Hola
Hola a todos. Querría saber si podéis echarme una mano con este problema de Geometría. Cualquier indicación para resolverlo me sería de mucha ayuda. ¡Gracias!
Consideremos en el plano vectorial euclídeo \( E_2 \) las rectas \( l \) y \( l' \) de ecuaciones \( x = 0 \) y \( 3x - 4y = 4 \). Determinar las ecuaciones de las simetrías axiales que pertenecen a \( Is(E_2) \) (isometrías de \( E_2 \)) tales que \( s(l) = l' \) e identifique las bases de cada una de ellas.
Geométricamente: los puntos del eje de simetría son fijos. Por tanto si la recta \( l \) va a \( l' \) necesariamente el punto \( l\cap l' \) pertenece al eje de simetría. Por otra parte una simetría sólo tiene dos rectas invariantes, el eje y el perpendicular al eje. Además si \( l \) va a \( l' \) y por tanto \( l' \) a \( l \), como las simetrías conservan distancias, las
mediatrices bisectrices de ambas rectas son invariantes. Por tanto una de las dos
mediatrices bisectrices tiene que ser el eje de simetría y así hay dos posibles simetrías en las condiciones indicadas.
Algebraicamente. La ecuación de una simetría es de la forma:
\( f\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\q\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}cos(a)&sin(a)\\sin(a)&-cos(a)\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-p\\y-q\\\end{pmatrix} \)
donde el punto \( (p,q) \) es fijo, es decir, la intersección entre las rectas.
Ahora el vector director unitario de una recta \( (0,1) \) tiene que ir en el vector director unitario de la segunda \( \pm(4/5,3/5) \) (dos opciones según el sentido). Imponiendo que la matriz de la simetría lleve uno en el otro obtienes las dos posibles matrices.
Saludos.
CORREGIDO
