Hay una cosa de esto que no recuerdo, y es cuál es la permutación que da las “órdenes”. Es decir, tomemos, por ejemplo \( (2,1,3)\circ(1,2,3) \); entonces me refiero a esto:

Si las “órdenes” las da la primera a la izquierda según se mira el papel, sería esto

\( (2,1,3)\circ(1,3,2)=(3,1,2) \).

Si las da la de la derecha, sería esto otro

\( (2,1,3)\circ(1,3,2)=(2,3,1) \).

¿Cuál es la forma correcta de entenderlo?

Yo juraría que era la primera, pero he visto una cosa en internet y no sé si es una errata o es que yo lo recuerdo mal.

Bueno, la identidad se considera que es la habitual (1,2,3)

Gracias.

Paco tiene impreso sobre la pantalla de su ordenador uno de los números de Mersenne descubiertos en los últimos años. Programa ayudándose de él porque pretende descubrir un primo más grande (digamos un Mersenne nuevo).
En un momento dado, Paco va al baño y, un poco después, sale de su habitación Leocadio, su hijo.
El niño, para gastar una broma a su padre, se acerca al ordenador y no se le ocurre otra cosa que restarle 7 al Mersenne y después vuelve a su cuarto.
Acto seguido, Abelarda, hermana de Leocadio, también sale de su alcoba, pero ella con la intención de merendar. Sin embargo, al ver encendido el ordenador de su padre, tiene una ocurrencia similar a la de su hermano y le da a una tecla que halla el factorial del valor que está en pantalla, transformándolo [supongamos que no se cuelga el ordenador].
Luego, la niña se dirige a la cocina.

Un instante después llega a casa Amparito, la mujer de Paco, la cual, en venganza por los anticuados nombres que su marido puso a los niños, también ataca el ya de por sí profanado “Mersenne” multiplicándolo por un número “equis”.

Todas estas escenas han sido seguidas con atención por Facunda, la vecina (ahijada de Paco, el cual eligió el nombre de la chiquilla cuando nació).
Facunda  ha podido ver perfectamente todo, pero el número “equis” que tecleó Amparito para multiplicarlo es un número de tres cifras que no recuerda demasiado bien.

Entre tanto, Paco, ya sentado ante su ordenador, ha enviado el supuesto “Mersenne” a un compañero de investigación para que compruebe si lo tiene bien copiado. Su amigo lo divide por el Mersenne de verdad, sin corromper, y ve con asombro que el cociente no es 1 y la operación deja un resto \( kM+1 \) (siendo M el Mersene (el de verdad) y k un cierto número natural desde cero a donde sea.

Este dato, el \( kM+1 \), es enviado escrito de esta forma por email a Paco; y esto sí que lo puede observar la vecina con detalle mientras mira por la ventana.

Facunda se queda pensando si eso le podría servir para recordar el número “equis”. En un momento dado fija la vista sobre su raqueta de tenis; la cual tiene apoyada en la pared, metida en su funda oscura, con sus letras blancas... y que es igual que la que solía usar Federer. ¡Y esa visión le da la pista!, le viene la idea, hace unas breves cuentas sin calculadora ni nada y ahora está segura de cuál es el número “equis”. Ya lo recuerda.
¿Qué cuentas ha hecho y qué número es “equis”?

He corregido unas ecuaciones porque el navegador antiguo que había usado me ha trastocado el latex

Tengo estas ecuaciones

\(  a^ 2 +a- b^ 2 +b=2xy  \)
\(  x=a-b+1  \)
\(  y= \dfrac {a+b} {2}  \)
\(  c ^2 +c- d^ 2 +d=2xy  \)
\(  y=c-d+1  \)
\(  x= \dfrac {c+d}{ 2}  \)
de donde
\(  d= \dfrac{3a-5b+6} {4}  \)
\(  c= \dfrac {d+3a-b} {3}  \)
(por otro lado se puede deducir que \(  (b-d)/(a-c)=3  \)).

Este sistema es indeterminado, sin embargo, se sabe lo siguiente

\( \dfrac{b+d}{a+c}\approx0.33... \)

(también se sabe el valor del producto xy xy es impar obligatoriamente)

En la medida que a,b,c,d son grandes, más treses aparecen; siendo las cifras restantes distintas en cada caso.
Aunque no lo he demostrado, para x,y coprimos se observa claramente que los treses que siguen a ese cero vienen dados en una cantidad mínima de \(  ⌊ log_{10} ( xy ) ⌋/ 2 -1  \); esto es, la mitad de las cifras de xy menos 1.
Ahora, la cuestión es la que sigue:
Como eso es una aproximación y faltan cifras detrás de los treses para determinar el cociente, si intento formar un sistema con todas ésas ecuaciones unidas a ésta \( \dfrac{b+d}{a+c}= 0.33...  \) no puedo, porque es incompatible; Python no entiende la aproximación. Vamos, lo intento y sí “puede”, pero me da un vector vacío de soluciones.
Yo conozco (aunque los tengo olvidados y los he usado dos veces en mi vida) métodos como el de Raphson-Newton, el polinomio interpolador... alguna cosa así, pero no sé cómo componer un sistema “semideterminado” para obtener unos valores a,b que se aproximen (¿quizá con programación lineal? Si es así tendría que estudiarme esa materia primero; o mirar a ver qué herramientas hay en Python que me hagan lo que sea).
....
Para que se sepa por qué pregunto esto y no quede en un misterio, os diré de qué va la cosa: hace años, inventé una manera (teórica, pues no sé si funcionaría en la práctica, y de ahí la consulta) para factorizar un entero de “n” cifras con la misma facilidad que si fuera de “n/2” cifras; aprovechando esa cantidad de treses que siguen al cero. Si consiguiera formar ese “sistemoide” de ecuaciones, ya os contaría si funciona.

Gracias por adelantado.
Saludos.

Agapito tiene unos amigos: niñas y niños en las misma cantidad.

Él y sus amigos decidieron abrir unas cuentas y meter sus pocos ahorros en un banco (inocentes criaturas).

Uno de los niños tiene un euro menos que Agapito, otro tiene dos menos, otro tres menos... y así hasta que hay uno que no tiene ningún euro y siguen otros niños que van teniendo progresivamente un saldo negativo.

Con las niñas, en cambio, pasa lo contrario: una tiene un euro más, otra dos más... etc.

Por otra parte, se sabe que si la cantidad de euros que tiene Agapito fuera igual a la cantidad de amigos, él incluido, y la cantidad de amigos que tiene fuera igual a su cantidad de euros menos uno, la suma total del dinero sería de 161 euros (en las mismas condiciones, habiendo un amigo con un euro más, etc).

Ahora, si la niña que más dinero tiene cubre los saldos negativos de sus amigos, de manera que las cuentas de éstos se quedan a cero, ¿qué dinero le queda a ella en su cuenta?

*(es invento y creo que lo he inventado bien, espero no haberme equivocado).

SITUACIÓN

Tres profesores de matemáticas han pensado en idear un problema para poner a los estudiantes de sus respectivas clases. Pero ocurre que lo van a hacer en días distintos y, para que los alumnos que se han examinado antes no digan la solución a los otros, hacen tres versiones gemelas del ejercicio: el mismo problema con soluciones distintas.
La cuestión va a tratar de tres niñas que tienen, cada una, una jarra de agua de distinta capacidad; en el problema de uno de los profesores las jarras son azules, en el de otro son rojas y en el de otro son verdes.
Entre los tres planean qué hacer mientras toman café en un bar, apuntando las partes de los enunciados en unas cuantas servilletas de papel. Pero pasa el camarero deprisa junto a ellos y las servilletas salen volando. Como van
apurados de tiempo porque empiezan ya sus clases, recogen los papeles precipitadamente, de tal forma que se mezclan los enunciados.
Dichos profesores no vuelven a habar entre ellos ni a mirar los papeles y, el día que les toca poner el examen a sus alumnos, desconcertados, se ven obligados a cambiar alguna cosa sobre la marcha; aquí va lo que dicta uno de los profesores:

PROBLEMA

Tres niñas, Ximena, Yolanda y Zoe, tienen cada una tres jarras de distintos colores y en todas cabe una cantidad exacta de litros. Quieren limpiar con ellas unos pilones en los cuales han caído hojas.

