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Mensajes - alvarez

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Buenas de nuevo.

He resuelto el sistema \( (I - M | X_0) \) para las dos simetrías pero me da incompatible, ¿esto quiere decir que las simetrías no tienen bases?

Comparto las ecuaciones que me han resultado después de seguir tus pasos por si el error viene de aquí.

\( f \begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{0}\\{-1}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{3/5}&{-4/5}\\{-4/5}&{-3/5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x}\\{y + 1}\end{pmatrix} \)

La segunda es idéntica salvo la matriz 2x2 que es = \begin{pmatrix}{-3/5}&{4/5}\\{4/5}&{3/5}\end{pmatrix}

2
Me refería a la condición del enunciado de que s(l) = l', que por eso me había liado con lo de la matriz.

También es verdad, aunque yo llevo trabajando con los puntos fijos así que lo haré de ese modo. Y sí, la matriz de la simetría la usamos así también.

Un poco de los dos la verdad, así que tus consejos me vienen como anillo al dedo  :aplauso:

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Cierto, es verdad. Tengo que utilizar lo que pone en el enunciado al respecto.

Mi última duda sería que, para calcular las bases, ¿tengo que calcular los puntos fijos, verdad?

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Buenas, gracias por la ayuda. Te cuento qué he hecho en base a lo que me has dicho y si he cometido algún error grave te agradecería que me lo comentases  :)

Para hallar (p, q) tomo el sistema formado por las ecuaciones de l y l', que resulta darme el punto (0, -1)

Para calcular las matrices, he hecho que el vector (4/5, 3/5) sea igual a (0, -1) + la matriz por (0, 1), dándome un ángulo de seno 2/5 y coseno -4/5
Y ahora iba a hacer eso mismo de nuevo pero cambiando los vectores, ¿o tengo que dejarlos en el mismo lugar y poner (-4/5, -3/5)?

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Geometría sintética (Euclídea, Plana) / Simetrías axiales
« en: 22 Mayo, 2021, 07:36 pm »
Hola a todos. Querría saber si podéis echarme una mano con este problema de Geometría. Cualquier indicación para resolverlo me sería de mucha ayuda. ¡Gracias!

Consideremos en el plano vectorial euclídeo \( E_2 \) las rectas \( l  \) y \( l' \) de ecuaciones \( x = 0 \) y \( 3x - 4y = 4 \). Determinar las ecuaciones de las simetrías axiales que pertenecen a \( Is(E_2) \) (isometrías de \( E_2 \)) tales que \( s(l) = l' \) e identifique las bases de cada una de ellas.

6
Hola a todos. Nuevamente agradecería que me pudiesen aportar la solución o todo tipo de indicación a la hora de resolver este problema de un examen que vi y que les adjunto en archivo (aún no aprendí LATEX, por lo que sería un desastre poniéndolo por aquí, mis disculpas  :().


Sea \( (X,d) \) un espacio métrico precompacto. Sabemos que entonces que para cada \( n\in \Bbb N \) existe una cantidad finita de puntos \( \{x_1^n,x_2^n,\ldots,x_{m_n}^n\} \) tales que:

\( X=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{M_n}B_d(x_i^n,\frac{1}{n})=B_d(x_1^n,\frac{1}{n})\cup\ldots\cup B_d(x_{m_n}^n,\frac{1}{n}) \)

Considérese el conjunto de todos los centros:

\( D=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty\{x_1^n,x_2^n,\ldots,x_{m_n}^n\} \)

Demostrar que \( D \) es denso en \( X \). Concluir que \( X \) es separable.


Mi idea es demostrar que la clausura de D es el propio total, aunque no sé muy bien cuándo usar la precompacidad.

Muchas gracias por su atención.

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Topología (general) / Re: Compacidad y continuidad
« en: 12 Mayo, 2021, 09:19 am »
Hola Luis. Muchas gracias por tu ayuda, he conseguido resolver el segundo apartado pero en el primero no sé muy bien desarrollar tu idea, ¿me la podrías completar? Gracias.  :D

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Topología (general) / Compacidad y continuidad
« en: 07 Mayo, 2021, 03:36 pm »
Buenas tardes. Tengo que hacer este ejercicio y me gustaría que pudieseis darme alguna indicación para resolverlo. Comparto el enunciado.

