[Mushotoku]

Molesto con otro ejercicio:
Una varilla de longitud \( l  \)y masa despreciable que puede girar alrededor de su eje que pasa por su centro tiene en sus extremos dos masas \( m_1 \) y \( m_2 \) distintas. Se libera el sistema cuando la varilla está horizontal. Determine la velocidad de cada cuerpo cuando la varilla llega a la posición vertical.

Supongo que \( m_1 \) es la que sube.

\( \Delta E_p=m_1g\frac{l}{2} \)
\( \Delta E_c=\frac{1}{2}m_1v^2 \)
\( \Delta E_p = -\Delta E_c \Rightarrow{m_1g\frac{l}{2}=-\frac{1}{2}m_1v^2} \)

Termino con la velocidad siendo un número imaginario.

¿Donde me equivoco?

[jordioj]

Pero \( m_2 \) no lo has tenido en cuenta. Creo que lo mejor sería considerar una masa cuyo efecto fuera el mismo que causarían las dos masas del problema, es decir, un sistema equivalente de una masa \( M \) a una distancia \( d \) del eje de la varilla. Entonces
\( M=m_{1}+m_{2} \)
\( d=\dfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot\dfrac{l}{2} \)
Por conservación de la energía \( Mg\left |{d}\right |=\dfrac{MV^2}{2} \) y la velocidad \( v \) en los extremos se sacaría de la relación \( \dfrac{V}{d}=\dfrac{v}{l/2} \)

[Jabato]

La pérdida de energía potencial que se ha producido cuando la varilla se encuentra en posición vertical y con la masa mayor en su parte inferior vale:

\( -\Delta U=(m_1-m_2)g\displaystyle\frac{l}{2} \)            \( m_1>m_2 \)

pérdida que debe ser compensada por el incremento de la energía cinética del sistema, por lo tanto:

\( -\Delta U=(m_1-m_2)g\displaystyle\frac{l}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=\Delta E_c \)

Observa que la velocidad de ambas masas debe ser la misma, puesto que giran a la misma velocidad unidas por la varilla, y el radio de giro es el mismo para ambas, de valor \( r=l/2 \). De lo que concluimos que:

\( v=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\ gl}\qquad\longrightarrow{}\qquad \omega=\displaystyle\frac{v}{r}=2\ \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\ \displaystyle\frac{g}{l}} \)

Observa que se satisface la ecuación:

\( \Delta U+ \Delta E_c=0\qquad\longrightarrow{}\qquad U_1+E_{c1}=U_2+E_{c2} \)

conforme al teorema de la conservación de la energía.

Saludos, Jabato.

[jordioj]

Hola. La velocidad que has mostrado correspondería a la velocidad que alcanzaría el sistema equivalente que he indicado, sería la velocidad de la varilla a la distancia d del eje, no en los extremos.

[Jabato]

Creo que no, jordioj. Vamos a ver, si yo he leido bien el enunciado, el sistema está formado por dos masas distintas situadas en los extremos de una varilla rígida, de longitud \( l \) y de masa despreciable, y que puede girar libremente alrededor de su punto medio, punto que está fijo, de forma que cuando se libera el sistema la masa de mayor peso se desplaza hacia la parte inferior y la de menor peso consecuentemente se desplaza hacia arriba.

En esas condiciones el cálculo que he realizado se corresponde con la velocidad de cada una de las masas cuando la mayor de ellas alcanza su punto inferior (la varilla se encuentra en posición vertical), y si he de ser sincero no entiendo el razonamiento que has hecho, jordioj, aunque no digo que esté mal, solo que no lo entiendo. Sería bueno verificar que ambos razonamientos conducen al mismo resultado.

Saludos, Jabato.

[jordioj]

La interpretación que das a esta ecuación
\( -\Delta U=(m_1-m_2)g\displaystyle\frac{l}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2=\Delta E_c \)
no es correcta, porque \( (m_1-m_2)g\displaystyle\frac{l}{2}\cdot\dfrac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}+m_{2}}=Mgd=\dfrac{MV^2}{2} \) , siendo \( M,d \) los valores indicados anteriormente, y se puede interpretar perfectamente lo que digo.

[Jabato]

Vamos a ver si nos entendemos, yo no hago ninguna interpretación de nada, solo aplico el teorema de la conservación de la energía, y solo con eso llego al resultado correcto. Ahora bien, si tú crees que dicho teorema no puede aplicarse en este caso deberías justificarlo, cosa que no haces y tampoco das el valor de la magnitud que pide el enunciado, que es la velocidad de las masas cuando la varílla alcanza la posición vertical. Entonces ...

[jordioj]

Pero si yo también estoy aplicando la conservación de la energía, ya he mostrado el procedimiento, claro que obtengo la velocidad en la posición vertical, si no no tendría sentido hacer \( Mg\left |{d}\right |=\dfrac{MV^2}{2} \) y la velocidad que se obtiene se lo atribuyes a la velocidad en los extremos, eso es falso y te lo he mostrado, esa velocidad es la del centro de masas. Si no entiendes esto no sé que más decir.

[Mushotoku]

Mi problema es que a lo que Jabato llama \( -\Delta U \) para mi es \( \Delta U \)

[Jabato]

Pues no Mushotoku, verás, si yo me propongo hallar \( \Delta U \) deberé hallar el incremento de la energía potencial al evolucionar el sistema, y tomando como cota de referencia la del centro de la varilla resulta que en el instante inicial el valor de la energía potencial es:

\( U_1=m_1gh_1+m_2gh_2=0 \)        por ser        \( h_1=h_2=0 \)

En el instante final el valor de la energía potencial (suponiendo como ya supuse antes que la masa mayor es \( m_1 \)) es:

\( U_2=m_1g\left(-\displaystyle\frac{l}{2}\right)+m_2g\left(\displaystyle\frac{l}{2}\right)=(m_2-m_1)g\displaystyle\frac{l}{2} \)

porque la masa mayor desciende (disminuyendo su energía potencial) y la menor asciende (aumentando su energía potencial), por lo tanto:

\( \Delta U=U_2-U_1=m_1g\left(-\displaystyle\frac{l}{2}\right)+m_2g\left(\displaystyle\frac{l}{2}\right)=(m_2-m_1)g\displaystyle\frac{l}{2}<0 \)

es decir la energía potencial disminuye, al ser su incremento negativo, de lo que resulta que:

\( -\Delta U=(m_1-m_2)g\displaystyle\frac{l}{2}=\Delta E_c>0 \)       \( m_1>m_2 \)

que coincide exactamente con lo que ya expuse en mi mensaje anterior.

Saludos, Jabato.