El primer día toman sus jarras verdes para limpiar el primer pilón.
Ximena saca una jarra de agua y la tira. Yolanda saca cinco veces agua del pilón con su jarra y la tira. Y Zoe, para que no se quede tan vacía la pila, echa nueve jarras de agua limpia que toma de una fuente.
De este modo el agua del pilón ha aumentado en una cantidad de litros; ahora tiene de más lo que cabe en 3 jarras verdes como la de Ximena.

El segundo día van a limpiar el segundo pilón y usan sus jarras rojas.

Ximena saca dos jarras de agua, Yolanda otras dos y Zoe rellena con 7. El pilón aumenta en una cantidad de agua que equivale a 2 jarras como las de Yolanda.

El tercer día van a limpiar el tercer pilón y usan sus jarras azules.

Ximena saca dos, Yolanda saca cuatro y Zoe rellena con 9. El pilón gana en litros lo que tiene 1 jarra de Zoe...
…...

PREGUNTA

La cuestión es la que sigue: en cuanto a las jarras rojas, la de Zoe tiene el doble de capacidad que la de Ximena; y la de Yolanda tiene tanta como la de Ximena y Zoe juntas. Siendo así, ¿puedes adivinar qué capacidad total reúnen las nueve jarras sabiendo que es menor que 16 litros?   

 

Anastasio tiene tres cajas de peras en su casa y una caja de manzanas en su coche.

Facundo tiene cuatro cajas de peras en la despensa y tres cajas de manzanas en una furgoneta.

Ninguna caja está vacía. Todas las cajas de peras tienen una misma cantidad de peras. Todas las cajas de manzanas tienen un mismo número de manzanas.

El total de cajas de peras más el producto del total de cajas de manzanas por la razón manzanas/peras (respecto de una caja de cada) es igual a un cierto número de veces esta suma: la razón mencionada más uno.

¿Cuál es ese cierto número de veces?

Corregido


El ilusionista saca de su bolsillo dos barajas de poker recién compradas, les quita su envoltorio y, mirándolas sin que nadie las vea, toma tres cartas que pone en fila sobre la mesa; dorso arriba. Después busca un poco más y pone otra fila de cuatro cartas también boca abajo.

Pide a un espectador que piense un número de tres cifras no todas iguales, que después invierta las cifras \( \overline{abc} \) (tomando así otro número \( \overline{cba} \)) y halle la diferencia en valor absoluto que existe entre los dos números.

Aquí es donde se me ha olvidado una cosa. El número ha de tener tres cifras no todas iguales, como por ejemplo 112. Al invertirlo es otra cantidad, pero eso no quiere decir que la diferencia sea siempre otro número de tres cifras, ni mucho menos. Entonces, en esos casos se conserva el cero a la izquierda. De tal forma, en este ejemplo, se tendría 099 y después al invertirlo y sumarlo en el paso siguiente se haría así 990+099.

Acto seguido le pide que haga lo mismo con el número del resultado obtenido en la operación, pero que esta vez sume los valores en vez de restarlos.
Para terminar, comunicado el resultado de la suma, el mago levanta una de las filas de naipes y descarta la otra (con cualquier forzaje o excusa) y siempre puede justificar, a través del valor numérico de dichas cartas, que ha acertado con las cifras del resultado.

La pregunta es: si las cifras del número pensado en primera instancia por el espectador fueran distintas, ¿cuántas y cuáles serían las cartas que desecharía el mago?

Se considera que el valor numérico de las figuras es el habitual, 11, 12, 13

El mago pide a una persona que extraiga de una baraja normal doce cartas cualesquiera (pueden ser más, pero mi versión es con doce).
Le pide después que las ponga en fila sobre el tapete.
Acto seguido y vuelto de espaldas a las cartas, le propone que se fije en dos naipes consecutivos corregido (1ª y 2ª ó 3ª y 4ª ó 5ª y 6ª, etc) pero que no diga cuáles son.

Después, el ilusionista recoge las cartas en orden de una en una, voltea el paquete en sus manos y las coloca otra vez sobre la mesa; boca abajo y en tres filas, formando un rectángulo de tres por cuatro.
Pero hay que advertir de que al depositarlas no lo ha hecho en orden según las filas o columnas, sino de forma aparentemente aleatoria.

Realizado esto, se da media vuelta e invita al espectador a que miré las cartas sin descolocarlas y que le diga en qué fila o filas están sus dos cartas; pueden estar en la de arriba y en la de en medio; sólo en la de abajo y salteadas... Donde sea, porque las cartas no han conservado su orden (algo que observa el voluntario que ha salido del público).

Cuando el mago tiene esta información, se vuelve hacia la mesa y levanta las dos cartas que había pensado esa persona.

¿Cuál es el truco?

La música y la matemática: similitudes 


La creatividad

Un día de este mes de junio pasado me puse a escribir este ensayo o introspección músico-matemática; y ha quedado larguísimo, kilométrico.
Ahora, al poco de decidir que ya era bastante y que tenía que terminar para publicarlo, se me ocurre otra cosa en común entre ambas disciplinas, la creatividad.

Tanto la música como la matemática conllevan creación; ideas más o menos personales, enfoques particulares y pequeños descubrimientos o “inventos”.
Este foro está repleto de personas muy creativas que no dan demasiada importancia a lo que hacen ni a su nombre, sin interés crematístico y sin buscar “salir en la tele”; empezando por todos los administradores y siguiendo por muchos otros  más (escriben libros, largos artículos, resuelven problemas, responden dudas... Todo esto dicho para lectores poco habituales o ajenos al foro, porque ellos ya lo saben).

Hace años que tengo la sensación de que hay quien bebe de éstas y otras fuentes (de Rincón Matemático y otras páginas de temas de todo tipo) para después compartir o utilizar algo sin reparar mucho de dónde ha salido, pensando en que el total de toda esa divulgación que lee supone siempre palabras que dijo Sócrates o ideas ingeniosas de Einstein (u otros personajes famosos).  Quizá, hay gente que piensa que todo eso que se escribe en internet gratis, por el hecho de serlo, es copiado al pie de la letra o poco más o menos.

Por eso,  antes de dar paso al “libro” que he escrito (por su extensión creo que casi se puede calificar de libro) y para no pecar de lo que acabo de mencionar,  vaya lo siguiente.


Bibliografía y referencias a modo de prólogo o viceversa; pinchando en spoiler




Los inicios

La escala musical diatónica tiene 7 notas; y se suele añadir este ejemplo: “do re mi fa sol la si”. Con este caso particular se empieza a enseñar música.

Es análogo a lo que ocurre al enseñar los números 1,2,3,4,5,6,7... Aquí los nombres son “uno”, “dos”... en vez de “do”, “re”, etc, pero ni “1” es el primer elemento de toda sucesión ni “do” la primera nota de cualquier escala. Hay que empezar por algún sitio a “abrir el melón”, y empezar así es lo habitual.

Entre los nombres asociados a la escala de DO, su escritura en el pentagrama y las teclas de un piano, hay una sencilla correspondencia fácil de visualizar:



El teclado es una colección de conjuntos de siete teclas blancas que se repiten en bloques; estos bloques se distinguen porque cada uno lleva intercalado un conjunto de dos teclas negras y otro de tres teclas, también negras, separado del anterior (tal como se indica en la imagen).
La primera tecla blanca a la izquierda de las dos teclas negras consecutivas es la del do; la primera a la izquierda del grupo de tres es la del fa. 

Intencionadamente he colocado el pentagrama girado 90º en sentido horario, pues esto nos recuerda alguna cuestión práctica (operativa) que existe en matemáticas: la escritura de las ecuaciones en horizontal, que se contrapone a la escritura matricial. 
En el teclado, las notas se disponen en horizontal en vez de en vertical, como sí ocurre, en cambio, en el pentagrama. Quizá no sea lo más apropiado para instrumentos de tecla, pero antes se inventaron otros instrumentos y también las “alturas” son más adecuadas para la voz humana, el instrumento más primitivo. 

Elementos

En matemáticas uno tiene elementos como puedan ser los vectores y en música tiene, similarmente, acordes (aunque los acordes no son vectores). También en este caso se suele empezar por enseñar el acorde de “Do”, que vendría a ser el “vector” (1,3,5) según los grados de la escala del ejemplo.