Considérese el espacio topológico \( (\Bbb N,T) \), siendo \( T =\{0,\Bbb N,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\ldots \} \). Demostrar que:

1. \( (\Bbb N,T) \) no es compacto.
2. Toda función continua \( f:(\Bbb N,T)\to (\Bbb R,\tau_u) \) es constante.

Para el primero había pensado suponer que es compacto por reducción al absurdo, pero a partir de ahí no sé si debo manejar subrecubrimientos o debo tirar por otros factores.
Para el segundo estoy algo perdido, no sé si debo usar que toda función constante es continua  :-\

Espero que podáis guiarme, los conceptos teóricos sí los tengo claros. Muchas gracias por la atención y por la ayuda  :laugh:

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Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

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¿Y una vez llego, aplicando esa definición, a que la composición de la traslación y la simetría es \( p(Q) + \overrightarrow{Qp(Q)} + w \), cómo deduzco que es una simetría?

Recuerda encerrar las fórmulas entre [tex]...[/tex].

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Hola. Estoy intentando una simetría y me estoy liando con la definición, porque no sé dónde poner la aplicación \( f \).

¿ Sería : \( s(Q) = Q + 2f(\overrightarrow{Qp(Q)}) \) ?

También tengo otra pregunta, ¿es un camino más difícil suponer que s = 2p - Id desde el principio o es mejor que utilice esto tras la componer?

Gracias :D

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Muchísimas gracias a las dos. Voy a entender cómo has procedido en la proyección y me pongo a hacer el de la simetría  :aplauso:

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Geometría y Topología / Problema de proyecciones y simetrías
« en: 15 Abril, 2021, 03:04 pm »
Hola a todos. Espero que podáis ayudarme con este ejercicio de Geometría que me han propuesto. Cualquier indicación me sería de mucha ayuda para resolverlo.

Muchas gracias.

En un espacio afín \( \epsilon \) con espacio vectorial asociado \( V = W_1 \oplus W_2 \) se consideran la proyección \( p \) y la simetría \( s \) con base \( L = A + W_1 \) y dirección \( W_2 \). Dado un vector \( w \in W_2 \), se pide:

1. Prueba que \( p\circ t_w \) y \( t_w\circ p \) son proyecciones y determina para cada una de ellas su base y dirección.
2. Prueba que \( s\circ t_w \) y \( t_w\circ s \) son simetrías y determina para cada una de ellas su base y dirección.

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Topología (general) / Cuestiones sobre la topología numerable
« en: 21 Marzo, 2021, 03:56 pm »
Muy buenas. Agradecería alguna ayuda o indicación con respecto a estas cuestiones sobre la topología numerable, suponiendo el total = R:

1. Cómo demuestro que no existe ningún subconjunto A contenido en R distinto del vacío y del total que sea a la vez abierto y cerrado en esta topología.

2. Cómo calculo la clausura de los racionales y los irracionales, y cuál es.

3. ¿Existe algún abierto no vacío de la topología contenido en los racionales o en los irracionales?

4. ¿Es Hausdorff, separable o primer axioma de la numerabilidad? *Mi parecer es que no es ninguna de las tres, si es así no necesito más  ;D*

Muchas gracias por todo tipo de solución o indicación  :)

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Muchísimas gracias Masacroso, ya pude completarlo todo con facilidad  :aplauso:

Errata mía en el título, tenía un borrador de la topología numerable y me equivoqué  :-[

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Hola. Espero que puedan darme indicaciones para resolver estas tres preguntas. Soy nuevo en la topología y aún me cuesta este nivel supongo que sencillo.

1. Sea \( (X, d) \) un espacio métrico, \( x \) e \( y \) dos puntos de \( X \) tales que \( y\in B(x,r) \)  para un cierto \( r > 0 \). Demuestra que \( B(y,r)\subset B(x,2r) \).

