Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - zimbawe

Páginas: [1] 2 3 4 ... 9
1
Foro general / Mejorar en resolución de problemas.
« en: 01 Enero, 2022, 11:30 am »
Hola a todos y todas. Espero tengan un gran año.
Últimamente he meditado en torno a un defecto horrible que tengo, pero en el que quiero mejorar.
Cuando tengo que enfrentarme a un problema dificil, suelo ser muy conformista. Si no se me ocurre la solución rápido, como que optó por mirar la solución, es decir, no intento un poco más. Las veces que lo he intentado, llego a la solución o mis ideas conducen a ella, también he tenido fracasos estrenduosos.
También porque a veces creo que no voy a ser capaz de resolver el problema, entonces por eso no lo intento más.
Mi pregunta gira en torno a: ¿Se han estancado con un problema?¿Cómo lidian con la frustración que esto les genera?¿Cómo mejorar en la resolución de problemas?
Como dato adicional, ahora tengo un año para terminar mi tesis y tengo abstraer conceptos de una teoría en la que no soy muy ávido.
Agradezco me brinden su experiencia. Un millón de gracias.

2
Geometría Diferencial - Variedades / Orientación en el Toro.
« en: 13 Noviembre, 2021, 12:12 pm »
Hola. He logrado adelantar algo de este ejercicio, pero no recuerdo algo y eso me impide avanzar. El ejercicio es:
a) Demuestre que el Toro bidimensional \(  \mathbb{T}^{2}  \) es orientable y encuentre una orientación.
Demostrar que es orientable, es muy sencillo, pues, el toro puede ser visto como \(  \mathbb{T}^{2}=\mathbb{S}^{1} \times \mathbb{S}^{1}  \) y por ser el circulo unitario paralelizable entonces ya es orientable, y por ser el Toro producto de orientables, ya sería orientable. Lo que no recuerdo es cuál es la orientación estandar en \(  \mathbb{S}^{1}  \) ¿Y si quiero definir la orientación producto, se toman las proyecciones? Quedo muy agradecido.

3
Hola. Espero estén pasando bien. Quería agradecer su ayuda, dado que, he pensado mucho en este ejercicio y no sé como se define la estructura de variedad en el espacio cotangente.
El enunciado es el siguiente:
Consideremos el fibrado cotangente \(  T^{*}M=\left\{{(p, \lambda)}|p \in M, \ y\ \lambda \in T^{*}_{p}M\right\}  \)
a) Construya un Atlas en \(  T^{*}M  \) de dimensión \(  2n  \) tal que la aplicación: \(  \pi: T^{*}M -> M, \pi(p, \lambda)=p  \) es una submersión.
b) Sea \(  X=T^{*}M  \) con la estructura de variedad definida en a) y consideremos la aplicación \(  \theta: X\rightarrow{T^{*}X}, p\rightarrow{\theta_p}  \) tal que \(  \theta_{(p, \lambda)}(v)=\lambda(d_{\pi_{(p, \lambda)}}(v))  \). Para \(  v \in T_{(p, \lambda)}  \). Encuentre la expresión en coordenadas de \(  \theta  \) con respecto al atlas de a) y concluya que \(  \theta  \) es una 1-forma diferenciable en \(  X  \). Con la parte a) ya pude.
Quedo muy agradecido si me pueden orientar al respecto. Un cordial saludo.

4
Hola a todos. Tengo el siguiente problema, para el cual tengo algunas ideas. Pero no lo he podido completar.
Consideremos \(  M \times N  \) dotado con la estructura de variedad producto y sean \(  X \in X(M)  \) y \(  Y \in Y(M)  \) campos vectoriales en \(  M  \) y \(  N  \) respectivamente. Sabemos que \(  T_{(p,q)} M \times N  \) se identifica con \(  T_{p} M \times T_{q}  \). Pruebe que bajo esta identificación \(  X \otimes Y  \) definida por \(  (X \otimes Y)_{(x,y)}=(X_x, Y_y)   \) es un campo vectorial (suave) en \(  M \times N  \). Es más, pruebe que el corchete de Lie en \(  M \times N  \) satisface:
\(  [(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)]=[(X_1, X_2), (Y_1, Y_2)]  \). Para la primera parte ¿Tomo la proyección? Y para la segunda colocando \(  X_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}, Y_1=g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}}  \) sé que: \(  X_1 \otimes Y_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}+g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}} \) Ya no sé como seguir. Quedo agradecido.

