[Gonzo]

Hola.

Sean a y b dos números primos tal que:

\(  (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  \) recordemos el Triangulo de Pascal.
\(  (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2)  \);

Para complir la conjetura de Beal \(  b(3a^2+3ab+b^2)  \) tiene que ser potencia, por lo tanto;

\(  (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n  \).

UTF.

\(  (a+b)^3= a^3+b(b^2)  \);
\(  (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2)  \);
\(  b^2 = 3a^2+3ab+b^2  \); \(  0 = 3a^2+3ab  \). Contradicción.

Beal.

\(  (a+b)^3= a^3+b(b^n)  \); n es un integro mayor o igual que 3.
\(  (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2)  \);
\(  b^n = 3a^2+3ab+b^2  \); Despejamos la a.

\(  a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2} - 1)} - 3 b)  \).

Por tanto, a esta en función de b. Contradiciendo que a y b sean primos. ¿Cierto?

¿Luis en que me equivoco esta vez?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean a y b dos números primos tal que:

\(  (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3  \) recordemos el Triangulo de Pascal.
\(  (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2)  \);

Para complir la conjetura de Beal \(  b(3a^2+3ab+b^2)  \) tiene que ser potencia, por lo tanto;

\(  (3a^2+3ab+b^2)=b^2, b^3, b^4,..., b^n  \).

¿Pero por qué una potencia de \( b \) y no de cualquier otro número?.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

\(  b(3a^2+3ab+b^2)  \)

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto \(  b(3a^2+3ab+b^2)  \) en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si \(  (3a^2+3ab+b^2)  \) es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, \(  7(7^2)(3^3)  \) donde b = 7 y \(  (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3)  \) ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

\(  b(3a^2+3ab+b^2)  \)

b es un número primo. 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Un número primo, solo es potencia si se multiplica por el mismo o un número con el que posea un factor común, posiblemente si multiplicáramos el 2 o cualquier otro número primo por el resto de los infinitos números primos (finitas o infinitas veces) nunca obtendríamos ninguna potencia. ¿Cierto?

Por tanto \(  b(3a^2+3ab+b^2)  \) en este caso concreto, (quizás me equivoque) dicha ecuación, considerando que b es un número primo, solo puede ser potencia si \(  (3a^2+3ab+b^2)  \) es igual a una potencia de b o un número con factor común de dicho primo.

Es decir, \(  7(7^2)(3^3)  \) donde b = 7 y \(  (3a^2+3ab+b^2) = (7^2)(3^3)  \) ¿Cierto?

Cualquier otro número que no sea b o no contenga un factor común con b, su producto con b no será potencia. ¿Cierto?

Si, eso si. Es decir \( b \) es primo y \(  b(3a^2+3ab+b^2)  \) es una \( n \)-sima potencia entonces:

\( b(3a^2+3ab+b^2)=b^nk^n \)

Saludos.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat \( x^3+y^3=z^3 \) te estás centrando en el caso en el que \( x \) es primo y \( z-x \) es primo.

[Gonzo]

Hola.

Beal

\(  b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2  \); Despejamos la a.

\(  a = \displaystyle\frac{1}{6} (\sqrt[ ]{3} \sqrt[ ]{b^2 (4 b^{n-2}c^{n} - 1)} - 3 b)  \).

Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Beal

\(  b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2  \); Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que \( b \) es divisor de \( 3a^2 \). Dado que \( b \) es primo y \( a \) también, o \( b=3 \) o \( b=a \).

Si este razonamiento lo extendiéramos, mediante el triangulo de Pascal a todas las potencias, ¿estaria demostrada la conjetura de Beal?

Pero no sé si eres consciente del comentario que te hice en mi anterior mensaje:

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat \( x^3+y^3=z^3 \) te estás centrando en el caso en el que \( x \) es primo y \( z-x \) es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia \( 3 \); estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Lanzo dos casos, para intentar, obtener la sistemática general para la conjetura de Beal. Siendo a y b coprimos.

\(  a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 =(a+b)^4  \);
\(  a^4+b^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3 =(a+b)^4  \);
\(  a^4+b(b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2) =(a+b)^4  \);

De acuerdo con Luis \(  b^3+4a^3+6a^2b+4ab^2 =b^{n-1}K^n \) a es divisible con b contradiciendo que son coprimos.

Esta sistemática se puede extender a todos los grados del triángulo de Pascal tal que \(  a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n  \) donde k y c son números enteros positivos. ¿Cierto?

