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Temas - DaniM

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Quiero decir cuando uno dedica su vida a investigar en una de ellas y va profundizando más y más. ¿Cómo relaciona los nuevos conocimientos con los conocimientos más profundos de otra ramas que no ha podido estudiar por falta de tiempo?

Por ejemplo, al principio, en las matemáticas de carrera, todas las ramas de una forma u otra se relacionan entre sí: uno puede demostrar un teorema de cálculo usando un teorema de álgebra, o uno de álgebra ayudándose de algún conocimiento geométrico, etc. Pero a medida que uno avanza, va deduciendo nuevos teoremas a partir de teoremas anteriores, y así con todas las ramas de las matemáticas.

Al final, cuando uno ya se ha doctorado y ha dedicado media vida a la investigación de una rama X, sabe muchísimo de esa rama, pero no sabe tanto sobre otra rama Y como podría saber otra persona que dedica su vida a investigar dicha rama Y. Entonces, relacionar los mil primeros teoremas (entendiendo como "primeros" los considerados más básicos, los que casi todos los matemáticos deberían haber estudiado en algún punto de sus carreras) de X con los mil primeros teoremas de Y es algo alcanzable para un ser humano. ¿Pero cómo uno relaciona el teorema número 27.000 de la rama X, que ya debe ser súper profundo, con el teorema número 27.000 de la rama Y, que investiga otra persona? ¿No se estaría perdiendo mucho potencial para hacer nuevos descubrimientos, al ser posible (supongo) usar teoremas muy profundos de una rama para usarlos como una ayuda (ya sea formal o intuitiva) para demostrar teoremas de otra rama?

No sé si me explico.

Se dice que en el año 1900 todas las matemáticas conocidas se podían condensar en 80 libros, mientras que un siglo después ya se necesitarían más de 100.000 tomos. ¿Cómo lo hacen los matemáticos para conectar esas islas de conocimiento a las que llegan? ¿Existe algún buscador de teoremas o alguna herramienta que "sugiera" teoremas que de alguna manera se han registrado en una base de datos, algo así como un Google de teoremas, para que pueda ser usado por los investigadores que intentan demostrar algo en sus ramas concretas? ¿O se tienen que poner a leer todos los papers de los demás hasta que por casualidad suene la flauta y encuentren la pepita que andaban buscando?

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Tengo la matriz \( A = \begin{bmatrix}{1}&{2}&{-3}\\{-1}&{-2}&{3}\\{4}&{8}&{-12}\\{1}&{-1}&{5}\end{bmatrix} \). Después de hacer algunas operaciones entre las filas \( F_{i} \) de \( A \), a saber \( F_{4} - F_{1} \), \( F_{3} - 4F_{1} \) y \( F_{2} + F_{1} \), en este orden, se me queda la matriz \( B = \begin{bmatrix}{1}&{2}&{-3}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{-3}&{8}\end{bmatrix} \).

Pero ahora tengo un conflicto. Por un lado tengo el conjunto de los vectores fila \( B_{F} = \{(1, 2, -3), (0, -3, 8)\} \), que son linealmente independientes y generan un espacio de dimensión \( 2 \), y por otro lado tengo el conjunto de los vectores columna \( B_{C} = \{(1, 0, 0, 0), (2, 0, 0, -3), (-3, 0, 0, 8)\} \) que también son linealmente independientes y generan un espacio de dimensión \( 3 \).

El conflicto por lo tanto es que el rango fila es \( 2 \), el rango columna es \( 3 \) y ambos deberían coincidir pero no lo hacen. ¿Qué pasa aquí?

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Aquí el artículo en cuestión: https://philarchive.org/archive/PENFLT

Lo primero que me llama la atención es el "Institute of Philosophy and Sociology" de arriba, y que la demostración prácticamente no usa conceptos matemáticos, sino de lógica de primer orden. No he indagado mucho en el artículo, pero mirando por encima, me pregunto qué tanto sentido tiene la "inducción" hecha en el final de la página 4, donde empieza la línea:

"\( x^4 \to x^3 \)" and  "FLT (3)"] → "FLT (4)"

A mí para empezar no me parece que "\( x^4 \to x^3 \)" tenga sentido sintácticamente hablando, porque es como decir "Juan implica Luís". Pero teniendo en cuenta que son filósofos y que en teoría saben de lógica, imagino que será un abuso de lenguaje para decir que \( x^4=x^3\cdot x \), como comentan más arriba. Pero aun así yo no acabo de ver cómo justifican que FLT (n) implica FLT (n + 1) por sus santos redondos, sin más que usar el hecho de que \( x^{n+1} = x^{n}x  \) y aplicar modus tollens a lo loco para deducir obviedades como que una expresión es igual a sí misma 🤦‍♂️ Además, que por esa regla de tres a partir de  \( x^{n+1} = x^{n}x  \) se podría deducir cualquier cosa, como que \( y = f(n) \) implica que \( y = f(n + 1) \) para cualquier \( f \), ¿no?

Evidentemente la prueba tiene que estar mal (por estadística, más que nada), pero aun así me ha parecido un ejercicio didáctico curioso para encontrar los fallos de una presunta demostración, como los típicos acertijos en los que se concluye que 1=0 y cosas así. ;D

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Hola,

Tengo el siguiente enunciado:

Citar
Sean \( a \) y \( b \) dos números reales. Demostrar que si \( | \)\( (ax + by)(ay + bx)| ≤ x^2 + y^2 \) para todo \( x, y \in{\mathbb{R}} \) entonces \( a^2 + b^2 ≤ 2 \)

Lo estoy intentando demostrar por contraposición, pero no soy capaz de llegar a ninguna desigualdad que me sea de utilidad para demostrar el teorema. Esto es lo que he hecho:

Sea \( a^2 + b^2 > 2 \). Entonces \( |(ax + by)(ay + bx)| = |ab(x^2 + y^2) + xy(a^2 + b^2)| \) > \( |ab(x^2 + y^2) + 2xy| \), pero de aquí no sé inferir que existen un $$x$$ e $$y$$ tales que \( |ab(x^2 + y^2) + 2xy| > x^2 + y^2 \).

También se me ha ocurrido usar la desigualdad de Schwarz ($$2ab ≤ a^2 + b^2$$) de manera que \( |ab(x^2 + y^2) + xy(a^2 + b^2) > |ab(x^2 + y^2) + 2xyab| = |ab(x^2 + y^2 + 2xy)| \), pero de aquí tampoco sé cómo puedo encontrar unos $$x$$ e $$y$$ tales que \( |ab(x^2 + y^2 + 2xy)| > x^2 + y^2 \), ya que si por ejemplo $$a = 5$$ y $$b = 0$$, ya no se cumple para ningún $$x$$ e $$y$$.

También se me ha ocurrido plantear el problema como uno geométrico, es decir, que la parte $$x^2 + y^2$$ me hace pensar en un círculo centrado en $$(0, 0)$$ y el enunciado vendría a decir que si todos los puntos interiores de un círculo centrado en $$(0, 0)$$ cumplen \( (ax + by)(ay + bx)| ≤ x^2 + y^2 \) para ciertos $$a$$ y $$b$$, entonces $$a^2 + b^2 \leq{} 2$$. Pero como soy más tonto que un saco piedras soy incapaz de ver algo más allá, aparte de volver a intentarlo encadenando desigualdades como si no hubiera un mañana y a ver si con alguna de ellas llego a ver alguna relación de orden obvia con respecto a $$a^2 + b^2$$ o a $$x^2 + y^2$$. ¿Alguna idea?

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