Buenas tardes,
De nuevo planteo un interesante ejercicio sobre formas cuadráticas. Estoy un poco perdido en un apartado. El ejercicio es el siguiente :
Se considera la siguiente familia de formas cuadráticas sobre \( \mathbb{R}^{3} \)
\( \varPhi_{a}(x,y,z)=x^{2}+4y^{2}+2z^{2}+2xy+2axz\:;\:a\in\mathbb{R} \)
1. Matriz A asociada a \( \varPhi_{a} \) respecto de la base considerada :
La matriz A asociada, se construye con los coeficientes de la forma cuadrática, teniendo en cuenta la simetría de la matriz, es decir, \( a_{ij}=a_{ji} \)
con \( i\neq j \) , resultando :
\( A=M(\varPhi_{a})=\begin{pmatrix}1 & 1 & a\\
1 & 4 & 0\\
a & 0 & 2
\end{pmatrix} \)
2. Hallar los valores de \lambda y \mu para que el conjunto
\(
\left\{ \left(1,0,0\right),\left(1,\lambda,0\right),\left((-4a,a,\mu\right)\right\} \)
sea una base de vectores conjugados respecto a\( \varPhi_{a} \)
, para \( a\neq0 \)
El conjunto de vectores conjugados de \( \varPhi_{a} \) sería :
\( U^{C}=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\cdot A\cdot L(S)=0\right\} \)
\( U^{C}=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & a\\
1 & 4 & 0\\
a & 0 & 2
\end{pmatrix}L(S)=0\right\} \)
Entonces, creo que lo que falta es hallar el subespacio conjugado L(S), verdad??
Una ayuda por favor.
Gracias.