5
Hola a todos y a todas. Tengo que probar lo siguiente, pero no sé, si mi razonamiento está bien.
Tenía que mostrar que el flujo \(  \theta^{t}(A)  \)  de un campo vectorial invariante a izquierda \(  X_{A}  \) viene dado por \( \theta^{t}(A)(g)=ge^{tA}  \) esto ya lo probé y también me piden probar que para dos campos vectoriales \(  X^{A}, X^{B}  \) se cumple que \(  [X^{A}, X^{B}]=X^{AB-BA}  \) yo sé que se puede identificar \(  X^{A}  \) con una matriz \(  A  \) y que el corchete para matrices es \(  [A, B]=AB- BA  \) ¿Cómo lo termino? Es que siento que abuso de las identificacioned.

6
Geometría Diferencial - Variedades / Subalgebra de Lie
« en: 31 Octubre, 2021, 09:37 pm »
Hola. Alguno sabe dónde puedo encontrar la prueba a este resultado? Quedaría muy agradecido.
Sea \(  G  \) un grupo de Lie con elemento neutro \(  e  \). Para cada \(  g \in G  \) consideramos la traslación a izquierda como \(  l_g(x)=gx  \) decimos que un campo \(  X \in X(M)  \) es invariante a izquierda, si para todo \(  g \in G  \) se tiene que \(  d(L_g)_x=X_{gx}  \). Denotemos por \(  m  \)  al conjunto de campos invariantes a izquierda de \(  G  \) muestre que \(  m  \)  es un subalgebra de Lie de \(  X(M)  \) tal que la aplicación \(  g \longrightarrow{T_eG}, X \longrightarrow{X_e}  \) es un isomorfismo lineal.
Agradezco mucho a quien pueda colaborarme.

7
Hola. Quisiera saber si alguien conoce la prueba de este resultado o dónde puedo encontrar la prueba, dado que la necesito para probar que todo grupo de Lie es paralelizable.
Consideremos el fibrado tangente \(  \pi: TM\rightarrow{M}  \) La variedad \(  M  \) se dice paralelizable si existe un difeomorfismo \(  F: TM \rightarrow{M \times \mathbb{R}^{n}}  \) tal que \(  \pi(F(v,p)=p  \) y tal que cada aplicación \(  F_{|_{p}}: T_{p}M \rightarrow{\left\{{p}\right\}\times \mathbb{R}^{n}}  \) es un isomorfismo lineal.
Pruebe que, una variedad es paralelizable si y solo si, existe una base global de campos \(  X_{1}, ..., X_{n} \in X(M)  \) tales que para todo \(  p  \), \( \left\{{X_{1}|_{p}, ..., X_{n}|_{p}}\right\}  \) es una base de \(  T_{p}M  \) quedo agradecido. Mil gracias.

8
Hola. No sé si lo que hice está bien en este ejercicio, pero agradecería cualquier sugerencia.
Me piden:
Sea \(  M=\left\{{(x,y,z) \ in \mathbb{R}^{3}|x,y,z >0}\right\}  \) y considere la distribución definidia por \(  D=<y\partial{z}-z\partial{y}, z\partial{x}-x\partial{z}>  \) encuentre una carta de Frobenius global de D.
LLegué a que las funciones \(  f,g  \) deben satisfacer el sistema de ecuaciones \(  \left\{\begin{matrix}
 y=zg\\ -x=-zf
 \\ yf-xg=0
\end{matrix}\right.  \) con lo que:\(  f=x/z  \) y \(  g=y/z  \) pero de aquí ya no sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

9
Hola, tengo el siguiente problema, me gustaría saber solamente si mi resolución es correcta.
Sea \(  M=\left\{{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x>0, y>0}\right\}  \) y consideremos \(  F: M\rightarrow{M}  \) dada por \(  F(x,y)=(x+y, y/x)  \) me piden probar que F es un difeomorfismo y calcular el pushforward \(  F_{*}(X)  \) donde \( X=y^{2}\frac{d}{dx}-x\frac{d}{dy} \) ya probé que F es un difeomorfismo pues calcule la inversa y es derivable en su dominio de definición. Calculé el jacobiano y me dió \(  J=\begin{pmatrix}
1 & -y/x^{2} \\
1 & 1/x \\
\end{pmatrix}  \) y a \( X  \) le podemos asociar el vector \(  \begin{pmatrix}
y^{2} \\ x
\end{pmatrix}  \) Multiplico el jacobiano con dicho vector y obtengo \(  F_{*}(X)=(y^{2}-y/x)\frac{{\partial}}{{\partial x}}+y^{2}\frac{{\partial}}{{\partial y}}  \)
Me podría indicar si me quedó bien, por fa.

