6
Hola

Buenas Luis,

Algunas equivalencias de lo que me marcaste:

Spoiler
\( \dim(S)=2 \Leftrightarrow{\dim(S^\perp)=1} \)

\( S \) invariante bajo \( T \Leftrightarrow S^\perp \) invariante bajo \( T^* \)

Existe \( \lambda_0 \) valor propio de \( T \Leftrightarrow \) Existe \( \overline{\lambda_0} \) valor propio de \( T^* \)

\( \text{Im}(T-\lambda_0Id)\subseteq{S} \Leftrightarrow{} {S^\perp}\subseteq\text{Im}(T-\lambda_0Id)^\perp \)

\( \text{Im}(T-\lambda_0Id)^\perp=\ker((T-\lambda_0)^*)=\ker(T^*-\overline{\lambda_0}Id) \)
[cerrar]

El enunciado (2) es entonces equivale a:

Si \( \text{dim}(S^\perp)=1 \) probar que \( S^\perp \) es invariante bajo \( T^* \Leftrightarrow \) existe \( \overline{\lambda_0} \) valor propio de \( T^* \) tal que \( {S^\perp}\subseteq\ker(T^*-\overline{\lambda_0}Id) \)

Aplicando (1) tenemos lo buscado.

¿Esta correcto?

Si; quizá falta apuntar que por estar trabajando en los reales \( \bar{\lambda}_0=\lambda_0. \)

Saludos.

7
Hola

Me falta comprobar algunos detalles del final y darle un repaso, pero creo que está bien. E incluso si tuviese algún fallo sospecho que es subsanable.  :aplauso:

 La cosa es que es muy, muy parecida a la demostración que presentó Carlos Ivorra aquí. Vaya por delante y subrayo esto, que con eso no pretendo quitarle ni mérito ni originalidad, pero si encuadrarla en el contexto de las demostraciones conocidas.

 De hecho los tres factores cubos que dan una terna más pequeña, son los mismos que los tres factores que plantea Carlos que son\(  (\beta+\gamma),(\beta \omega+\gamma \omega^2)(\beta \omega^2+\gamma \omega) \) divididos por lo que tu llamas \( \lambda \) y él llama \( \pi \), aunque tu los obtengas expresados de otra manera.

 El descenso infinito que plantea él funciona con respecto a la potencia más alta de \( \lambda  \); el que planteas tu en función de la potencia más alta de \( 3 \). ¡Pero es que dado que \( \lambda^6=(-3)^3 \) ambas están totalmente ligadas!.

 En otras palabras la esencia de la demostración es exactamente la misma, aunque contada de otra manera.

Saludos.

8
Hola

realmente ... no se dice que AD sea un número entero

¿Te refieres a qué no se dice en el enunciado o a qué no se usa en la demostración?.

¿Estás de acuerdo conmigo en que la demostración que has presentado NO está bien?. Si \( AD \) no es entero de \( AD<k \) NO se deduce \( AD=k-1 \) (entendiendo que tomamos el valor más alto posible de AD).

Saludos.

9
Hola

Ahora no tengo mucho tiempo, pero yo pondría común denominador. No sé si saldrá, pero imagino que si porque al derivar \( x^2 \) termina desapareciendo
\( \dfrac{x^2-\sen^2{x}} {x^2\sen^2{x}} \)

He llegado hasta el punto que te da el nominador \(  2sen^2x  \), pero luego el denominador es complicado y no veo nada que pueda simplificar, y se va haciendo cada vez más complejo

\( f(x)=x^2sin^2(x) \)
\( f'(x)=2xsin^2(x)+2x^2sin(x)cos(x)=2xsin^2(x)+x^2sin(2x) \)
\( f''(x)=2sin^2(x)+2x\cdot 2sin(x)cos(x)+2xsin(2x)+2x^2cos(2x)=2sin^2(x)+4xsin(2x)+2x^2cos(2x) \)
\( f'''(x)=2sin(2x)+4sin(2x)+8xcos(2x)+4xcos(2x)-4x^2sin(2x)=6sin(2x)+12xcos(2x)-4x^2sin(2x) \)
\( f''''(x)=12cos(2x)+12cos(2x)-24xsin(2x)-8xsin(2x)-8x^2cos(2x)=24cos(2x)-32xsin(2x)-8x^2cos(2x) \)

 Y con eso te llega.

 Otra opción que lo simplifica un poco...