2. Si \( B(x,r_1)=B(x,r_2) \)  para cierto punto \( x\in X \) y radios \( r_1 , r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( r_1 = r_2 \)?

Deduzco que aquí la respuesta es falsa, pero no sé qué contraejemplo tomar.

3. Si \( B(x,r_1)=B(y,r_2) \)  para ciertos puntos \( x, y\in X \) y radios \( r_1, r_2 > 0 \). ¿Debe ser \( x = y \)? ¿Y \( r_1 = r_2 \)?

Tómese la distancia usual en todas las bolas.

Gracias por su ayuda  :laugh:

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Teoría de Conjuntos / Re: Congruencias
« en: 28 Enero, 2021, 07:26 pm »
Hola, muchas gracias. Perdón por no usar los símbolos y subir la imagen. Revisaré tus sugerencias y te comentaré sobre a ello.

1) Esa demostración sí la he dado, gracias.

4) Y sí, también conozco la congruencia de Wilson.

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Teoría de Conjuntos / Orden y máximos
« en: 28 Enero, 2021, 07:23 pm »
Hola buenas. Querría saber si pueden aportarme las soluciones de este problema. De momento sé hacer la parte del 1. de demostrar la relación de orden, pero ya no más. Cualquier ayuda la agradecería mucho. Un saludo.

P.D: espero haberlo escrito bien, soy nuevo en el Rincón y no sé si se visualizarán bien los signos.

Sean \( A \) y \[ B \] conjuntos no vacíos y sea \[ \leq{}  \] una relación de orden en \[ B \]. Denotemos por \[ B^A \] el conjunto de las aplicaciones \[ f : A \rightarrow{} B \] y consideramos en él la relación \[ \leq{}  \] definida por \[  f \leq{} g \] si y solo si, \[ f(a) \leq{} g(a) \] para todo \[ a \] de \( A \). Se pide:

1. Probar que\[  \leq{} \] es una relación de orden en \[ B^A \] e identificar todos los elementos maximales (resp. minimales) de \[ (B^A;\leq{}) \] en función de correspondientes elementos de \[ (B;\leq{}) \];

2. Probar que \[ (B^A;\leq{}) \] tiene máximo (resp. mínimo) si y solo si, lo tiene \[ (B;\leq{}) \].

3. Cuando \[ B = N \] (los naturales, demostrar que todo subconjunto no-vacío \[ F \] de \[ N^A \] tiene ínfimo. Calcular dicho ínfimo en el caso particular en que \[ A \] es un conjunto infinito y \[ F \] es el subconjunto de las aplicaciones suprayectivas \[ f : A \rightarrow{} N \].

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Teoría de Conjuntos / Congruencias
« en: 24 Enero, 2021, 11:24 am »
¡Hola matemáticos!

Me he topado por la red con este problema de Congruencias y no sé muy bien cómo resolverlo. He empezado relativamente poco con este tema, así que supongo que será por eso.

Sea p un primo impar. Un entero \( a \) no divisible por \( p \) se llama un resto cuadrático módulo \( p \) si la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución.

(1) Prueba que si \( a \) es un entero no divisible por \( p \) y la ecuación \( x^2\equiv a \) (mod \( p \)) tiene solución, entonces tiene exactamente dos soluciones. ¿Cuáles son los restos cuadráticos módulo \( 11 \)?.

(2) Para un entero \( a \) no divisible por \( p \), prueba que \( a^{\frac{p-1}{2}} \) es siempre congruente con \( 1 \) o con \( -1 \), y que es congruente con \( 1 \) si y sólo si \( a \) es un resto cuadrático módulo \( p \) (Indicación: para probar una de las implicaciones, considera todas las parejas \( (x,y) \) con \( xy\equiv a \) (mod \( p \)) y utiliza la Congruencia de Wilson vista en el ejercicio 16 del tema 7).

(3) Prueba que \( -1 \) es cuadrático módulo \( p \) si y sólo si \( p\equiv 1 \) (mod \( 4 \)).

Si podéis darme indicaciones para saber cómo resolverlo, os estaría muy agradecidos.

Un saludo.

Mensaje corregido desde la administración.

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