Al oír esta palabra, “acorde”, se pensará en una serie de notas o números “a la vez” (en sentido “actual”) pero el acorde es el conjunto en sí, otra cosa es que se pueda ejecutar armónicamente, dando las notas en bloque, o melódicamente, de una en una (y además no necesariamente en ese orden).

Dentro de un mismo tono, el acorde (1,3,5) [digamos (do, mi ,sol)] es el mismo que (3,5,1) u otra permutación, es el acorde tonal de primer grado. Pero a partir de un cierto contexto puede verse como una combinación y, a partir de otro, como  un conjunto de permutaciones.
 
Estamos hablando de sólo estas permutaciones (1,3,5); (3,5,1); (5,1,3). Y se puede preguntar que qué pasa con las otras tres.

La primera permutación (1,3,5) se llama “estado fundamental del acorde” y se suele cifrar con un 5 ó un \( \begin{array}{c}5\\3\end{array} \) encima de la nota “do” (digo “do” como ejemplo, primer grado o tónica en tono de DO); la segunda se llama “primera inversión del acorde” y se suele cifrar con un 6 sobre la nota “mi” (grado 3ª o modal de DO); y la tercera se llama “segunda inversión” y se acostumbra a cifrar con un  \( \begin{array}{c}6\\4\end{array} \) sobre la nota “sol” (los números representan las notas cuarta y sexta a partir del “sol” en ambos casos; nota ésta, sol, que supone el 5º grado o dominante de la tonalidad de DO).

Esto está queriendo decir más o menos lo que se ve, los números en este caso indican distancias entre notas y no grados de la escala: si la nota del bajo en el pentagrama es un mi y encima aparece un 6, se entiende que hay que contar 1,2,3,4,5,6 desde el mi incluido hasta el do incluido (nota que se pulsa junto al mi)
 
\( \begin{array}{c}
\underset{3\text{º}}{mi},\underset{4\text{º}}{fa},\underset{5\text{º}}{sol},\underset{6\text{º}}{la},\underset{7\text{º}}{si},\underset{1\text{º}}{do},\\
1,\:\,2,\:\,3,\,\:4,\,\:5,\,\:6
\end{array}
  \)

Se entiende que también hay que tocar la nota que falta del acorde (el sol en este caso). Así tenemos el acorde llamado de sexta, donde habitualmente no se indica la tercera nota a partir del bajo.

Veamos qué pasa con las otras tres permutaciones:

Estas dos permutaciones (3,1,5); (3,5,1) suponen la misma inversión del mismo acorde, la primera inversión del acorde de tónica.
Las dos tienen a la izquierda del todo, en el bajo, la tercera nota de la escala; el mi en el ejemplo.

Pasa Igual con la segunda inversión, ésta (5,1,3) y ésta (5,3,1) representan la misma inversión del acorde de tónica, porque la nota del quinto grado de la escala está la primera.
Y con el estado fundamental, sin invertir, pues igual: ésta (1,3,5) y ésta (1,5,3) representan la misma inversión.

Es decir, dentro de las seis permutaciones, entendemos combinaciones “dos a dos” según lo explicado; y se quedan en tres.


Música y aritmética modular

Las notas de la escala se sitúan en distintas tesituras; son las mismas, tienen el mismo nombre, pero suenan más graves o más agudas. Tocar sobre la escala diatónica es análogo a funcionar con unos cuantos enteros módulo 7 (no hay infinitos representantes en este caso).
Se puede elegir que los restos sean las siete notas de la octava central, que los representantes negativos sean las notas que quedan a la izquierda (más graves) y los positivos las que quedan a la derecha (en el pentagrama diríamos que son las notas que quedan abajo y arriba respecto de las de en medio). En fin, tal como se puede comprobar en la imagen de arriba.


Magnitudes escalares

Las notas se pueden entender también como magnitudes escalares físicas.

Por una parte, cuando hablamos de temperatura podemos decir “menos cinco grados” o “un grado”... en grados centígrados, escala donde se toman números negativos.
Pero es sólo una escala, también existen los grados Kelvin o Fahrenheit e igualmente podríamos inventar alguna escala más en la cual no fuera necesario utilizar negativos; podríamos elegir una donde todos los escalares tuvieran el mismo signo.

En cambio, en las magnitudes vectoriales el signo es “de verdad”, depende de aspectos teóricos que son clave, de definiciones que tienen una trascendencia.
La pregunta es: “entonces,  los grados de las escalas musicales ¿son más bien magnitudes vectoriales o escalares?”.
Creo que tendríamos que recurrir a distintos contextos para elegir una u otra respuesta.

Es cierto que las escalas pueden ser ascendentes o descendentes, tienen dos sentidos y una dirección, pero también aparece el tiempo, la duración de cada nota y, tal vez, fuera más adecuado asociar las melodías a gráficas de ondas un tanto caprichosas. Vista la música así, sí tendría un sentido más parecido al analítico y al geométrico. 

Por otra parte, en el discurso melódico y armónico surge una cierta idea  de “distancia” en forma de cercanía entre notas. Las notas de los acordes se suelen suceder a menudo según distancias más o menos pequeñas (comparativamente hablando).

La distancia mínima en la música temperada es el semitono.
Dentro de las escalas, las escalas cromáticas suponen un conjunto de notas sucesivas situadas entre sí a la menor distancia. La escala cromática completa supone 12 sonidos distintos en vez de 7.

Así, la escala de DO mayor, toda sin alteraciones, tiene cierta relación con el conjunto de los naturales; de hecho, a las notas que no están alteradas (que no son bemoles ni sostenidos)  las llamamos naturales; do natural, re natural, etc. Por contraposición, digamos que la escala dodecafónica es más densa; usualmente, la más densa posible.

Continuidad

En la armonía escolástica el paso de un acorde a otro, en cuanto a conducción de las voces, debe ser suave; aquí el significado de “suavidad” es  algo parecido al que se utiliza al hablar en matemáticas de continuidad.

Tenemos tres acordes principales que podemos llamar “acordes tonales básicos o principales” y se construyen a partir de los grados 1º (acorde de tónica) 4º (de subdominante) y 5º (de dominante).
Tomando la escala de DO, estos acordes son los siguientes:
(do, mi sol); (fa, la, do); (sol, si, re).

Así vistos, en estado fundamental (esto es, con la nota que da nombre al acorde en el bajo) son muy fáciles de recordar: están compuestos de tres notas y van dejando una en medio, la cual no entra en el conjunto. Por ejemplo, en el primer acorde tonal, DO, quedan los huecos de las notas re y  fa.



Si en un piano damos los dos primeros acordes tal cual (do mi sol) y después (fa, la, do) va a sonar bien, pero con demasiado “brillo”, porque no hay mucha continuidad (en el sentido de cercanía) entre las notas; se dejan más notas en medio de las que se pueden dejar de otra manera.

Conjunto intersección de acordes

Para lograr un enlace suave entre (do, mi, sol) y (fa, la, do) buscamos primeramente la intersección entre los dos acordes (si la hubiera, si no fuera vacía).
La nota común en dicho ejemplo es el do; y entonces no tiene necesidad de moverse de ahí (la nota puede quedarse quieta sosteniendo el sonido o repitiéndolo).

Ahora observamos cómo enlazar las otras dos notas.
El “mi” va a “fa” subiendo un semitono y el “sol”, de la misma manera, sube al “la”; en este caso ascendiendo un tono (por ser una tonalidad en modo mayor).

Así, en vez de pasar de un acorde en posición fundamental a otro distinto en la misma posición, hemos pasado de uno en posición fundamental a otro distinto pero en segunda inversión.


Y ése es el contexto en el que, especialmente, tienen importancia las inversiones de los acordes.

Para los que empiezan a tocar una melodía en un teclado sería muy fácil dar siempre los acordes en posición fundamental, dando esos saltos sin pensar en intersecciones ni nada de eso. Mentalmente es muy visible y rápido: acorde con “mano de escayola” en la izquierda, “clavado”, y en la derecha la melodía.
Sin embargo, no se empieza a enseñar de este modo. Pero quizá sería interesante hacerlo: de esa forma se asimilan muy deprisa los acordes y las funciones tonales y, después, cuando ya se empezara a enlazarlos de otra manera, se entendería mejor cómo está hecha una cierta música. 