\(  \dfrac{x^2-sin^2(x)}{x^2sin^2(x)}=\dfrac{x+sin(x)}{sin(x)}\cdot \dfrac{x-sin(x)}{x^2sin(x)} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x+sin(x)}{sin(x)}=(L'H)= \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{1+cos(x)}{cos(x)}=2 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x-sin(x)}{x^2sin(x)}=(L'H)=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{1-cos(x)}{2xsin(x)+x^2cos(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{(1-cos(x))(1+cos(x)}{(2xsin(x)+x^2cos(x))(1+cos(x))}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin^2(x)}{(2xsin(x)+x^2cos(x))(1+cos(x))}=\\=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{(2sin(x)+xcos(x))(1+cos(x))}\cdot \dfrac{sin(x)}{x(1+cos(x))}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{2sin(x)+xcos(x)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{sin(x)}\cdot cos(x)}=\ldots \)

donde he usado el conocido límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x}{sin(x)}=1 \)

Saludos.

10
Hola

Ya hemos visto en clase que la composición de continuas es continua, esta aplicación viene perfecta para la demostración.

Intento de formalizar.

Llamemos \( \theta(x,y) \) al ángulo obtenido por \( f^{-1}(x,y) \) y estudiemos la continuidad en los puntos de la forma \( (a,0) \) con \( a>0 \)

Tenemos que si \( (x,y) \in B((a,0),\delta) \) entonces debe suceder que \( |\theta(x,y)-\theta(a,0)|=|\theta(x,y)-0|=|\theta(x,y)|<\epsilon \)

Estudiamos el caso \( x>0 \wedge y<0 \) siempre y cuando \( |y|<\delta \wedge |x-a|<\delta \):

Como vimos anteriormente tenemos que en este caso \( \theta(x,y) \in \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right) \) de donde:
 
\( \dfrac{3\pi}{2}<\theta(x,y)<2\pi \) ahora basta tomar \( \epsilon < \dfrac{3\pi}{2} \) de donde obtenemos inmediatamente que:
 
\( \epsilon<\dfrac{3\pi}{2}<\theta(x,y) \) de aquí que falla la continuidad.

¿Cómo lo ves?

¡Lo veo bien!.

Saludos.

11
Hola

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( V \) un espacio vectorial con producto interno sobre \( \mathbb{R} \), con \( \text{dim}(V)=3 \). Se considera una transformación lineal \( T:V\to V \) y un subespacio vectorial \( S \) de \( V \).
  • Si \( \text{dim}(S)=1 \) probar que \( S \) es invariante bajo \( T \Leftrightarrow \) existe \( \lambda_0 \) valor propio de \( T \) tal que \( S\subseteq{\ker(T-\lambda_0Id)} \)
  • Si \( \text{dim}(S)=2 \) probar que \( S \) es invariante bajo \( T \Leftrightarrow \) existe \( \lambda_0 \) valor propio de \( T \) tal que \( \text{Im}(T-\lambda_0Id)\subseteq{S} \)

El caso para \( \text{dim}(S)=1 \) ya lo habia probado hace tiempo. Pero ahora aparecen los ejercicios en el contexto de los operadores adjuntos.

Tal vez se relacione con esto que era un ejercicio previo.

¿Me podrían dar alguna pista para comenzar?

El primero ya lo tienes y es muy inmediato.

Para el segundo usa:

1) Según viste aquí si \( S \) es invariante para \( T \) entonces \( S^\bot \) es invariante para \( T^* \).
2) \( dim(S)+dim(S^\bot)=dim(V) \).
3) Si \( \lambda \) es autovalor de \( T \) entonces \( \bar \lambda \) es autovalor de \( T^* \) (visto aquí).
4) Si \( A\subset B \) entonces \( B^\bot\subset A^\bot \).
5) Las propiedades que relacionan núcleo e imagen de un operador y su adjunto que viste acá.

Saludos.

12
Hola

Es verdad que fue algo muy informal, antes de continuar me queda una duda. ¿Puedo trabajar con la continuidad por "coordenada"? Para estudiar el limite solamente en la coordenada del ángulo donde falla la continuidad.

Si; pero hay que tener claro en que se basa. La cosa es que si \( g:\Bbb R^2\to \Bbb R^2 \) es continua en \( (x_0,y_0) \) también lo es su composición con cualquiera de las dos proyecciones (que son trivialmente continuas) \( p_1(x,y)=x \) ó \( p_2(x,y)=y \).

Por tanto si esa composición no es continua, tampoco lo es la aplicación original \( g \).

Saludos.

13
Hola

Tenemos que en los puntos de la forma \( (x,0) \) con \( x>0 \) su ángulo \( \theta=0 \).

Si nos acercamos por puntos de la forma \( (x,y) \) con \( x>0 \wedge y<0 \) tenemos que \( \dfrac{x}{y}<0 \) de donde \( \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\in \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right) \) luego \( \left[2\pi + \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\right]\in \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right) \).

