Hola, sqrmatrix, vuelvo a pasar por aquí.
Una cosa que se puede hacer es usar la inducción respecto de cuándo entra el siguiente par que sólo tiene parejas de esa forma (después del 210) pues ya sabemos que hay muchos pares consecutivos, más de 10000, en los que existe al menos una pareja de las otras; o sea, de las que propician que \( p+(c+2) \) cumplan la conjetura; es decir, que la cumpla el siguiente par.
*Pero antes de seguir, vamos a acordar unas cosas para que yo no me líe:
1º Al par (como puede ser 210 o cualquier otro) lo llamaremos “2n”, siendo “n” la mitad, valor que únicamente suma “2n” consigo mismo y queda fuera de consideración: tomamos sólo en cuenta los números de los intervalos abiertos \( (0,n) \) y \( (n,2n) \) donde el supremo y el ínfimo de cada intervalo quedan fuera; y en \( (0,n) \) también queda fuera de consideración el 1, aunque si entre; pero lo meto al cero por una cuestión de simetría, para ver las cosas mejor. Si dejamos aislado “n” en el centro, tenemos esto
\( {\color{red}0},1,2,{\color{red}3},4,5,{\color{red}6}
\)
de manera que hay los mismos números, a tomar en cuenta, en un lado y en otro. Volviendo a señalar que, además, sólo consideramos los coprimos; en el caso de 6 no hay porque es trivial, es el doble de un primo.
2º Llamaremos siempre “par” al “2n” en sí, y “pareja” al primo y al compuesto \( p,c \) tal que \( p+c=2n \).
Lo que hemos verificado hasta ahora por medio de la programación es que parece haber sólo dos pares en los que no existe ninguna pareja que tenga un \( (c+2)=primo \); démosle el nombre de “pares críticos”. Esto no quiere decir que en las que sí existe alguna pareja con un \( (c+2)=primo \) respecto de su "p" (pareja no crítica, digamos) no haya también parejas de las otras.
(si a mí mismo, que se me ocurrió plantear buscar esto y hacer y el programa, se me olvidó de repente lo que estaba haciendo, pues a algunos lectores les podría pasar lo mismo; así que, para que se siga mejor el hilo y se sepa de qué hablamos).
Ahora ya sí, planteamos la inducción pensando en el par de ese tipo que entra por primera vez después del conocido \( 2n=210 \)
Para ello, tomemos antes de nada algunos pares consecutivos representados con sus parejas
\( 0,1,2,{\color{red}3},4,5,6
\)
\( 0,1,2,3,{\color{red}4},5,6,7,8
\)
\( 0,1,2,3,4,{\color{red}5},6,7,8,9,10
\)
\( 0,1,2,3,4,5,{\color{red}6},7,8,9,10,11,12
\)
\( 0,1,2,3,4,5,6,{\color{red}7},8,9,10,11,{\color{blue}12,13,14}
\)
...
Los números en rojo son los \( n \) consecutivos.
Si nos fijamos en \( 2n=12 \), 7 suma con 5, el 8 con 4, etc. En el siguiente par, 14, siete ha pasado a ocupar el centro (no entra en consideración) y 8 se empareja con el par siguiente al que lo hacía antes; para sumar 12 era 4 y ahora para sumar 14 es 6. En el caso de los impares, también con los siguientes impares. Y así con los demás números, todos suman con los siguientes (y consideramos sólo los impares coprimos con 2n, esto es sólo un ejemplo para que vea eso).
Si observamos, al pasar del 12 al 14 (y en general pasará igual) el antiguo par (12) no se considera para las parejas el 14; por ser par. Y lo marco en azul. Naturalmente, el propio par “2n”, que es 14, tampoco entra entre las parejas a estudiar; también lo marco en azul. El 12 es “2n-1” que suma “2n” con 1 y, por tanto, tampoco entra en las parejas a estudiar.
Así, vemos que los números a considerar también están en el intervalo anterior, entre 6 y 12.
Esto quiere decir que si 14 fuera un par critico, los compuestos consecutivos ya estarían en el par anterior, en 12, aunque no todos con la condición \( (c+2=no\,\,primo) \); porque es la hipótesis de inducción, cumple que hasta ahí no ha entrado ningún par crítico y que el siguiente es el primero que entra.