Añado un nuevo caso:

\(  a^4+ b^4=(a+b)^4-(4a^3b+6a^2b^2+4ab^3)  \);
\(  a^4+ b^4=(a+b)^4-((a+b)(-((2a^4)/(a+b)) +2a^3+2a^2b+4ab^2))  \);

\(  \displaystyle\frac{2a^4}{(a+b)}  \). Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común. ¿Cierto? Bueno pues, con mucha paciencia, quizás esta sistemática se pueda extender a todos los grados en este caso concreto. ¿Cierto? Mediante una ecuación que generalice esta situación concreta tal que \( a^n +b^n = (a+b)^{n+c}  \) donde c es un número integro positivo. ¿Cierto?

Atentamente.

[Gonzo]

Hola.

Sean a y b coprimos y t1, t2 coeficientes del triangulo de Pascal.


1) \(  a^n+(Kb)^{n+c} =(a+b)^n  \)

Apliquemos el triangulo de Pascal:

\(  a^n+t1a^{n-1} b+...+t1ab^{n-1}+b^n =(a+b)^n \);
\(  a^n+ b^n+t1a^{n-1} b+...+ t1ab^{n-1}=(a+b)^n  \);
\(  a^n+ b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+ t1ab^{n-2}) =(a+b)^n  \);

De toda la expresión \(  b(b^{n-1}+t1a^{n-1} +...+t1ab^{n-2})  \) (i), el producto \(  t1a^{n-1}  \) es el único que no pose b, por lo tanto, para que sea (i) potencia a ha de ser divisible o tener un factor común con b. ¿Cierto?


2) \( a^n +b^n = (K(a+b))^{n+c}  \)


n par
\(  a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1})  \);
\(  a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)}+f(a,b)))  \);
La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.


n impar
\(  a^n+ b^n=(a+b)^n-( t1a^{n-1}b+ ...+ t1ab^{n-1})  \);
\(  a^n+ b^n=(a+b)^n-((a+b)^2)(-\displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)^2}+f(a,b)))  \);

La f(a,b) representa una suma de potencias de a y b sin ningún tipo de quebrado.

\(  \displaystyle\frac{2a^n}{(a+b)}  \). Esta ecuación para que facilite un numeró integro, a y b deben tener un factor común.

Este razonamiento demuestra la conjetura de Beal.


¿Luis en que me equivoco?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

 No has prestado atención al comentario que hice al final de mi último mensaje.

P.D. Añado además que estás estudiando un caso muy particular. Por ejemplo si hablamos de la ecuación de Fermat \( x^3+y^3=z^3 \) te estás centrando en el caso en el que \( x \) es primo y \( z-x \) es primo.

No sólo es particular que estés tomando la potencia \( 3 \); estás tomando además una situación nada general, considerando un factor primo y que se diferencia del segundo en otro primo. El caso general sería considerar los factore coprimos, es decir, sin divisores comunes (pero no necesariamente primos), que es bien distinto.

Entonces, sin ir más lejos el caso más sencillo que era este:

Beal

\(  b^{n-1}c^n = 3a^2+3ab+b^2  \); Despejamos la a.

No hace falta que despejes nada; de esa expresión se deduce que \( b \) es divisor de \( 3a^2 \). Dado que \( b \) es primo y \( a \) también, o \( b=3 \) o \( b=a \).

Ya no funciona si \( a \) y \( b \) son sólo coprimos, pero no necesariamente primos.

En ese caso que \( b(3a^2+3ab+b^2) \) sea una potencia NO significa que ésta sea de la forma \( b^nk^n \). Por ejemplo \( b \) podría ser de la forma \( b=s^n  \), de manera que que \( b(3a^2+3ab+b^2) \) fuese una enésima potencia simplemente significaría que \( (3a^2+3ab+b^2) \) también lo es pero ya sin ninguna relación con \( b \).

Esto ya invalida tus pretendidas generalizaciones.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Luis haber si lo entendido. Sea a y b coprimos y n potencia mayor o igual que 3.

\(  (a+b)^3= a^3+b(3a^2+3ab+b^2)  \);


\(  b=x^n \);

\(  3a^2+3ab+b^2=y^n \);


\(  3a^2+3a x^n + x^{2n} = y^n \);

\(  3a x^n + x^{2n} = y^n - 3a^2  \);

\(  x^n (3a+ x^{2})= y^n - 3a^2  \);

\(  (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ y^n - 3a^2}{ x^n }  \);

Sustituimos \(  3a^2+3ab+b^2=y^n \) y \(  b=x^n \).

\(  (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a^2+3ab+b^2- 3a^2}{ b }  \);

\(  (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3ab+b^2}{ b }  \);

Simplifico.

\(  (3a+ x^{2})= \displaystyle\frac{ 3a+b}{ 1 }  \);

\(  3a + x^2 = 3a +b  \);

\(  x^2 = b  \);

La n inicialmente la propusimos mayor o igual que 3, que no 2, por lo tanto contracción. ¿Cierto?

Atentamente.