En todo caso estoy hablando del “cuerpo” armónico, la armonía que acompaña a la melodía o melodías; que ésas sí son más variopintas en cuanto a dibujo melódico, saltos y demás (principalmente la “voz cantante” y el bajo). La melodía tiene que obedecer a los acordes, pero es bastante libre respecto de las estrictas reglas que rigen a la voces de la sección armónica.

Una especie de “diferenciabilidad”

Aparte de esa “continuidad” en cuanto a cercanía entre las notas, es necesaria otro tipo de  “continuidad” la cual tiene que ver con la teoría más profunda.

Nos podemos ir “lejos” con las notas de otra manera: puede haber mucha cercanía “física” en el paso de un acorde a otro y, sin embargo, sonar muy extraño.
Digamos que, del mismo modo que la continuidad no es suficiente para que una función sea derivable en un punto, aquí tampoco es suficiente con hacer unos enlaces más o menos “suaves” respecto de las distancias para que el oído no note  “discontinuidades” ni “picos”.  Y es que existe un segundo concepto de cercanía: la cercanía tonal.

Por ejemplo, la tonalidad de LA menor es la más próxima a la de DO mayor. Es debido a que su escala natural tiene los mismos sonidos en sus notas, lo que cambia es la correspondencia con los grados.
Cuando pasa esto con dos tonalidades se llaman tonos relativos. En este caso se traduce por que DO mayor y LA menor, en principio, no tienen sostenidos ni bemoles; en un teclado todas las teclas de las dos escalas son teclas blancas (pero en el modo menor hay algún matiz sobre las escalas usuales que mencionaré más tarde).

Le sigue en cercanía un grupo de cuatro tonalidades: SOL mayor (con solo una alteración, el fa sostenido); MI menor (el tono relativo de SOL, con la misma alteración, fa sostenido); FA mayor (con solo una alteración, que es si bemol); y finalmente RE menor (el relativo de FA).

Esto supone que si, haciendo una melodía basada en la escala de DO mayor, pasamos de la nota sol a la de fa sostenido, no sonará brusco (siempre que la música vaya acompañada por una armonía apropiada).
 
Ahora bien, si usamos alteraciones que pertenecen a tonos un pocos más lejanos (siguen a ésos SI bemol mayor, SOL menor, RE mayor y SI menor, con dos alteraciones ya cada uno) tendremos que tener más cuidado; la forma de llegar a dar esas notas, a partir de una melodía en DO mayor, normalmente va necesitar un transición más larga, una preparación más trabajada.

Aunque no sea una regla general, siempre que queramos suavidad, primero han de entrar las alteraciones de los tonos más cercanos en el sentido dicho; luego, las que están un poco más lejos... y así.

Modulaciones

Las inflexiones y las modulaciones deben atender un poco a eso para resultar suaves. Relacionado con ellas va a aparecer después otro símil matemático, un parecido con los cambios de base en un espacio vectorial (pero ahora no, después).

Lo dicho está directamente relacionado con la armonía; es fácil meter un acorde de Re mayor después de uno de Sol mayor que estaba funcionando como dominante en la tonalidad de DO mayor; el oído queda preparado para que ahora la musica cambie al tono de SOL mayor sin brusquedad.
En esta modulación en concreto, a partir de aquí, a partir de la entrada de ese acorde de Re mayor, el grado 1º de la escala pasa a ser el que antes era el 5º; o sea, si estábamos en la tonalidad de DO, ahora estamos en la de SOL; la tónica, ya, es el sol y no el do.


Este cambio puede ser muy transitorio, durar muy poco y volver enseguida  al tono de DO, en cuyo caso estaríamos hablando de una inflexión. Cuando, por el contrario, aparece un segundo tema (un trozo más o menos largo) sobre el nuevo tono, ahí sí decimos que la obra modula verdaderamente a otro tono.

Por ejemplo, en la forma sonata tenemos un tema o motivo A; después, viene lo que se llama un puente; y después viene un tema B (y más cosas, pero con esto vale).
Si el tema B está en otro tono distinto del de A, el puente es un trocito de
unos cuantos compases que sirve para hacer esa transición, para modular o cambiar a otro tono. Se distingue de una simple inflexión en que, al ser más largo, asienta más el oído; digamos que lo prepara más para oír algo en la nueva tonalidad.

Si queremos modular a un tono lejano, y queremos cierta suavidad, el puente tendrá que ser más largo (para que dé tiempo a que entren todas las notas alteradas por orden; todas las necesarias). En cambio, si el tono es muy cercano, el puente puede ser a veces muy corto (un compás o medio, por ejemplo) sin que el oído diga “¡qué ha pasado”. En casos así no se le llama ni siquiera puente, se dice que se modula de A a B de forma directa. 

Cadencias

Para modular, para terminar un trozo en una tonalidad y empezar con otra en otro tono, y también para finalizar una obra, usamos cadencias: dos o tres acordes, uno detrás de otro, que, según los casos, tienen más o menos carácter conclusivo. Las cadencias van definiendo de alguna manera subconjuntos dentro de lo que es el conjunto de una obra musical.

Las cadencias más utilizadas son la perfecta y la plagal: la primera es con el acorde de dominante (5º grado de la escala) que resuelve en el acorde de tónica (1º grado); la segunda es con el acorde de cuarto grado (subdominante) que resuelve en tónica.
O sea, usando los acordes en su posición fundamental (sin hacer enlaces suaves) son éstas:

Perfecta:

\( (5,7,9)\rightarrow(1,3,5)
  \)

*(donde \( 9\equiv2\,(mod\,7)  \)).

En el tono de DO sería: \( (sol,si,re)\rightarrow(do,mi,sol)
  \).

Plagal:

\( (4,6,8)\rightarrow(1,3,5)
  \)

*(donde, análogamente, \( 8\equiv1\,(mod\,7)  \)).

En el tono de DO sería: \( (fa,la,do)\rightarrow(do,mi,sol)  \)).


La cadencia perfecta es la cadencia por antonomasia; el chimpún final de casi todas melodías más populares. Y, cuando la armonía es a cuatro voces, al acorde de 5º grado se le añade con muchísima frecuencia la 7ª; es el famoso acorde de séptima de dominante que, en el tono de DO, sería el acorde de Sol añadiendo la nota fa.
Así, ese acorde en posición fundamental es (5,7,9,11); en tono de DO es pues (sol, si, re, fa).
*Donde \( 9\equiv2\,(mod\,7) \)  y \( 11\equiv4\,(mod\,7)  \).

En armonía a tres voces podríamos utilizar, por ejemplo, el acorde de quinta disminuida sobre el 7º grado (7,9,11) que es como el de antes pero quitando la nota del 5º grado; en tono de DO es (si, re, fa) y, si resuelve después en el acorde de tónica (Do) se dice que tiene la misma función tonal que el acorde de dominante (Sol) pese a que la nota sol ni siquiera aparezca (es como si estuviera muda, no suena pero “funciona”).

Así, escribiendo armonía sólo a tres voces, podemos tomar tres notas cualesquiera del acorde (5,7,9,11) y usarlo con esa función; siempre que se haga bien.

Funciones tonales

Lo de las funciones tonales tiene mucho que ver con la intersección de los acordes como conjuntos de notas:
 
Si consideramos el de 5ª disminuida y el de 7ª de dominante ocurre esto \( card\,(7,9,11)\cap(5,7,9,11)=3  \).
Tres notas en común.

Mientras que con los otros acordes tonales básicos no hay tantas notas en común:

\( card\,(7,9,11)\cap(1,3,5)=0
  \)

\( card\,(7,9,11)\cap(4,6,8)=1
  \)
*(hay una nota común en los últimos puesto que \( 11\equiv4\,(mod\,7)   \)).

En ambos casos, el resultado, salvo una muy ligera diferencia al oído, va a ser el mismo: “chimpún”; la cadencia perfecta suena casi igual usando el acorde de séptima de dominante que el de quinta disminuida debido a la cantidad de notas en común y a la importancia de ellas (en ambos casos aparece la sensible y la disonancia [que son respectivamente el si y el fa y son de resolución “obligada”: la sensible sube y la disonancia baja]).

Como se puede suponer también, el acorde \( \underset{+}{7}
  \) (así se cifra el de séptima de dominante si en el bajo está la dominante) tiene una inversión más al tener cuatro notas, tiene tres en vez de dos; estado fundamental aparte.

