Autor Tema: x^y=y^x

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14 Diciembre, 2011, 09:17 am
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oveka

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Demostrar que \( x^y=y^x \) tiene soluciones no iguales.

14 Diciembre, 2011, 10:29 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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\( x^y = y^x\Leftrightarrow \ln x^y = \ln y^x \Leftrightarrow y\ln x = x\ln y \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln y}y \)

Sólo tienes que probar que la función \( \displaystyle\frac{\ln x}{x} \) toma dos veces el mismo valor. Por ejemplo, prueba que es creciente hasta \( x=e \) y decreciente a partir de \( x=e \), por lo que hay puntos a la izquierda de e donde toma el mismo valor que a la derecha de e.

14 Diciembre, 2011, 10:32 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Demostrar que \( x^y=y^x \) tiene soluciones no iguales.

Supongo que quieres decir que existen al menos dos soluciones. En tal caso basta que elijas \( (1,1) \) , \( (2,2) \)  ( \( (2,4) \) si te refieres a \( x\neq y \) ) . Un tratamiento general del problema es tomar logaritmos naturales, \( y\log x=x\log y \) , dividir entre \( xy \) , \( \displaystyle\frac{\log x}{x}=\displaystyle\frac{\log y}{y} \) y considerar la función \( f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x} \) .

Editado: Carlos "desenfundó" antes.