Cierto que los discos iban a ser tangentes en este escenario, pero tenemos que existe un intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) (con \( \alpha _1=12499,2 \)) tal que si \( \alpha \in (\alpha _0, \alpha _1) \) entonces \( \overline{\mathbb{B}}(1,3\alpha ^{-1} ) \) es disjunto de los otros dos discos, por tanto para cualquiera de esos \( \alpha \) sabemos que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3\alpha^{-1}) \), pero existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( 3\alpha_1 ^{-1}+1/n=3\alpha ^{-1}\Leftrightarrow \alpha \in (\alpha _0,\alpha _1) \) para todo \( n\geqslant N \). Entonces
\( \displaystyle{
\color{red}{}\alpha \in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\mathbb B}(1,3\alpha_1 ^{-1}+\frac1{n})= \overline{\mathbb B}(1,3\alpha ^{-1})
} \)
Por tanto la tangencia aquí no altera el resultado, podemos asegurar que el valor propio está en ese disco.
Esto lo entiendo parcialmente, me pierdo donde marque en rojo.
Muchas gracias por toda la ayuda hasta el momento.
Saludos,
Franco.
Tienes que \( \frac{3}{\alpha _1}+\frac1{n}=\frac{3}{\alpha(n) }\Leftrightarrow \alpha(n) =\frac{3\alpha _1}{3+\alpha _1/n} \), por tanto la sucesión de \( \alpha (n) \) es estrictamente creciente y converge hacia \( \alpha _1 \), entonces para \( n \) suficientemente grande tenemos que \( \alpha (n)\in (\alpha _0,\alpha _1) \). El intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) existe siempre y cuando observemos que existe al menos un \( \alpha >0 \) tal que la desigualdad anterior se cumpla estrictamente, que significa que existe un valor de \( \alpha \) para el cual el disco \( C_1 \) es disjunto de los otros. Necesariamente tal \( \alpha <\alpha _1 \) (que implica que \( C_1 \) es más grande del valor límite encontrado) así que tomando ese tal \( \alpha \) como \( \alpha _0 \) ya tenemos tal intervalo.
Pero el ejercicio es ciertamente lioso, para corroborar que tal \( \alpha \) existe podemos recurrir de nuevo a Wolfram o hacer las cuentas a mano. Con Wolfram si busco el intervalo solución de la anterior desigualdad, pero estricta, hallo que
\( \displaystyle{
1-\frac{3}{\alpha }c> \max\left\{\frac1{2}+(4\alpha +3)c, \frac1{10}+(\alpha +3)c\right\} \iff 0,0000600036 <\alpha < 12499,2
} \)
que es el intervalo que obtenías antes, así que podemos tomar \( \alpha _0=1 \). Espero ahora se entienda todo mejor.
Aclaración: en mi respuesta anterior había un error, ya corregido en rojo. Para aclarar, tenemos que existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3/\alpha (n)) \) para todo \( n\geqslant N \), por tanto
\( \displaystyle{
\lambda _1\in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\Bbb B}\left(1,\frac{3}{\alpha (n)}\right) =\overline{\mathbb B}\left(1,\frac{3}{\alpha _1}\right)
} \)