[Luis Fuentes]

Hola

Por lo tanto \(  (k+d)^n = (k^{2n} +3a(a+k^n))  \). Pero si se cumpliera la igualdad, de acuerdo con el triángulo de Pascal \(  3a= kd \). Y todas las variables estarían en función de a.

¿Cierto?

No, no está bien.

No veo ningún motivo para que la igualdad azul se deduzca la afirmación que haces en rojo.

Si sigues pensando que tu afirmación es correcta detalla al máximo su justificación.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

\(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \);

\(  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1)  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1)  \);

\(  kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \);

\(  kd()+d^n  \) los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto \(  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \), ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Atentamente.

[Gonzo]

Hola.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

\(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \);

\(  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

Pero si considero que \(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \). ¿Por qué no puedo considerar que \(  (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \)?
Porque \(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n  \). Todo seria mucho más fácil.

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

\(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \);

\(  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a(a+k^n) + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+3ak^n + k^n  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+ k^n(3a+1)  \);

\(  kd()+d^n = 3a^2+ k(k^{n-1})(3a+1)  \);

\(  kd()+d^n =  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \);

\(  kd()+d^n  \) los dos sumandos poseen un factor común.

Por lo tanto \(  k(k^{n-1})(3a+1)+3a^2  \), ¿debe tener un factor común? para que cumplan con la igualdad.

Si te refieres a si \( k(k^{n-1})(3a+1) \) y \( 3a^2 \) tienen que tener un factor común, la respuesta es NO necesariamente. Nada de lo anterior impide que esos dos sumandos puedan ser coprimos.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

\(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \);

\(  k^n+kd()+d^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

Pero si considero que \(  (k+d)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \). ¿Por qué no puedo considerar que \(  (k+k)^n = k^{2n} +3a(a+k^n))  \)?
Porque \(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n)) + k^n  \). Todo seria mucho más fácil.

Pero no sé que quieres decir con eso. Si tomas \( d=k \) estás tomando un caso particular y ...¡claro que sería más sencillo!.

Es como si en el teorema de Fermat en vez de \( x^n+y^n=z^n \) tomo \( x^n+x^n=z^n \) y entonces es trivial que no existe solución entera.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

\(  k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos \(  k^n +… + k^n  \)) no podemos considerar que:

\(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \)

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

 No entiendo nada.

Consideremos que \(  (k^{2n} +3a(a+k^n))  \) es igual a potencia enésima.

¿Y qué tiene que ver eso con lo que pones a continuación?.

\(  k^n +3a(a+k^n) + k^n  \);

Mediante similitud con el triángulo de Pascal (fijémonos en los extremos \(  k^n +… + k^n  \)) no podemos considerar que:

\(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \)

No estoy seguro de entenderte. En general si tienes \( k^n +3a(a+k^n) + k^n \) nada garantiza que sea igual a \( (k+k)^n \). Sólo será igual para una valor concreto de \( a \).

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Si, si que lo ha entendido.

\(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \)

En este caso \(  3a() = k^2()  \) por tanto a depende de k, recordemos que \(  b=k^n \) por tanto en este caso concreto a y b poseen un factor común.

Pero decir que \(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \) tiene que cumplirse para todas los valores en que \(   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \) sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero decir que \(  (k+k)^n = k^n +3a(a+k^n) + k^n  \) tiene que cumplirse para todas los valores en que \(   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \) sea potencia enésima, es muy arriesgado. ¿Cierto?

No es que sea arriesgado ni no arriesgado. Simplemente si se pretende defender esa afirmación habría que argumentarlo. Y yo no veo ningún motivo por el cual tenga que ser así. Es decir es una suposición gratuita.

Por otra parte no sé porque insistes en \(   k^n +3a(a+k^n) + k^n  \) si lo que tienes de tu desarrollo previo es que \( (k^{2n} +3a(a+k^n)) \) es potencia enésima.

Saludos.

[Gonzo]

Hola.

Cierto que \(  (k)^{2n} = k^n + k^n  \) esta mal.

Pero.

\(  (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n)  \);

\(  k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n)  \);

\(  kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n)  \);

\(  d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n)  \);

\(  (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d }  \);

i. \(  \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d }  \)

ii. \(  \displaystyle\frac{(3a)}{ d }  \);

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

Atentamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Cierto que \(  (k)^{2n} = k^n + k^n  \) esta mal.

Pero.

\(  (k+d)^{2n} = k^{2n} +3a(a+k^n)  \);

\(  k^{2n} + kd() + d^{2n}  = k^{2n} +3a(a+k^n)  \);

\(  kd() + d^{2n}  = 3a(a+k^n)  \);

\(  d(k()+d^{2n-1}) = 3a(a+k^n)  \);

\(  (k()+d^{2n-1}) = \displaystyle\frac{ (3a(a+k^n))}{ d }  \);

i. \(  \displaystyle\frac{(a+k^n)}{ d }  \)

ii. \(  \displaystyle\frac{(3a)}{ d }  \);

En alguno de los dos casos mencionados, las divisiones deberían ser igual a un número íntegro. i. y ii, si alguno de los dos cumple con lo establecido, entonces d tendría un factor común con alguno de los dividendos. ¿Cierto?

No exactamente. No tiene porque ocurrir (no al menos sin algún argumento adicional) que (i) o (ii) sean enteros. Algún factor primo de \( d \) podría ser divisor de \( 3a \) y otros de \( a+k^n \).

Ahora si supones \( a \) y \( k \) coprimos, entonces \( a \) y \( d \) también tienen que ser coprimos luego se deduce que \( \dfrac{3(a+k^n)}{d} \) es entero.

No, ni siquiera \( a \) y \( d \) tienen porque ser coprimos.

Saludos.

CORREGIDO