[Calfú]

Hola, tengo un ejercicio en el que no sé si mezclé chorizos con bananas o es aceptable (perdón por la notación, cuando pegué cambió)

Considere la colección hereditaria de conjuntos finitos definidos del siguiente modo:
\( H(0) = \{\} \); \( H(n+1) = H(n) \); \( H = \{H(n) | n\textsf{ es finito}\} \).

(a) ¿Cuántos conjuntos tiene \( H \)? Es decir, ¿cuál es su número cardinal?

\( |H| = n \)

(b) ¿Es posible definir una correspondencia 1-1 entre \( H \) y los números naturales?
Si considera que no, ¿por qué? Si le parece que sí, ¿cómo lo haría?

Sí, es posible definir una función biyectiva entre \( H \) y los números naturales. Por definición, si \( H \) es finito  \( f: H \to \{1,\ldots, n\} \) para algún \( n\in \Bbb N \), tal que este  \( n\in \Bbb N \) que cumple con la definición es único, y éste es el cardinal

Me hicieron notar lo siguiente:

"Si tomas \( H(0)=\emptyset \) y \( H(n)=H(n+1) \), entonces todos los \( H(n) \) son iguales entre si; en particulares iguales al conjunto vacío. Por tanto en realidad \( H \) sólo tendría un elemento."

Ahora necesito saber, ¿por qué todos los \( H(n) \) serían iguales? ¿Me explican, por favor?
Siendo todos iguales, y \( H \) tiene un elemento y ese elemento es el conjunto vacío ¿El cardinal es \( 0 \)?
Mensaje corregido por la administración.

Por favor, recuerda usar LaTeX para las fórmulas. Tienes un tutorial disponible.

[manooooh]

Hola

Hola, tengo un ejercicio en el que no sé si mezclé chorizos con bananas o es aceptable (perdón por la notación, cuando pegué cambió)

Considere la colección hereditaria de conjuntos finitos definidos del siguiente modo:
\( H(0) = \{\} \); \( H(n+1) = H(n) \); \( H = \{H(n) | n\textsf{ es finito}\} \).

(a) ¿Cuántos conjuntos tiene \( H \)? Es decir, ¿cuál es su número cardinal?

\( |H| = n \)

(b) ¿Es posible definir una correspondencia 1-1 entre \( H \) y los números naturales?
Si considera que no, ¿por qué? Si le parece que sí, ¿cómo lo haría?

Sí, es posible definir una función biyectiva entre \( H \) y los números naturales. Por definición, si \( H \) es finito  \( f: H \to \{1,\ldots, n\} \) para algún \( n\in \Bbb N \), tal que este  \( n\in \Bbb N \) que cumple con la definición es único, y éste es el cardinal

Me hicieron notar lo siguiente:

"Si tomas \( H(0)=\emptyset \) y \( H(n)=H(n+1) \), entonces todos los \( H(n) \) son iguales entre si; en particulares iguales al conjunto vacío. Por tanto en realidad \( H \) sólo tendría un elemento."

Ahora necesito saber, ¿por qué todos los \( H(n) \) serían iguales? ¿Me explican, por favor?
Siendo todos iguales, y \( H \) tiene un elemento y ese elemento es el conjunto vacío ¿El cardinal es \( 0 \)?
Mensaje corregido por la administración.

Por favor, recuerda usar LaTeX para las fórmulas. Tienes un tutorial disponible.

\( H(1)=H(0+1)=H(0)=\{\} \)

\( H(2)=H(1+1)=H(1)=H(0)=\{\} \)

etc.

En definitiva \( H(n)=\{\}=\varnothing \) para todo \( n\in\Bbb{N} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo un ejercicio en el que no sé si mezclé chorizos con bananas o es aceptable (perdón por la notación, cuando pegué cambió)

Considere la colección hereditaria de conjuntos finitos definidos del siguiente modo:
\( H(0) = \{\} \); \( H(n+1) = H(n) \); \( H = \{H(n) | n\textsf{ es finito}\} \).

(a) ¿Cuántos conjuntos tiene \( H \)? Es decir, ¿cuál es su número cardinal?

\( |H| = n \)

(b) ¿Es posible definir una correspondencia 1-1 entre \( H \) y los números naturales?
Si considera que no, ¿por qué? Si le parece que sí, ¿cómo lo haría?

Sí, es posible definir una función biyectiva entre \( H \) y los números naturales. Por definición, si \( H \) es finito  \( f: H \to \{1,\ldots, n\} \) para algún \( n\in \Bbb N \), tal que este  \( n\in \Bbb N \) que cumple con la definición es único, y éste es el cardinal

Me hicieron notar lo siguiente:

"Si tomas \( H(0)=\emptyset \) y \( H(n)=H(n+1) \), entonces todos los \( H(n) \) son iguales entre si; en particulares iguales al conjunto vacío. Por tanto en realidad \( H \) sólo tendría un elemento."

Tienes:

\( H(0)=\emptyset \)

Si \( H(n+1)=H(n) \) entonces.

Para \( n=0 \),  \( H(1)=H(0+1)=H(0)=\emptyset \).
Para \( n=1 \),  \( H(2)=H(1+1)=H(1)\emptyset \).

Y así sucesivamente. Por tanto todos los \( H(n)=\emptyset \) y \( H=\{\emptyset\} \).

El conjunto \( H \) tiene un elemento y por tanto su cardinal es UNO. No es cierto que su cardinal sea cero. Su único elemento es el conjunto vacío, pero eso no tiene nada que ver con su cardinal.

(b) ¿Es posible definir una correspondencia 1-1 entre \( H \) y los números naturales?
Si considera que no, ¿por qué? Si le parece que sí, ¿cómo lo haría?

Sí, es posible definir una función biyectiva entre \( H \) y los números naturales. Por definición, si \( H \) es finito  \( f: H \to \{1,\ldots, n\} \) para algún \( n\in \Bbb N \), tal que este  \( n\in \Bbb N \) que cumple con la definición es único, y éste es el cardinal

Incluso aunque \( H \) tuviese \( n \) elementos, lo que tu haces ahí es definir una biyección entre \( H \) y un subconjunto finito de naturales, pero no entre \( H \) y los (todos) números naturales. Esto es imposible si \( H \) es finito.

Saludos.

P.D: Se adelantó manoooh mientras escribía esto...

[Calfú]

Gracias!

[geómetracat]

Debe haber un error en el enunciado. Imagino que \( H \) debe ser la clase de los conjuntos hereditariamente finitos, que son los conjuntos con clausura transitiva finita (intuitivamente son los conjuntos finitos tales que todos sus elementos son conjuntos finitos, y todos los elementos de sus elementos son conjuntos finitos, etc.)

Esto se puede conseguir por ejemplo definiendo:
\( H(0)=\emptyset \)
\( H(n+1)=P(H(n)) \)
\( H=\bigcup_{n=0}^\infty H(n) \)
Vamos, que el conjunto de todos los conjuntos hereditariamente finitos coincide con el \( V_\omega \) de la jerarquía cumulativa, y es numerable por ser unión numerable de conjuntos finitos (los \( H(n) \)).