10
Geometría Diferencial - Variedades / Subrupo de Lie.
« en: 08 Octubre, 2021, 03:01 pm »
Hola. Como les comentaba estoy teniendo dificultades con un par de egercicios. El otro es este, quedo atento a cualquier sugerencia.
Sea \(  G  \) un grupo de Lie, con álgebra de Lie \(  g  \)  y supongamos que \(  h  \) es un subálgebra de Lie (un subespacio cerrado por el corchete). Pruebe que \(  D_{g}=\left\{{X_g| X \in h}\right\}  \) es una distribución involutiva de \(  G  \). Muestre que la hoja \(  H  \)  de la distribución \(  D  \) que contiene a la identidad \(  e  \)  es un subgrupo de Lie tal que bajo la identificación \(  g \succeq T_{e}G  \), se tiene que \(  h=d_{i_{e}}(T_e(H))  \) i es la inclusión.

11
Geometría Diferencial - Variedades / Kernel disribución integrable.
« en: 08 Octubre, 2021, 01:49 pm »
Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios. No sé si podrían ayudarme, con este par de ejercicios.
Sea \(  F: M \longrightarrow{N}  \) una submersión. Muestre que \(  D_{p}=ker(dF_{P})  \) es una distribución de \(  M  \). Muestre que \(  D  \) es una distribución integrable y encuentre las hojas de \(  D  \). Me falta ver que \(  D_{p}  \) es suave. El resto de cosas ya las probé.
Quedo muy agradecido. Mil gracias.

12
Hola, estoy tratando de entender la siguiente demostración, pero no comprendo varias cosas. \( {\cal B} \) es una colección de conjuntos o es una unión propiamente? Tampoco entiendo las contenencias. Perdón por adjuntar una foto, pero me parece más práctico.



Quedo atento, mil gracias.

13
Geometría Diferencial - Variedades / Carta adaptada.
« en: 15 Septiembre, 2021, 01:50 pm »
Hola. He estado leyendo este ejemplo pero no comprendo porqué \(  (-2, 0) \times (-1, 1)  \) no es una carta adaptada a \(  (-1, 1)  \). Si se supone que cumple la definición. Perdon por adjuntar una imagen pero no veía de otra. Mil gracias.



Moderación: imagen incrustada dentro del mensaje.

14
Geometría Diferencial - Variedades / Plano tangente.
« en: 28 Agosto, 2021, 12:00 pm »
Hola. Requiero ayuda con este ejercicio. Quedo muy agradecido a quien me ayude a destrabarme.
Sea \(  F: \mathbb{R^{n}} \longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función diferenciable y \(  c \in \mathbb{R}  \) un valor regular. Sea \(  i: F^{-1}(c)   \) la inclusión. E identifiquemos \(  T_p F^{-1}(c)    \) con el subespacio  \(  d_{i_p}(T_p F^{-1}(c))   \) de \(  T_p (\mathbb{R^{n}})    \) pruebe que:
\(  T_p F^{-1}(c)=(\nabla F(P))^{\perp}=\{ v \in \mathbb{R^{n}} | <v, \nabla F(p)=0  \}  \)

15
Hola, buenas noches. Pido excusas, pero de nuevo estoy presentando problemas para proceder con las siguientes demostraciones y creo que es porque se me dificulta calcular el diferencial por su definición tan extraña.
El primero es:
a) Sea \(  M  \) una variedad y \(  TM  \) su fibrado tangente. Probar que \(  \pi: TM \rightarrow{M}  \) es una submersión.
He hecho las siguientes identificaciones. Dado \(  (p,v)  \in TM  \), \(  \pi_{*}: T_{(p,v)} TM\rightarrow{T_{\pi((p,v)}}M  \) mi problema es calcular el diferencial para mostrar que es sobreyectivo. No sé si se puede utilizando curvas.

