Hola
Continuando con lo propuesto por Masacroso (no veo que sea tan complicado el límite).
Usa la ley de probabilidad total, es decir, llamamos \( X \) a la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas sacadas de una urna al azar. Cuando se dice "escogemos al azar" se debe entender que existe la misma probabilidad de elegir una urna que otra.
Llamamos \( U \) a la variable aleatoria que elige entre las distintas urnas, entonces la probabilidad de sacar \( n \) bolas blancas sería:
\( \displaystyle \Pr[X=n]=\sum_{j=1}^{N+1}\Pr[X=n|U=j]\Pr[U=j]\tag1 \)
donde simplemente hemos usado la citada ley de probabilidad total.
Como sabemos que \( \Pr[U=j]=\frac1{N+1} \) para cualquier \( j \) entonces te quedaría calcular los \( \Pr[X=n|U=j] \), que es la probabilidad de sacar \( n \) bolas blancas de la urna \( j \), que presenta una distribución binomial que depende de \( j \).
En concreto, si tomamos la urna \( j \) la probabilidad de sacar una blanca es \( p_j=\dfrac{j-1}{N} \) y por tanto:
\( \Pr[X_N=n|U=j]=p_j^n=\dfrac{(j-1)^n}{N^n} \)
Por tanto:
\( \Pr[X_N=n]=\dfrac{1}{N+1}\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}{}\dfrac{(j-1)^n}{N^n}=\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^n}{N^n(N+1)} \)
Al resolver (1) te quedará una fórmula que depende de \( n \) y \( N \), donde sólo tienes que tomar el límite al infinito en \( N \) para contestar la parte a).
Hay que hallar:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^n}{N^n(N+1)} \)
Por
Stolz, equivale a:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{(N+1)^n}{(N+1)^n(N+2)-N^n(N+1)} \)
Es el límite cuando la variable tiende a infinito del cociente dos polinomios de grado \( n \) (en el denominador los términos de grado \( n+1 \) se anulan); por tanto el límite es el cociente de sus términos de grado \( n \). El del numerador claramente es \( 1 \). El del denominador:
\( (N^n+nN^{n-1}+\ldots)(N+2)-N^{n+1}-N^n=N^{n+1}+nN^n+2N^n+2(n-1)n^{n-1}+\ldots-N^{n-1}+N^{n}=(n+1)N^n+\textsf{términos de menor grado} \)
y así el límite queda \( \dfrac{1}{n+1}. \)
La b) no queda clara si la probabilidad se saca de la misma urna o de una urna al azar. Pero el planteo sería similar al del apartado a) (fórmula de Bayes y/o ley de probabilidad total).
Entiendo que se saca de la misma urna. Sería:
\( \Pr[X_N=n+1|X_N=n]=\dfrac{\Pr(X_N=n+1)}{\Pr(X_N=n)}=\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^{n+1}}{N\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^{n}} \)
El límite a calcular es:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^{n+1}}{N\displaystyle\sum_{j=1}^{N+1}(j-1)^{n}} \)
Aplicando Stolz una vez queda:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{(N+1)^{n+1}}{N(N+1)^n+\displaystyle\sum_{j=1}^{N+2}(j-1)^{n}} \)
y una segunda vez:
\( \displaystyle\lim_{N \to{+}\infty}{}\dfrac{(N+2)^{n+1}-(N+1)^{n+1}}{(N+1)(N+2)^n-N(N+1)^n+(N+2)^n} \)
De nuevo es un límite de cocientes de polinomios de grado \( n \) y resulta el cociente de los coeficientes de mayor grado. Haciendo las cuentas queda \( \dfrac{n+1}{n+2} \)
Saludos.
