Hola
Intentando responder a argentinator unos pequeños comentarios sobre espacios proyectivos.
Como ejemplo base para entender el asunto veamos la construcción del plano proyectivo.
1) ¿Qué es el plano proyectivo?.
Es el plano afín, el usual, el que estamos acostumbrados a manejar, al que "añadimos" los "puntos del inifnito".
2) ¿Qué son los puntos del infinito?¿A qué viene añadirlos?¿Por qué complicarse?
Idea intuitiva 1: Pensemos en una vía del tren con una larga recta, un camino largo y recto, una carretera larga y recta, sabemos que sus lados son rectas paralelas, que de manera teórica se prolongan hacia el infinito y nunca se cortan ; en la práctica no se prolongan hacia el infinito, pero si hasta lo que alcanza nuestra vista o la precisión del objetivo de una cámara.
Bien si fotografiamos un paisaje de esa índole veríamos con sorpresa que nuestras rectas paralelas se han convertido en nuestra foto en dos rectas que se cortan. ¿Cómo ha aparecido ese punto de intersección?¿A qué punto "real" corresponde?. Notemos que una fotografía es una proyección del espacio en un plano; es fácil introducir fórmulas; si analizamos esa proyeccion sobre las vías del tren, veríamos que el límite de los puntos de las vías, que en la realidad no existen, al proyectar si confluyen en un punto "de verdad" con sus coordenadas concretas.
Esto no ocurre (no de esa manera) si las rectas reales (los railes de las vías del tren) no son paralelos, luego de alguna manera ese punto que aparece en la foto refleja el paralelismo de ambas rectas, y en concreto el supuesto punto donde esas rectas se "cortarían en el infinito".
La geometría proyectiva intenta formalizar esta idea.
Idea intuitiva 2: Pensemos en dos rectas dibujadas sobre el plano y cortándose en un punto; fijemos un punto exterior \( O \) a ellas. Ahora podemos definir una biyección entre ambas: trazamos rectas por \( O \) y relacionamos los puntos de corte de esas rectas con las dos fijas. Es fácil ver que esa biyección solo "falla" cuando nuestra recta por \( O \) es paralela a una de las rectas iniciales; entonces hay un punto de una de ellas al que parece no corresponder ninguno de la otra. Además si uno se aproxima a esa recta que da la "falla" vemos que ese punto que falta se "va hacia el infinito".
De nuevo a un punto real con sus coordenadas concretas y con una construcción muy "natural" le corresponde un punto que parece no exsitir o estar "demasiado lejos", "en el infinito".
De nuevo la geometría proyectiva puede modelizar esta situación.
3) ¿Qué ventajas tendrá la geometría proyectiva?
El hecho de poder dar "cuerpo" a los puntos del infinito, darles coordenadas, manejarlos, nos permitirá que se comporten como cualquier otro punto.
Entonces el paralelismo no será más que un caso particular de la incidencia: dos rectas son paralelas si se cortan en un punto del infinito. Y por tanto será cierto sin excepción que: dos rectas distintas en el plano proyectivo se cortan en un punto. Este "no tener que distinguir", ciertos casos particulares por falta de ciertos puntos en la geometría usual, será una de las grandes virtudes de la geometría proyectiva.
4) ¿Cómo se construye el plano proyectivo?.
Recordemos la respuesta a la pregunta (1):
El plano proyectivo, es el plano afín, el usual, el que estamos acostumbrados a manejar, al que "añadimos" los "puntos del inifnito". Veamos como formalizar esta idea.
i) En el espacio \( R^3 \), consideramos el plano usual, el afín, de ecuación \( z=1 \).
ii) Hacemos la siguiente construcción: una "biyección" entre rectas pasando por el origen y puntos del plano afín.
- A cada recta por el origen le hacemos corresponder su intersección con el plano \( z=1 \).
- A cada punto del plano \( z=1 \) le hacemos corresponder la recta que lo une con el origen.
iii) Es fáci ver que esto es una biyección, excepto si consideramos rectas por el origen que estén contenidas en el plano \( XY \). Serían paralelas al plano \( z=1 \) y por tanto no lo cortan.
iv) Si la biyección funcionase bien, entonces tendríamos por cada punto del plano afín una recta por el origen y viceversa, con lo cual podríamos identificar unos y otros.
v) Pero la biyección falla: nos faltan algunos puntos en plano afín, para que la cosa funcione. Si uno toma una familia de rectas por el origen no contenida en el plano "XY" pero cuyo límite tienda a una recta si contenida en dicho plano; verá que la sucesión de puntos en que tal familia de rectas corta a \( z=1 \) tiende al infinito. Entonces esa recta límite que no corta al plano \( z=1 \), debiera de corresponderse con un "punto del infinito" en la dirección que nos está marcando.
vi) Entonces la idea para construir el plano proyectivo es indentificarlo con la familia de rectas que pasan por el origen: de esta forma estamos considerando todos los puntos afines, que ya sabíamos majenar, y algunos más: los del infinito.
vii) Formalmente dar una recta por el origen es dar su vector director: un vector no nulo. Además vectores proporcionales definen la misma recta. Esto justifica la definición de plano proyectivo como el conciente de los vectores de \( R^3 \) menos el origen por la relación que identifica vectores proporcionales.
Saludos.
P.D. Si tengo tiempo más adelante incluyo dibujos; por ahora recomiendo, mientras se lee, ir dibujando lo que se indica.