La disposición en general sería ésta:
\( 0........c_{a}.......{\color{red}n},........c_{1}...c_{2}....(2n-1),2n
\)
Éste es el supuesto último par en el que aún entra alguna pareja tal que su “c” cumple \( c+2=primo
\).
Se han dibujado dos compuestos consecutivos (como representantes de entre los que puedan existir en \( (n,2n) \)) y éstos compuestos son \( c_1 , c_2 \). Tienen que estar ya ahí, como hemos visto, y son necesarios para producir parejas críticas en el siguiente par; y todas han de ser críticas en ese siguiente.
En el otro lado, entre cero y “n”, es necesario que exista un compuesto tal que \( c_{a}+c_{1}=2n
\); pues si \( c_{a}
\) fuera primo, tendríamos \( p+c_{1}
\) y \( c_{1}+2=c_{2}
\); pero estamos considerando, por inducción, que tal cosa ocurrirá, respecto de estos compuestos, en el siguiente par.
Con alguna pareja tiene que pasar eso; y ésa es la que estamos considerando.
Ahora, representemos lo mismo “corriendo” hacia la derecha la “n”; queda, también en rojo, una “C” mayúscula en lo que va a ser el “centro antiguo”.
\( 0........c_{a}........{\color{red}C},{\color{red}(n+1)},........c_{1}...c_{2}....(2n-1),2n
\)
Hagamos lo mismo con el “2n”, ampliemos el intervalo:
\( 0........c_{a}...{\color{blue}p}_{{\color{blue}b}}........{\color{red}C},({\color{red}n+1}).......c_{1}...{\color{blue}c_{2}}.......................[(2n+2)-1],(2n+2)
\)
Aparece un \( p_b \) tal que \( p_{b}+c_{1}=2n+2
\); forma con \( c_{1}
\), como ya he anticipado en lo dicho anteriormente, es una de las parejas críticas; pues tenemos \( c_{1}+2=c_{2}=no\,\, primo
\); es necesario por la hipótesis (y, para decirlo todo, digamos también que, en el otro lado, \( c_a + 2=p_b \), pues son impares impares consecutivos).
Una cosa que se puede afirmar es que, cuando entra el par crítico por primera vez (después del 210) la conjetura de Goldbach se sigue cumpliendo para ese par crítico; veamos por qué, volviendo al intervalo anterior al del par crítico:
\( 0........c_{a}.......{\color{red}n},........c_{1}...c_{2}....(2n-1),2n
\)
Como ese par no es crítico, tiene que existir alguna pareja tal que \( p+c
\) con \( c+2=p \); es decir, que el siguiente par (que es el crítico) cumple la conjetura de Goldbach.
Esto nos lleva a poder afirmar una de esas pequeñeces que parecen poco importantes, pero que con más pequeñeces, a lo mejor algún día, resultan decisivas:
Para que no se cumpla la conjetura de Goldbach tienen que existir al menos dos pares críticos consecutivos
La afirmación no es segura, se queda en menos de lo que era: 2n la cumple, “2n+2”, el par crítico, la cumple, pero “2n+4” aunque no sea crítico, no tiene por qué; pues nos dice sólo que existe algún “p+c” tal que “c+2” es primo; es decir, asegura el siguiente, asegura “2n+4”.
Pero aun así seguimos teniendo una pequeña cosa; podemos asegurar una “intermitencia” en la conjetura; a no ser que entren dos críticos consecutivos.
Y los dos que conocemos hasta el momento, 36 y 210, al principio de la sucesión de los naturales, están bastante distanciados.
Cada pareja crítica implica dos compuestos en \( (n,2) \), cada pareja de la forma \( c_1+c_2 \) implica un compuesto (por cada una de ellas) y también hay mucha en los números grandes; la pregunta es, ¿se podrá demostrar que no dejarían sitio a los primos que, por el postulado de Bertrand tendrían que entrar?
Por otro lado, ¿qué podemos usar? Tenemos la conjetura débil, como algo bastante nuevo, y muchos teoremas más o menos antiguos; Fermat, Euler, Wilson...
El esquema da para analizar más y plantear sospechas y conjeturas nuevas, pero prefiero dejarlo aquí de momento; que cuanto menos hable, también cometeré menos equivocaciones.
Hay que seguir pensando, porque hay material para hacerlo y deducir más pequeñas cosas.
Saludos.