En este vídeo podemos ver y oír la cadencia perfecta en tono de Do:
Tónica = do;  Dominante = Sol
Los tres primeros acordes están en estado fundamental, con lo que se producen quintas paralelas y octavas paralelas. Inmediatamente, detrás, suenan los acordes evitando estos “defectos”: esa dependencia lineal entre quintas y octavas.


”Relatividad”

Cualquiera dirá que qué exagerados son los músicos, que eso no suena raro. Y es verdad, ahí no notamos nada extraño, sólo que la nota de la soprano sube más en el acorde central. Lo que sucede es que es un trozo muy corto, el acorde de tónica va al de dominante y éste resuelve volviendo al primero en la misma posición; y ahí se acaba lo que oímos.

Si el trozo fuera más largo, si hubiera más acordes todos bien enlazados y de repente apareciera una cosa así, le sonaría mal a casi todo el mundo; mal o un poco raro.

Matemáticamente es muy similar a esto:
Decidme si veis algo que os llame la atención en el siguiente conjunto, algo que os dé “un susto”:
{6,8,12}
La respuesta será no. Pero mirad éste otro conjunto:
{6,8,12,18,24,30,36,42,48}

Ahora sí, ahora nos preguntamos que qué rayos hace ahí ese ocho, que no es múltiplo de 6 como los otros.
Sin embargo, los tres primeros números son los mismos de antes.
Ocurre como cuando se habla en verso y se pierde la rima o cuando se habla en prosa y aparece un pareado; es más que nada por el contraste, es relativo. Por esto, las reglas de la armonía tienen bastantes excepciones.

De alguna manera estamos hablando de equilibrio, de unas ciertas simetrías sonoras (este tipo de simetrías no se ven como las geométricas ni son tan precisas a la hora de definirlas, pero existen).

En los acordes bien enlazados del ejemplo vemos como la nota más baja del acorde de en medio es el si, la sensible en el tono de DO. Está a un semitono de la tónica y tiene “obligación” de ir hacia ella.

De eso nace otra regla: “La sensible no se puede duplicar”. Aquí asoma tímidamente una cuestión de lógica formal (es una simpleza, pero veámosla):

 1º Si una nota se duplica tenemos una octava (o un intervalo armónico múltiplo de ocho).

2ª La sensible es un nota que resuelve obligatoriamente ascendiendo.

3º Así, si duplicamos la sensible, resultará una segunda octava por movimiento directo (paralelo en concreto) al resolver el acorde.

4ª Resolver dos octavas por movimiento directo está prohibido.

5ª Luego duplicar la sensible está prohibido.

En realidad esto reza para cualquier nota de resolución obligada (como el cuarto grado cuando aparece en un acorde de séptima de dominante, que debe bajar al tercer grado de la escala del tono). Pero la frase que se repite siempre es “no se puede duplicar la sensible”.
En cambio, las terceras y las sextas suenan muy bien si marchan en paralelo; es quizá la manera más usual de enlazarlas.

Aclaración geométrico-conceptual en spoiler:


Armonicemos una sintonía

Sólo con los acordes tonales principales (los tonales básicos, de tónica, dominante y subdominante; y sus inversiones y alguna “versión” del acorde de 7ª de dominante) cualquiera puede armonizar de manera simple una melodía que se preste a ello.

Pondré un ejemplo tomando un motivo corto que me viene ahora a la cabeza, la sintonía de Eurovisión (que en realidad es el tema principal del Te Deum de Charpentier). Hago un arreglo armónico-contrapuntístico muy sencillo con dicha sintonía para mostrar algunas de las cosas que he ido diciendo.


Utilizo dos pentagramas en clave de sol, para que  sea más fácil de ver todo. Abajo, en granate, aparecen los nombres de los acordes. Las notas que dan nombre al acorde también las he puesto en granate.

Como se puede ver, he enlazado los acordes suavemente, procurando respetar las normas escolásticas; y sólo he usado los tres acordes tonales básicos (excepto con el de 5º, que he utilizado diferentes versiones tomando notas del de 7ª de dominante). Si nos fijamos en esos acordes, en la “superficie” que forman visualmente, es más “diferenciable” que la de la melodía (pensemos que se escriben con cierta separación para poder leerlos, pero el sonido va ligado).  La melodía tiene más saltos, más “picos”.

Al acabar el tema en Do (después de repetirse una vez) le escribo una modulación a SOL (tono cercano a DO) que dura sólo un compás; apenas se puede llamar “puente”. Debido a eso, la transición no es tan suave como podría ser, pero no molesta al oído. 
Y, a partir de ahí, se repite el tema ya en tono de SOL; el que era quinto grado ahora es el primero, la tónica.
En la modulación sí entran algunos elementos no explicados, dentro de que sean los acordes dichos.



En el primer acorde (do fa sol) el sol que aparece es lo que se llama un retardo; digamos que es una nota que ha “perdido el autobús”. Ya sonó en el acorde anterior (uno de Do que no se ve en la imagen) y lo suyo sería que resolviera en un la, pero lo va a hacer después, en el siguiente acorde (que sigue siendo el acorde de Fa) como se puede observar.
 (Este recurso ayuda a dar suavidad en la modulación al entrar alguna nota de forma más progresiva).

El tercer acorde está hecho con notas del de 7ª de dominante de SOL; es el acorde de Re, pues re es el quinto grado o dominante del tono de SOL (donde sol es el primero o tónica).

Dicho acorde, 7ª de dom., escrito en estado fundamental es (re, fa#, la, do). En este caso se podría decir que está escrito en su tercera inversión; pero no aparece el re, la fundamental del acorde. Se puede interpretar entonces como otro acorde con la misma función (pero es más cómodo entenderlo como digo).


El cuarto y último acorde es el mismo; pero el último va con lo que se llama una nota extraña (no se debe entender como un acorde prestado, es tonal). Es decir, las dos primeras notas (de abajo a arriba) son las mismas de antes (el sostenido anterior vale hasta que se acaba el compás) y la nota superior es un la sostenido colocado ahí a “capón”. Está a distancia mínima del si, nota en la que va a resolver después (el si del acorde de Sol).

Debido a que los acordes me quedarían muy bajos y sonarían muy graves (porque lo escribo en una tesitura muy corta al usar sólo clave de sol) en la parte que sigue, en SOL, le he compuesto un contracanto sencillo; es decir, ese segundo trozo va a dos voces nada más.

Intuición

Para escribir un contrapunto hay que basarse principalmente en la armonía que llevan las otra voces (solamente una en el ejemplo, la sintonía de Charpentier). En general se cuenta con una serie de recursos: notas de paso, apoyaturas, floreos, elisiones...

Bastante en general, son notas o grupos de notas extrañas a la armonía que se intercalan entre las notas de la melodía que sí pertenecen a los acordes. Suelen ocupar partes o fracciones débiles del compás; salvo en algunos casos, como ocurre con las apoyaturas (hablo de apoyatruas en sentido armónico, que están relacionadas con las melódicas, pero hay un matiz).

Sin embargo, no basta con eso. Podemos respetar todas las normas habidas y por haber, hacer que las voces suenen bien en conjunto y, sin embargo, no conseguir que dichas voces nos “canten”.
Y aquí voy otra vez con un símil matemático para intentar transmitir qué quiero decir:

1,2,7,23,11,21,13,3,12,22,17...

1,2,3,7,6,7,8,12,11,12,13,17...

A la primera sucesión... si alguien le encuentra una “estética” será por casualidad. La segunda, en cambio, sí conlleva un equilibrio o una simetría que he pensado yo: tres números consecutivos; el cuarto salta cuatro, otros tres seguidos, el que va después vuelve a saltar cuatro unidades respecto del anterior...

En los contrapuntos, normalmente, no puede haber simetrías exactas del todo, porque las voces se obligan unas a otras (entre reglas, armonías, entre que a veces no tienen sitio para moverse... no es fácil). Pero, por seguir con el ejemplo (que tampoco es del todo literal) si no puedes en un cierto sitio saltar cuatro, pues saltas tres, y si no puede haber tres juntas, pues pones dos.

Sobre todo, hay que atender a que cada voz diga algo, a que no sean “amorfas”.

Tomo mi propio ejemplo; para explicarme mejor al ser algo pensado por mí.