16
Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios y agradecería mucho si me ayudaran. Mi problema es calculando el diferencial. Tengo que mostrar que \(  U(n)=\{  A \in GL(n, \mathbb{C})|A^{*}A=Id  \}  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) lo que hice fue considerar  \(  F: GL(n, \mathbb{C}) \longrightarrow{Her(n}  \) las matrices hermitianas como  \(  F(A)=A^{*}A  \) aquí puedo ver que  \(  F^{-1}(Id)=U(n)  \) y por el teorema del valor regular  \(  U(n)  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) el problema es mostrar que  \(  Id  \) es un valor regular, porque no sé calcular el diferencial de dicha aplicación.

17
Hola. De nuevo yo, esto de geometría de variedades me está dando muy duro como ninguna otra materia me había dado en mi vida.
Tengo problemas para entender un detalle, adjunto una foto porque es larga la demostración.
No entiendo porque \(  c'(0)=X_p  \)
Mil gracias. Depronto el problema es en la derivada compuesta que asumo usan la regla de la cadena, pero no se como derivar la inversa de phi.


18
Hola. He tenido un problema para entender una observación que hacen de una definición. La definición es esta:
Si \( M   \) y \( N  \) son variedades diferenciables. Y \(  F: M \longrightarrow{N}   \) una aplicación diferenciable. Para cada \( p \in M   \)  Definimos una aplicación \( F_{*}: T_{p}M\longrightarrow{T_{F(p)}N}   \) llamada Push-Forward (¿Cuál es la traducción al español de esto? asociado con F, dada por:
\( (F_{*}X)(f)=X(f\circ{F})   \) 
El autor afirma lo siguiente.   
Note que si \( f \in C^{\infty}(N)   \)  entonces \(  f \circ{F} \in C^{\infty}(M)   \) entonces \( X(f\circ{F})  \) 
Tengo varias preguntas, agradecería si me ayudarán a entender.
1) Se supone que \( X \) es una derivación en   \( T_{p}M \) y termina siendo una derivación en  \( T_{F(p)}N \) ¿No?. Ahora, no entiendo tampoco porqué  \(  f \circ{F} \in C^{\infty}(M)   \). Agradecería su ayuda.

19
Hola ¿Qué tal? De antemano quisiera saludarlos a todos y agradecer su colaboración. Acudo a ustedes porque quiero que me digan si la forma en la que estoy pensando el siguiente ejercicio es la adecuada. Mil gracias.
Sean \( A_1   \) Y \( A_2   \) definidos para \( \mathbb{R}   \) por \( A_1=\left\{{(\mathbb{R}, Id}\right\}   \) y  \( A_2=\left\{{(\mathbb{R}, \phi}\right\}   \) donde  \( \phi(x)=x^3  \) y sea  \( f: \mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}   \) cualquier función. Debo determinar condiciones necesarias y suficientes para que:
a) Una aplicación  \( (\mathbb{R}, A_2 )\longrightarrow{(\mathbb{R}, A_1 )}  \) sea diferenciable.
b) Una aplicación  \( (\mathbb{R}, A_1 )\longrightarrow{(\mathbb{R}, A_2 )}  \) sea diferenciable.

Lo que tengo que mirar es que:
Una aplicación  \( \phi \circ f \circ id^{-1}=(f(x))^{3}  \) sea diferenciable y bajo que condiciones:
\( id \circ f \circ \phi^{-1}=f(\sqrt[ 3]{x})  \) es diferenciable?
Quedo atento, mil gracias.

20
Probabilidad / Cadenas de markov y martingala.
« en: 27 Mayo, 2021, 03:31 am »
Hola. Tengo el siguiente problema, hay una parte que no he podido resolver. Agradecería si me echaran una mano.
Sea \( X_n \) una cadena de Markov. Con espacio de estados \(  \mathbb{Z}  \) con \(  X_0=0 \), \(  p_{0,-1}=\frac{1}{2} \), \(  p_{0, 1}=\frac{1}{2} \), \(  p_{i+1, 1}=1 \) para todo \(  i\geq{1} \) y
 \(  p_{i, i-1}=1 \)  para todo \(  i\leq{-1} \)
a) Calcule distribución de probabilidades.
b) Calcular el valor esperado de la cadena al tiempo n.
c) compruebe que \(  E[X_n]=E[X_0]  \)
Ya hallé la distribución de probabilidades.
Pero no sé hacer b y c porque no vimos nunca valor esperado en cadenas de markov.
La distribución viene dada por:
\(  p_j (n)=1/2  \) si \( j=n  \) ó \( j=-n  \) 0 en los otros casos. Quedo atento. Un millón de gracias.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 9