Entonces los valores que toma \( \theta \) al acercarse "por debajo" están muy lejos del \( 0 \), de donde \( f^{-1} \) no es continua en los puntos \( (x,y) : x\geq{0}\wedge y=0 \)

¿Es correcto?

Es correcta la idea. Pero te falta formalizarla de manera más riguosa. Tienes que probar de manera precisa que falla la definición de continuidad (epsilon/delta o la topológica) o alguna de sus caracterizaciones o consecuencias (por ejemplo la continuidad secuencial).

Saludos.

14
Hola

Hola, muchas gracias. Te felicito, además tienes un dominio soberbio de geogebra. Podrías decirme por favor donde puede encontrar bibliografia para hacer un video como el que pusiste.

Francamente es cuestión de que juguetees con el Geogebra. Es muy intuitivo. Algunas indicaciones:

- Se pueden crear parámetros y hacer gráficos cuyas medidas depende de ellos.
- Los parámetros se pueden modificar manualmente con un deslizador o automáticamente, y esto último genera una animación.
- Si una vez animado, ocultas el deslizador, queda un gráfico móvil.
- En el Geogebra se pueden definir regiones con desigualdades. Tipo x^2+y^2<=1&& y>0 sería un semicírculo por ejemplo. Eso lo he usado para sombrear las regiones relevantes.
- Después el truquillo que he hecho es girar el medio pétalo en función de un parámetro y así consigo la animación.
- Al final todos los objetos auxiliares pueden esconderse.

Puedes descargar el archivo ggb que adjunto y ver los detalles. Aquí se ven algunos"hilos" de la animación:


Saludos.

15
Hola

AD < k como K es un número entero entonces AD = k - 1

Pero en el enunciado no veo que diga en ningún sitio que \( AD \) tenga que ser un número entero. Está mal entonces.

¿Has entendido lo que te comentaba en mi anterior mensaje?.

Saludos.

16
Hola

Buenos días, si alguien pudiera ayudarme con la siguiente pregunta:

Let \( (X,d) \) be a metric space, and let \( Y \) be a subspace of \( X \). Show that \( U\subset{Y} \) is open in \( Y \) if and only if there is \( V\subset{X} \) that is open in \( X \) such that \( U=Y\cap{V} \)

Recuerda que en un espacio métrico un conjunto es abierto si y sólo si es unión de bolas abiertas.

\( U \) es abierto en \( (Y,d|_Y) \) significa que \( U=\displaystyle\bigcup B_Y(x_i,r_i) \) donde:

\( B_Y(x_i,r_i)=\{y\in Y|d|_Y(x_i,y)<r\}=\{y\in Y|d(x_i,y)<r\}=\{x\in X|d(x_i,x)<r\}\cap Y=B(X_i,r)\cap Y \)

Por tanto:

\( U=\displaystyle\bigcup B_Y(x_i,r_i)=Y\cap \underbrace{\displaystyle\bigcup B(x_i,r_i)}_{V\textsf{ abierto en }X} \)

Intenta el recíproco usando la misma idea.

Saludos.

17
Hola

Busqué información en Google pero no llegué a nada, y casualmente hoy se lo he comentado a mi mujer y parece que lo ha medio solucionado. A base de toquetear ha conseguido algo parecido a las notificaciones que me llegaban antes. A ver si esta vez dura.

Perdón por el off-topic: pero que hayáis solucionado un problema tu mujer y tu a base de toquetear me resulta enormemente tierno y romántico.  :D

Saludos.

18
Estadística / Re: Muestra homogenea y heterogenea
« en: 14 Octubre, 2021, 12:13 pm »
Hola

 Mira por aquí en la página 45 y sucesivas:

https://jrvargas.files.wordpress.com/2010/07/estadistica-y-probabilidad.pdf

Saludos.

19
Topología (general) / Re: Primera parte del problema 16.9 Munkres
« en: 14 Octubre, 2021, 12:03 pm »
Hola

Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto \( \mathbb R \times \mathbb R \) es la misma que la topología producto \( \mathbb R_d \times \mathbb R \), donde \( \mathbb R_d \) denota la topología discreta.

He intentado resolver el problema, este ha sido mi procedimiento, ¿es correcto?

En la topología producto finita se puede elegir elementos de la base de dos formas:
1)Formado por el producto de elementos que son abiertos en cada topología que conforma el producto.
2)Formado por el producto de elementos de la base de cada topología que conforma el producto.
Ambas inducen la misma topología (en el caso finito).