Fijaos en que el fa sostenido aparece cada cierta distancia; más o menos, no a la misma del todo, pero va intentando dejar huecos de una longitud parecida

 Y digo que “va intentando” porque yo no lo he hecho muy conscientemente; simplemente he pretendido que sonara a algo, a “canción”, para que no fuera como un “PI pO pan (silencio) PLIM pun tracatá” (He intentado eso y también que no “molestara” al tema principal, que dejara que se oyera la sintonía).
 
Cuando corto una frase, después de un silencio, procuro que la música siga hablado de lo que iba hablando.
La diferencia entre una voz que canta y otra que no, es más o menos la misma que ésta:

“Fui al taller... y estaba cerrado... volveré mañana”.
“Fui al taller... átate el cordón del zapato... tiempo lluvioso”.

Y, al ir intentado que la melodía cante algo, me han salido esas pausas a cierta distancia sobre el fa#; el fa# hace especialmente de punto de reposo en las frases.

¿Quién es el fa# aquí?, pues es la sensible (antes era el si, cuando estaba en DO, pero en SOL es el fa#). Y como sensible está obligada casi siempre a resolver subiendo al sol.
Así lo hago, la resuelvo.. Aunque veáis que, por ejemplo, en el segundo compás la siguiente al fa# sea un mi y no un sol, está correctamente resuelta.  Ocurre que ese mi es sólo un adorno melódico en realidad, una apoyatura corta, una acciacattura, armónicamente es como si no existiera, sólo hay un fa#.

Y ese recurso, ese “mifasol” que suena ahí más rápido que lo demás resolviendo así a la sensible, lo utilizo en ese sitio, un poquito después del principio, y también un poquito antes del final; guarda una medio simetría, con lo que ayuda a que la voz nos suene cantarina.

Pero es más intuitivo que analítico; o sea, estoy analizando a posteriori lo que he hecho con algo de intuición (atendiendo a ciertas reglas, eso sí).

Tanto es de esta manera, que me acabo de dar cuenta de que, en toda la melodía de Charpentier, no aparece en ningún momento la sensible y, seguramente, eso me ha llevado a darle tanta importancia a dicha nota en el contracanto; sin ser consciente de ello.

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Normalmente, cuando se enseña a poner un contrasujeto, siempre se dan las mismas normas: que se tomen trocitos del tema, que se transformen por movimiento contrario o usando movimiento cangrizante... usando aumentación, disminución, etc., para así, “pegándolos” después, hacerlos encajar con la armonía y confeccionar ese contracanto.
Es una construcción; no voy a decir en esta ocasión que es parecida a la de los números reales ni nada semejante, pero es una construcción que necesita un esfuerzo intelectual.
Y, siguiendo esa técnica, si se respetan las reglas de la armonía y el movimiento de las voces, pero sin atender a nada más, va a salir algo que va a sonar bien; pero con frecuencia va a quedar muy soso, pues es muy fácil que algunas voces resulten un mero “relleno” armónico que individualmente no dicen nada.

El contrapunto imitativo... Nunca mejor dicho, ahora que lo pienso, porque lo que se enseña en los conservatorios, en las clases de contrapunto y fuga, es a imitar a Bach, más que a imitar voces (y a nadie le sale igual, porque Bach hubo uno).
Pero es que, realmente, no se puede enseñar otra cosa, no es que no se quiera enseñar eso que falta; porque la intuición no se puede enseñar.

Ambas aspectos son necesarios. Un canon o una fuga no se escribe como las letras en un papel, de principio a fin; primero se piense en componer el motivo a trozos (que después se pegan) porque esos trozos hay que combinarlos, tienen que dar estrechos, ser “estrechables”,  porque las fugas se empiezan a componer por los estrechos, si no, no hay manera; y los estrechos son partes que suelen ir al final de la fuga.

Bueno, si sigo por ahí no acabo. El caso es que es pura construcción; es muy matemático y a la vez conlleva un, digamos, restringido libre albedrío.
Y claro que es necesario hacer eso, sin duda que sí: hay que dejarse los cuernos mirando a ver qué trozos escribir, cómo pegarlos, como encajarlos con el sujeto...  Pero eso no basta para que quede algo bonito o estético, ni mucho menos. La intuición no es optativa en música, es obligatoria.

     


Los otros acordes tonales y las funciones

Hablemos de los acordes tonales que faltan.
Hasta aquí hemos visto acordes de tres notas (de triada) formados por terceras (dejando una nota en medio; salvo alguna versión en la función de dominante). Ya se ha dicho que son los tres acordes principales, de 1º, 4º y 5º.
Los que vienen ahora se forman igual, pero sobre los grados que faltan de la escala, que son éstos:
2º supertónica
3º modal
6º melódica
7º sensible (o, en otro caso subtónica; cuando está a distancia de un tono de la tónica, como ocurre en la escala natural menor).
*(pero este último ya lo he usado antes como si fuera el de quinto, uniéndolos en “nombre”).

Más sobre el conjunto intersección de los acordes

Buscando la intersección con los acordes tonales principales tenemos que el de segundo grado en tono de DO mayor es Re menor: (2,4,6)=(re,la,fa).
 Vemos que tiene dos notas en común con el de 4º ó subdom., el conjunto intersección es {4,6}.
*(También tiene dos en común con el de 7ª dom., su función es algo intermedia, podríamos decir; combina bien en medio de los otros dos.
En cualquier caso, se considera función del 4ª)

El de 3º ó modal en el tono de ejemplo es (3,5,7)=(mi,sol,si); es el acorde de Mi menor, que tiene {3,5} en común con el acorde de tónica.   
*(Una vez más, también tiene {5,7} en común con el de 5º, pero, al entrar la modal... el carácter es más de primer grado).

El de sexto grado es La menor; o sea
\( (6,8,10)\equiv(6,1,3)=(la,do,mi)  \).
De nuevo encontramos dos notas en común con dos de los acordes principales: con el de 4º la intersección es {1,6} y con el de tónica es {1,3}. Se considera como función de 1º, de tónica.

Vemos que ahora hallamos acordes menores: son distintos en cuanto a que entre la primera y segunda nota del acorde (tónica y modal) la distancia es de tercera menor; o sea, en vez de dos tonos, tono y medio
 
Por otra parte, en el tono menor se usan principalmente tres versiones en cuanto a escalas; escala natural, escala armónica y escala melódica mixta; combinan la sensible o la subtónica, además de usarse el sexto grado aumentado (la escala natural, con todas las teclas blancas en el tono de LA, como ejemplo, se usa menos).

Esto hace que en la cadencia perfecta menor se utilice el acorde mayor de dominante; el mismo que antes, el del modo mayor (y también añadiendo séptima o no, como antes).


Cerradura

Símil matemático: Todos estos acordes, como los anteriores, los acordes tonales principales, cumplen la propiedad de cerradura respecto de su tono; sus notas pertenecen todas a las escalas del tono (considerando las tres versiones en las escalas del modo menor en caso de que sea un tono en modo menor).

¿Sirve para algo tener esto en cuenta en música o es un mero parecido sin importancia? Sirve, pues también, durante un pasaje en una cierta tonalidad pueden aparecer acordes prestados; acordes que pertenecen a tonos que tienen algunas notas que no aparecen en las escalas del tono que se esté usando en un cierto momento. Se llaman así cuando irrumpen como “condimento”, no son exactamente los acordes de transición que sirven para modular; aunque aquí caben criterios y análisis.


Progresiones

En música también hay progresiones sumamente parecidas a las matemáticas, dibujos melódicos que se repiten a distintas alturas, que van subiendo o bajando. Las repeticiones del modelo se llaman pasos.
Hay progresiones monotónicas y modulantes. Las modulantes pueden ser convergentes o divergentes; convergentes cuando acaban en el tono que empezaron y divergentes cuando llevan a otro tono.
Ni falta hace aquí mencionar nada sobre el símil; ya se lo imagina todo el mundo al leer las palabras “convergente” y “divergente”, tan relacionadas con el análisis matemático. 

Las progresiones armónicas son muy libres en cuanto a enlaces, se pueden hacer quintas directas, octavas directas... casi de todo; salvo en los enlaces entre los pasos (incluyendo el modelo).
Esto tiene que ver con algo que ya he dicho. Si un fragmento es largo y escrupuloso con las reglas y, de repente, se salta uno una “ley” aisladamente, pues el oído dice que qué pasa. Pero si un fragmento o trozo está lleno de quintas directas, octavas... esos “defectos” no contrastan, no dan sustos al oyente.

