Autor Tema: Cadenas de markov.

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15 Abril, 2021, 01:22 am
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zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola, tengo el siguiente problema. Mi duda es que no estoy seguro de mi proceso y en internet veo que la respuesta difiere de la mía.
En un pequeño centro hospitalario se tiene la urgencia de instalar equipos nuevos. Estos equipos son muy costosos y se deben manejar con mucho cuidado por lo que se necesita que el establecimiento esté vacío al momento de la instalación. Actualmente hay M pacientes en el centro, y con el fin de poder proceder a la instalación no se recibirán más pacientes hasta que ésta se realice. Cada mañana un doctor evalúa la condición de los pacientes para ver si son dados de alta. Se ha determinado que cada paciente tiene una probabilidad \(  p  \) de estar rehabilitado y salir del centro y una probabilidad\(  1-p  \)  de seguir internado, independiente de lo que ocurra con los demás pacientes. Nadie puede ingresar al centro hasta después de instalados los equipos.
Hallar la matriz de transición. Sea \(  X_n  \) la cantidad de pacientes en el n-ésimo día.
Quiero hallar,
\(  p_{ij}  \) que es es la probabilidad de pasar el i al estado j, en el dia 0 al día 1.
Ahora, \(  p(X_0=i)=\dfrac{M!*(1-p)^{i}}{i!*(M-i)!}  \) ¿Esto está bien?
No sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

15 Abril, 2021, 02:11 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, tengo el siguiente problema. Mi duda es que no estoy seguro de mi proceso y en internet veo que la respuesta difiere de la mía.
En un pequeño centro hospitalario se tiene la urgencia de instalar equipos nuevos. Estos equipos son muy costosos y se deben manejar con mucho cuidado por lo que se necesita que el establecimiento esté vacío al momento de la instalación. Actualmente hay M pacientes en el centro, y con el fin de poder proceder a la instalación no se recibirán más pacientes hasta que ésta se realice. Cada mañana un doctor evalúa la condición de los pacientes para ver si son dados de alta. Se ha determinado que cada paciente tiene una probabilidad \(  p  \) de estar rehabilitado y salir del centro y una probabilidad\(  1-p  \)  de seguir internado, independiente de lo que ocurra con los demás pacientes. Nadie puede ingresar al centro hasta después de instalados los equipos.
Hallar la matriz de transición. Sea \(  X_n  \) la cantidad de pacientes en el n-ésimo día.
Quiero hallar,
\(  p_{ij}  \) que es es la probabilidad de pasar el i al estado j, en el dia 0 al día 1.
Ahora, \(  p(X_0=i)=\frac{M!*(1-p)^{i}}{i!*(M-i)!}  \) ¿Esto está bien?
No sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

La cantidad de pacientes el día cero es \( M \), por tanto \( \Pr [X_0=k]=\delta _{k,M} \), donde \( \delta _{a,b} \) es la función delta de Kronecker. Ahora \( X_1\sim\operatorname{Bin}(1-p,M) \), por tanto \( \Pr [X_1=k]=\displaystyle\binom{M}{k}(1-p)^k p^{M-k} \).

En general, si hay \( n \) pacientes en el hospital entonces la probabilidad de que queden \( j \) será \( \displaystyle\binom{n}{j}(1-p)^j p^{n-j} \), es decir que \( \Pr [X_m=j| X_{m-1}=n]=\displaystyle\binom{n}{j}(1-p)^j p^{n-j} \) para cualquier \( m>1 \).

15 Abril, 2021, 02:35 am
Respuesta #2

zimbawe

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Gracias Masacroso. Pude con tu indicación. Mil gracias..