\( B_d,B'_d \) es la base de la topología \( \mathbb R_d \times \mathbb R \) de la forma \( 1,2 \) respectivamente, y \( B_o \) es la base de la topología \( \mathbb R \times \mathbb R \) con el orden del diccionario.
Un elemento de \( B'_d \) es de la forma \( \{x\}\times (a,b) \) tal que  \( x\in \mathbb R, a<b \) (he usado la forma \( 2 \)), este elemento esta incluido en algún elemento de la base de \( \mathbb R \times \mathbb R \) con el orden del diccionario, por ejemplo el elemento \( (a',b')\times (c,d) \) tal que \( a'<x,b<b'a<c,b<d \), luego \( B'_d\subset B_o \).
Un elemento de la base \( B_o \) es la forma \( (a,b)\times (a',b') \), este elemento está incluido en algún elemento de \( B_d \)(utilizo elementos de la base de esta topología considerando la forma \( 1 \)), por ejemplo, si \( p \) es un subconjunto de \( \mathbb R \) tal que \( (a,b)\subset p \), y si \( (a',b')\subset (c,d) \), entonces \( (a,b)\times (a',b')\subset p\times(c,d) \), luego \( B_o\subset B_d \). Entonces, ambas topología son la misma.

Varias cosas:

1) No entiendo porque dices que los abiertos de \( \mathbb R \times \mathbb R \) con la topología del orden son de la forma \( (a,b)\times (a',b') \). ¿Te refieres al producto de dos intervalos?. ¡Esos no son abiertos del plano con la topología del orden!.

Los abiertos básicos serían, dados dos puntos \( [a;b],[a';b']\in \Bbb R^2 \) (voy a usar corchetes y punto y coma para no confundirlos con intervalos):

\( ([a;b],[a';b']):=\{[x;y]\in \Bbb R^2|[a;b]<[x;y]<[a';b']\} \)

donde ese "menor" es la relación de orden del diccionario:

\( [a;b]<[x;y]\quad \Leftrightarrow{}\quad a<x\textsf{ ó } a=x,\quad b<y \)

2) Para ver que dos bases definen la misma topología no llega con ver que cualquier elemento de cada base contiene un elemento de la otra base.

Spoiler
Por ejemplo las bases de \( \Bbb R \), \( B_1=\{[a,b)|a<b\} \) y \( B_2=\{(a,b)|a<b\} \) y definen distinta topología.
[cerrar]

Tienes que ver que cada elemento de una de las bases es abierto con la topología que define la otra base.

Entonces en tu caso basta que notes que:

\( \{x\}\times (a,b)=([x;a],[x;b]) \)

\( ([a;b],[a';b'])=\{a\}\times (b,\infty)\cup (a,a')\times \Bbb R\cup \{a'\}\times (-\infty,b') \) si \( a<a' \)
\( ([a;b],[a';b'])=\{a\}\times (b,b') \) si \( a=a' \)

Saludos.

20
Topología (general) / Re: Demostrar que A es separable
« en: 14 Octubre, 2021, 11:44 am »
Hola

Por favor ayúdame, ya no sé qué hacer..

No logro entender porque no sigues el camino que te he indicado. Dices que no sabes qué hacer...pero ya te he indicado qué hacer:

Prueba que \( A \) tiene una base \( {\cal B} \) numerable.

Spoiler
Para ello para cada \( n\in \Bbb N \) considera el recubrimiento de \( A \), \( \{B(x,1/n)\cap A\}_{x\in A} \). Por hipótesis tiene un subrecubrimiento numerable \( F_n. \)

Entonces \( F=\displaystyle\bigcup F_n \) es una familia numerable de abiertos por ser unión numerable de numerables. Comprueba que es una base de \( A \).
[cerrar]

Después para cada \( U\in {\cal B} \) toma \( x_U\in U \) y prueba que \( D=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal B}}\{x_U\} \) es denso en \( A \).

Lo único que queda por detallar (véase el Spoiler) es probar que \( F=\displaystyle\bigcup F_n \) es una base de \( A \).

Pero dado cualquier abierto básico de \( A \), \( B_A(x,r) \) con \( x\in A \) como cada \( F_n \) es un recubrimiento de \( A \), existe \( x_n\in A \) tal que \( x\in B_A(x_n,1/n) \). Si \( 2/n<r \) entonces \( B_A(x_n,1/n)\subset B_A(x,r) \) ya que si \( y\in B_A(x_n,1/n) \):

\( d(y,x)\leq d(y,x_n)+d(x_n,x)<1/n+1/n<r \)

Después que \( D=\displaystyle\bigcup_{U\in {\cal B}}\{x_U\} \) es denso en \( A \), pero basta tener en cuenta que todo abierto contiene a un abierto básico \( U\in {\cal B} \) y como \( x_U\in D\cap U \) entonces tal abierto corta a \( D \).

Saludos.

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