Sin embargo, en todos los ejemplos de los libros que tengo (en muchos, no en todos, me llevaría demasiado tiempo comprobarlo) los pedagogos apenas se saltan normas; quizá por no “pervertir” a los alumnos o quizá por lo que decía, porque al introducir un par de quintas u octavas paralelas aisladas no quedan bien por ese contraste.

Por ello, pondré un ejemplo mío de progresión armónica:   

Ejemplo de progresión


Me ha quedado muy rusa sin pretenderlo, toda romántica, con esa trompa que hace “pu puuuu” al final, como el silbido de un tren a lo lejos.
Qunqueiro, un escritor gallego, decía una cosa muy bonita: “toda la literatura rusa está atravesada por el pitido de un tren en la noche”. Pues con la música rusa pasa algo similar, esta salpicada de una nostalgia cinematográfica.

Aquí he llamado a los acordes por su nombre, no es el nombre de los acordes de las funciones en sí. Las violas aparecen en clave de DO en tercera porque el programa gratuito éste, al pedirle que me ponga dicho instrumento, pone esa clave automáticamente, ya que, es la suya, la de la viola. No obstante, es fácil de leer, se lee como la clave de sol pero una nota por encima; es decir, donde en clave de sol es un si aquí es la siguiente, do; y así con todas (yo soy torpe leyendo y no me supone un esfuerzo extra).

Creo que se distinguirá bien el modelo y los pasos; los tres compases del final cambian un poco, rompen la progresión para terminar.

Se trata de una progresión modulante, pero muy suave, de forma que se podría seguir en el tono principal, LA menor (se entiende que antes de la progresión iría una melodía en LA que ha hecho que nuestro ido se “afine” en ese tono).
 También se podría seguir en MI mayor afianzando un poco más este tono entrante antes de hacer aparecer un motivo melódico. Es decir, es casi convergente o, dicho de otra manera, diverge muy poco (haciendo otra vez un símil, podría ser parecida a una sucesión oscilante).

En cuanto a los acordes:
En el modelo uso:  La menor, Mi menor, Re menor, Do.
En el primer paso: Fa, Do, Si 5ª disminuida, La menor.
En el tercer paso: Re menor, Do, Sol# 5ª disminuida, Re# 7ª disminuida (si bien este paso no es “exacto” en el último compás).
Finalmente, ese último acorde, que tiene función de dominante de MI, resuelve en Mi, haciendo cadencia perfecta (bueno, cadencia perfecta “funcionalmente· hablando; casi siempre hablo funcionalmente, por mi forma de pensar las cosas, hay que tenerlo en cuenta).

En los últimos compases he puesto unos números romanos; quiere decir esto:

El “VII” que aparece sobre el acorde de Sol# de 5ª disminuida indica que sol# es el séptimo grado de la escala de la menor; pero alterado, es la sensible (se pone “+” para indicar eso; en el bajo barroco un “+” supone subir una nota un semitono, sin embargo, no me refiero al bajo barroco, sino al bajo cifrado “moderno”).

Pero este acorde no resuelve en la LA menor, hago una resolución excepcional y se va al acorde de Re# séptima disminuida.

El re# supone el cuarto grado del tono de LA, pero descendido un semitono.
Y, en fin, eso es lo que  indico con el “IV#” que aparece en el paréntesis después *(hay una errata, he puesto un “VI”, pero es es un cuatro). 

Al lado y dentro del paréntesis también, sobre el mismo acorde, aparece un “V”. Está diciendo que ése es el grado respecto del tono de salida, que es MI; es un acorde con función de dominante respecto del tono en que termina (tiene doble función; según se mire).

Fijaos que he escrito la sensible Re # en la trompa, la cual resuelve subiendo al mi, como debe ser; con el resto de las voces forma el acorde de Mi mayor.

En ese momento ya está en el tono de MI (en modo mayor). Pero, a la vez, si siguiera y repitiera la frase desde el principio, éste serviría de acorde de dominante de LA menor, con lo cual también tiene una doble función según se vea de dónde viene o hacia a dónde va.

Las tonalidades a modo de bases vectoriales

A qué se parece esto, ¿no es cierto que recuerda un poco a un cambio de base en un espacio vectorial? Los acordes dependen de unas “bases” que son las tonalidades; según eso son una cosa u otra, por sí solos no son nada en concreto; si bien el tono de DO se toma un poco como una base canónica, la elección se antoja muchísimo más arbitraria que en matemáticas. 

Quizá alguno esté pensando que lo que hago es una comparación forzada que yo me invento.
Pues no tanto; mirad este ejemplo tomado de un libro, por poner sólo uno:




Una progresión de Bach

Podéis escuchar sólo el el trozo hasta donde me paro; después repito otra vez la progresión y sigo hasta el final (así podéis ubicar dónde está el fragmento por si queréis oír el Aria de Bach en versión original y buscarlo).


En este caso la he grabado yo mismo al piano porque era pesado escribirla en el programa usando cuatro pentagramas al no tener la vista muy bien (el piano éste es verdaderamente malo en cuanto a teclado, pero para el ejemplo sirve).

Las claves no se ven, pero son, de arriba a abajo, las que siguen:
fa en cuarta; do en tercera , y las dos de arriba son de sol.

Los acordes ya veis los que son; digo a partir del modelo hasta que acaba el último paso de la progresión, los que he escrito (el que no los “vea”, que me crea que son ésos).
Entran por cada negra y son los siguientes:

Re (acorde del tono principal que va a hacer de dominante...)
Sol (acorde en que resuelve el anterior)
Mi 7 (dominante de LA)
LA (resolución del anterior)
Fa# 7 (dominante de Si)
Si (dominante de Mi)
Mi menor.

Y ahí termina la progresión para seguir con otra cosa.

Si tomáis las fundamentales de los acordes (re, sol, mi, la, fa#, si, mi) veréis que van así; sube cuarta justa, baja tercera menor...

No es un círculo de quintas en cuanto a la modulación; las usa, sí, pero de forma mixta, con esos saltos de tercera menor descendente.

Es Bach, se puede decir muchísimo más sobre los contrapuntos y los recursos melódicos... pero esto se alargaría.

El tiempo sí importa en música.

En música la cuestión del tiempo supone unos conjuntos más, con elementos como las negras... las corcheas... Con ellos se pueden crear ritmos, que son elementos compuestos, patrones hechos con figuras musicales de una cierta duración (redondas… semigarrapateas).

Los ritmos se distribuyen a su vez en una cantidad de compases que no tiene por qué ser entera. En un compás de 4/4 (que no es una fracción) el 4 de arriba representa el número de partes que tiene y el de abajo el número que dura la parte (4, que es una negra).
Pero un ritmo se puede repetir cada compás y medio, por ejemplo.

(Como todos sabréis, los compases vienen dados en la partitura por esas rayitas verticales que van dividiendo el pentagrama regularmente mientras encierran las notas).

Los compases pueden ser binarios o ternarios (y, a la vez, de subdivisión binaria o ternaria) y en ellos se distinguen partes fuertes y débiles. El de 4/4 tiene cuatro partes que van así; fuerte, débil, fuerte, débil (en los binarios las partes se suceden alternadamente). En los ternarios, en cambio, van así; fuerte, débil, débil, fuerte...

Y esto último es fundamental en la armonía para evitar un defecto muy importante.

Ejemplo de síncopa armónica

La síncopa armónica es algo que suena raro aunque a veces puede pasara desapercibida.


En este caso el ejemplo está en FA mayor.
Podemos oír algo raro especialmente donde marco esos acordes de Fa en rojo. Uno entra en parte débil y, después, en el siguiente compás y acto seguido, el mismo acorde en parte fuerte; otro acorde de Fa.

La síncopa armónica (no confundir con la melódica) no se define de forma completa en ningún sitio, los músicos aprenden a no hacerla a base de oficio. En esto la música no se parece tanto a la matemática, pues sus definiciones no son siempre tan rigurosas.
Voy a explicar en que consiste este defecto:

Si un acorde acaba de entrar en parte débil, procediendo de otro acorde distinto (en cuanto a función tonal) que va situado en parte fuerte, no se debe prolongar ni repetir el mismo acorde en la siguiente parte fuerte (si fuera fuerte).

