Autor Tema: ¿Demostración alternativa sobre propiedad de relación transitiva?

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21 Febrero, 2021, 06:22 am
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manooooh

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Hola!

Demostrar que si \( R,S \) son relaciones transitivas definidas en \( A \), \( R\cap S \) también es transitiva.



La prueba clásica consiste en que dados \( x,y,z \) de \( A \), si suponemos que \( (x,y)\in R\cap S \) y \( (y,z)\in R\cap S \), en particular \( (x,y)\in R\land(y,z)\in R \) y \( (x,y)\in S\land(y,z)\in S \), por hipótesis sabemos que estas relaciones son transitivas, luego \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Quería saber si lo siguiente podría considerarse una prueba válida del enunciado:

Dados \( x,y,z \) de \( A \): \( xRy,\;yRz,\;xSy,\;ySz \), luego por hipótesis al ser ambas relaciones transitivas, \( xRz \) y \( xSz \), es decir \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por lo tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Entiendo que lo que hace este intento es empezar "un poco más adelante" que la prueba clásica (ver lo rojo), pero no sé si exactamente prueba la propiedad.

Más allá de si la redacción deja bastante que desear o no, ¿ustedes la considerarían válida?

Gracias!!
Saludos

21 Febrero, 2021, 08:33 am
Respuesta #1

feriva

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Hola, manooooh, buenos días.

Hola!

Demostrar que si \( R,S \) son relaciones transitivas definidas en \( A \), \( R\cap S \) también es transitiva.



La prueba clásica consiste en que dados \( x,y,z \) de \( A \), si suponemos que \( (x,y)\in R\cap S \) y \( (y,z)\in R\cap S \), en particular \( (x,y)\in R\land(y,z)\in R \) y \( (x,y)\in S\land(y,z)\in S \), por hipótesis sabemos que estas relaciones son transitivas, luego \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Quería saber si lo siguiente podría considerarse una prueba válida del enunciado:

Dados \( x,y,z \) de \( A \): \( xRy,\;yRz,\;xSy,\;ySz \), luego por hipótesis al ser ambas relaciones transitivas, \( xRz \) y \( xSz \), es decir \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por lo tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Entiendo que lo que hace este intento es empezar "un poco más adelante" que la prueba clásica (ver lo rojo), pero no sé si exactamente prueba la propiedad.

Más allá de si la redacción deja bastante que desear o no, ¿ustedes la considerarían válida?

Gracias!!
Saludos

La cuestión es que R y S son dos relaciones que cumplen la transitividad, ¿no?

Entonces nada te impide considerar una relación T (con la letra que quieras) tal que signifique esto: "\( T
  \) es la relación que cumple R y S". Y ahí tienes que hacer ver que si R es transitiva y S también, entonces lo es T.

Una vez hecho eso ya está, tienes que \( xTy
  \) y \( yTz
  \) implica \( xTz
  \).


Saludos.

21 Febrero, 2021, 09:54 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Demostrar que si \( R,S \) son relaciones transitivas definidas en \( A \), \( R\cap S \) también es transitiva.



La prueba clásica consiste en que dados \( x,y,z \) de \( A \), si suponemos que \( (x,y)\in R\cap S \) y \( (y,z)\in R\cap S \), en particular \( (x,y)\in R\land(y,z)\in R \) y \( (x,y)\in S\land(y,z)\in S \), por hipótesis sabemos que estas relaciones son transitivas, luego \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Quería saber si lo siguiente podría considerarse una prueba válida del enunciado:

Dados \( x,y,z \) de \( A \): \( xRy,\;yRz,\;xSy,\;ySz \), luego por hipótesis al ser ambas relaciones transitivas, \( xRz \) y \( xSz \), es decir \( (x,z)\in R \) y \( (x,z)\in S \), por lo tanto \( (x,z)\in R\cap S \).

Entiendo que lo que hace este intento es empezar "un poco más adelante" que la prueba clásica (ver lo rojo), pero no sé si exactamente prueba la propiedad.

Más allá de si la redacción deja bastante que desear o no, ¿ustedes la considerarían válida?

Yo diría que está incompleta; es decir, si quieres probar que \( R\cap S \) es transitiva debes de empezar explícitamente con pares \( (x,y),(y,z) \) en \( R\cap S \).
Saludos.

P.D. Tengo curiosidad. ¿Por qué se te ocurrió esta cuestión?.

21 Febrero, 2021, 01:51 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola a ambos, muchas gracias por sus mensajes

feriva: Entiendo que lo que haces es definir \( T=R\cap S \), pero si sólo es eso no cambia en nada una u otra demostración creo yo. Habría que justificar un poco más.

Luis: es un intento de prueba de un estudiante y antes de juzgarla quería tener motivos para decirle si en un examen se lo pondrán como bien o mal. En particular estoy de acuerdo con lo que dices.

Quizás simplemente pueda decir que sería más completo empezar nombrando explícitamente el antecedente de lo que queremos probar y luego arribar a ese primer paso que empieza la prueba alternativa. ¿Lo ven bien?

Saludos

21 Febrero, 2021, 02:04 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Luis: es un intento de prueba de un estudiante y antes de juzgarla quería tener motivos para decirle si en un examen se lo pondrán como bien o mal. En particular estoy de acuerdo con lo que dices.

Quizás simplemente pueda decir que sería más completo empezar nombrando explícitamente el antecedente de lo que queremos probar y luego arribar a ese primer paso que empieza la prueba alternativa. ¿Lo ven bien?

Si. De todas formas inevitablemente tiene algo de subjetivo.

No obstante no todo es bien o mal. Hay matices. La escritura alternativa que has propuesto, como he dicho, me parece que está incompleta. Ahora no es ningún disparate. A la hora de calificarla depende mucho de los criterios que se fijen; del nivel de exigencia; del contexto; no sé...

Saludos.