Hola LuciaBF
Bienvenida al foro
Solamente un consejo cuando tengas que escribir fórmulas hazlas en LATEX, hay un tutorial.
El ejemplo de Masacroso es muy bueno, detallando
Se tiene un campo escalar :
\( f:R^2\rightarrow{R} \)
\( (x,y)\rightarrow{f(x,y)=\left |{x}\right |} \)
Estudiando el campo escalar, ¿Existe la derivada parcial de f en la dirección x en el punto (0,0)? Eso equivale a preguntar si existe la derivada respecto al vector \( \vec{e_1}=(1,0) \) en el punto (0,0), esto se suele denominar \( D_xf(0,0) \) por definición la interrogante es :
¿Si existe \( D_xf(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(\vec{O}+h\vec{e_1})-f(\vec{O})}{h}} \)?
Desarrollando la expresión se tiene :
\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f(\vec{O}+h\vec{e_1})-f(\vec{O})}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f((0,0)+h(1,0))-f((0,0))}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{f((h,0))-f((0,0))}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |-\left |{0}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}} \)
En este punto se tiene que ese límite no existe por :
Al acercarse por la derecha \( h>0 \) se tiene :
\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\displaystyle\frac{h}{h}}=1 \)
Al acercarse por la izquieda \( h<0 \)
\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\displaystyle\frac{-h}{h}}=-1 \)
Al no coincidir ambos límites no existe \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\left |{h}\right |}{h}}\Rightarrow{No \ \exists{D_xf(0,0)} } \)
Saludos