En el ejemplo que he confeccionado (en los siguientes compases después de la síncopa armónica) al final podéis ver un acorde ya correcto; ahí lo que procede es un acorde de Do (con esa función, de dominante) que resuelva en Fa como primer acorde del siguiente compás.
*(se me ha olvidado poner el acorde de Fa en el último compás, en el vídeo, donde pone “etc”).

Si  un acorde entra en parte fuerte, sigue en la siguiente parte débil (ese mismo acorde) y sigue después en la siguiente fuerte, eso no es síncopa armónica; es cuando un acorde “nuevo” (donde es muy importante considerar la función tonal) entra en la parte débil y se prolonga a la fuerte.

Si alguna vez se armoniza una melodía y suena algo raro sin que se vea ningún error aparente... es probable que haya por ahí una síncopa armónica.

Matemáticamente se puede mostrar como algo así:

2,3,8,7,2,15,24,3,4,21,53

Todos van “par, impar, par...” menos los dos últimos, que son impares y rompen esa simetría.

Subsucesiones

También hay algo parecido, sí; pero explicaré en qué términos.

Si una melodía se sucede acompañada de una cierta sucesión de acordes, por ejemplo (1,3,5); (4,6,8); (5,7,9) podemos entresacar notas de éstos para formar otra melodía; por ejemplo 1,6,7 (o más notas de alguno). Las notas de esta melodía tendrán que entrar según correspondan a los acordes.

Aquí pongo un ejemplo mío donde también utilizado la melodía de la Vaca lechera; y, además, la del reloj del Big Ben.

 
En verde vemos la melodía del Big Ben y abajo la de la Vaca lechera en negro; acompañada con un bajo Alberti.
La del Big Ben no está completa, al final le faltan dos notas porque la armonía me obliga a no ponerlas.
Pero acto seguido se repite el tema del reloj (sólo las cuatro primeras notas) por disminución; esto es, acortando el tiempo de cada nota: al principio del todo entra en blancas y, después, aparece en negras (en corcheas con silencio en realidad, pero con duración de negra en cuanto a partes). El dibujo melódico es igual, sólo que dura la mitad (cuando es al revés, esta transformación musical se llama aumentación).

Después, al final, en el último compás, hay una coda marcada con sus notas en azul  (blancas en cuanto a duración). Esa coda aparece antes, también por disminución, en una voz intermedia del piano. Mirando el vídeo y escuchando al mismo tiempo lo podréis distinguir perfectamente.

Son como melodías escondidas, subsucesiones musicales.


El acorde más simétrico de todos.
Propongo un problema matemático (y musical)

No sé ahora cuándo descubrí este pequeño secreto. No sé si fue cuando empecé a toquetear el piano o tiempo después cuando me aprendí de memoria la Fantasía cromática y fuga (a día de hoy se me ha olvidado la fuga ya no toco ni la mitad de la fantasía, pero ha dejado su sedimento).

Realmente esto que voy a decir puede ser “novedoso” con el enfoque que le doy; no lo he visto explicar así.
Seguramente Bach conocía este “secreto”; no hay más que ver su música.

Voy a poner un problema con un enunciado matemático primero y después con un enunciado musical.

1º Enunciado matemático:

Consideremos los enteros y todos los conjuntos de cuatro elementos que se pueden formar de esta manera: {n, n+3, n+6, n+9}.
Son infinitos, pero ahora quedémonos sólo con los enteros módulo 12. Así, mucho conjuntos son los mismos y los quitamos, ¿Cuantos conjuntos quedan?

2º Enunciado musical:

Tengamos en cuenta el teclado del piano y tomemos cualquier nota a partir de la cual podemos formar un acorde de 7º disminuida. Consideremos que un acorde es el mismo independientemente de inversiones y tesituras; y tampoco tengamos en cuenta las enarmonías.
 ¿Cuantos acordes de 7ª disminuida distintos hay según lo dicho?

Respuesta matemática


Respuesta musical:


Sin embargo, si consideramos los acordes mayores (de triada) hay 12 distintos; y otros 12 menores; en total 24.

Yo no me atrevo a demostrar matemáticamente esto porque quizá haga una chapuza, pero es así seguro. Lo sé por la música, sé que es así porque es así. Sin ponerme a intentarlo con números no sé si puedo explicarlo demasiado bien.
Voy a dar unos datos guía para quién quiera o pueda demostrarlo matemáticamente.

A partir de lo anterior:
Los acordes mayores son conjuntos que se forman de este manera:
{n, n+4, n+7}.
Y los acordes menores son así
{n, n+3, n+7}.

¿Podría estar equivocado pese a llevar casi toda mi vida sabiendo esto, podrían no ser 24 distintos? Me rompería los esquemas; a mí y seguramente a cualquier músico.
 
Quizá echando mano de que hay 7 teclas blancas y 5 negras, que son números coprimos con 12, podría intentar una demostración (sin cuenta de la vieja, digo) pero en este hilo no quiero meter la pata (en música es distinto, también me puedo equivocar al decir algo, pero sé por dónde piso).


El acorde de 7ª disminuida más famoso de la historia



Creo que es el más famoso, el que reconocería todo el mundo aun sin saber qué acorde es: el que aparece al principio de la Tocata BWV 565.

En el vídeo he puesto unos teclados indicando qué notas se van dando a partir de dónde está la flecha.

Empieza con una nota pedal de tónica (pentagrama de abajo del todo) y, sobre ella, monta poco a poco el acorde de 7ª disminuida; va dando nota por nota y sujetándolas hasta que se forma el acorde entero con ese estruendo tan característico en el inicio de la obra, después de esos semitrinos con las escalas descendentes.

Duplica en la mano derecha las dos primeras notas del acorde: do# y mi.

El acorde en concreto es (do#, mi, sol, sib); el de 7ª disminuida sobre do#, que es la sensible de RE (el tono de la obra es RE menor).

Tal y como está indicado en los tecladitos con los que acompaño la partitura en el vídeo, dicho acorde resuelve haciendo subir la sensible, do#, a re (o sea, a la tónica, como está mandado) y bajando por movimiento contrario la nota del extremo, sib, a la.

El mi resuelve en la octava de arriba en re, mientras que “desaparece” en mano izquierda (o al revés, no se puede determinar eso. Y, por cierto, los dos “mis”, la octava que forman, marcha en paralelo hacia la octava de los “res”; y no pasa nada, cosas así, sobre todo en los instrumentos de tecla, se hacen mil veces. Las reglas para un compositor son orientativas, los músicos saben cuándo se las pueden saltar en aras de una mayor belleza musical (en esto tampoco se parece tanto la musica a las matemáticas, donde no se puede decir “mira qué bonito me ha quedado esto: 7+3=[1,5,8]”; al menos no se puede decir en un contexto normal).

Pero el sol, que debería resolver bajando a fa natural para formar el acorde de Re menor, no se mueve, su sonido queda retardado. Es un retardo, a ese acorde ya se le puede llamar Re. Sin embargo, como no ha resuelto, aún no tiene modal, y no se puede asegurar si es mayor o menor (pese a que el tono sea RE menor, no sabemos qué va a pasar).

Después de cierto artificio melódico que ahora explicaré, dicho sol resuelve en fa# en vez de en fa natural, haciendo el acorde de Re mayor; lo que se llama una tercera de Picardía, la tercera (re, fa#) en este caso.


Sin embargo, antes de irse a ese fa#, vemos que da un salto de tercera a un mi para, después ya sí, subir al fa#. Este tipo de nota no es de paso ni tampoco es un floreo ni es una apoyatura, se llama elisión: es una nota extraña que salta y regresa a donde debe haciendo un movimiento de segunda (o viceversa, primero hace el movimiento de segunda y después salta).

En este caso, Bach, al llegar al acorde mayor, no lo usa para modular introduciendo un tema en RE mayor, va a seguir después en RE menor, directamente.

El acorde de 7ª disminuida es quizá el más versátil de todos. Al haber sólo “tres distintos” les toca compartir con muchos tonos y eso permite muchos enlaces, muchas modulaciones, progresiones, series...

Finale
 
Podría seguir hablando más de música y, si supiera más matemáticas, seguramente podría encontrar más símiles. De hecho, creo que aún puedo encontrarlos, pero también quiero acabar; entramos en julio, tiempo libre para algunos posibles lectores; y creo que es un buen momento.

Ésta es una lista de paradojas que viene en Wikipedia; no están todas las que son... pero están algunas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Paradojas_matem%C3%A1ticas