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Corregido


El ilusionista saca de su bolsillo dos barajas de poker recién compradas, les quita su envoltorio y, mirándolas sin que nadie las vea, toma tres cartas que pone en fila sobre la mesa; dorso arriba. Después busca un poco más y pone otra fila de cuatro cartas también boca abajo.

Pide a un espectador que piense un número de tres cifras no todas iguales, que después invierta las cifras \( \overline{abc} \) (tomando así otro número \( \overline{cba} \)) y halle la diferencia en valor absoluto que existe entre los dos números.

Aquí es donde se me ha olvidado una cosa. El número ha de tener tres cifras no todas iguales, como por ejemplo 112. Al invertirlo es otra cantidad, pero eso no quiere decir que la diferencia sea siempre otro número de tres cifras, ni mucho menos. Entonces, en esos casos se conserva el cero a la izquierda. De tal forma, en este ejemplo, se tendría 099 y después al invertirlo y sumarlo en el paso siguiente se haría así 990+099.

Acto seguido le pide que haga lo mismo con el número del resultado obtenido en la operación, pero que esta vez sume los valores en vez de restarlos.
Para terminar, comunicado el resultado de la suma, el mago levanta una de las filas de naipes y descarta la otra (con cualquier forzaje o excusa) y siempre puede justificar, a través del valor numérico de dichas cartas, que ha acertado con las cifras del resultado.

La pregunta es: si las cifras del número pensado en primera instancia por el espectador fueran distintas, ¿cuántas y cuáles serían las cartas que desecharía el mago?

Se considera que el valor numérico de las figuras es el habitual, 11, 12, 13

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Solución

Spoiler

La diferencia entre los números \( \overline{abc}
  \) y \( \overline{cba}
  \) se puede expresar como la diferencia de las sumas de potencias de diez

\( (100a+10b+c)-(100c+10b+a)
  \)

También se pueden restar al contrario considerando valor absoluto y no se pierde generalidad con las letras.

Supongamos entonces a>c.

La resta queda así

\( (100(a-c)+(c-a)
  \)

Para invertir el número, primero, necesitamos que quede expresado como una suma de potencias.

Tenemos que \( c-a \) es un número de una cifra, pero negativo, por lo que le sumamos 10 y así será un valor positivo de una cifra. Ahora, para completar la suma de potencias, añadimos \( 10\cdot9=90
  \). En total hemos sumado 100 y, por tanto, para neutralizar lo añadido, restamos 100 al primer sumando y ya tenemos el número expresado como suma de potencias de diez

\( (100(a-c-1)+9\cdot10+(c-a+10)
  \).

Ahora sí podemos invertir el número y sumarlo

\( 100(a-c-1)+9\cdot10+(c-a+10)\quad+\quad100(c-a+10)+9\cdot10+(a-c-1)=
  \)

\( {\color{blue}100(a-c)}-100+90+{\color{green}(c-a)}+10+{\color{blue}100(c-a)}+1000+90+{\color{green}(a-c)}-1
  \)

\( -100+90+10+1000+90-1=1089
  \).

El resultado es siempre igual y se puede representar con cuatro cartas: As, Joker,8,9=1,0,8,9.

El comodín es la carta sin valor, como el cero; o la carta que puede tomar el valor que quiera el jugador.

Sin embargo, existe una posibilidad más, que el número elegido por el espectador sea capicúa (a=c) con lo que al invertirlo será el mismo que sin invertir y la resta dará cero. La operación escrita arrojará cifras 000; y se quedará igual también en el siguiente paso al sumar.

Cuando el espectador elige un número de tres cifras diferentes, entonces no es capicúa nunca, por tanto, no dará cero, sino 1089; y en ese caso el mago desechará la hilera de tres cartas. Estas cartas serán los tres jokcers restantes de las dos barajas nuevas que ha abierto.

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