Autor Tema: Isomorfismos

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15 Julio, 2020, 06:17 pm
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Pa

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Hola!
Adjunto un ejercicio que no tengo la menor idea de cómo hacerlo.

17. Considere el espacio vectorial \( P_2 \) con la base \( \beta \) dada por:

\( \beta=\{1+x-x^2,2+3x+x^2,-1-5x+x^2\} \)

Establezca un isomorfismo \( f:P_2\to \Bbb R^3 \) por medio de la base \( \beta \).

Existe algún método para determinar el isomorfismo o debo elegir transformaciones al azar y luego verificar si la función es biyectiva?
Tampoco entiendo para que me dan una base en el ejercicio.
Saludos!

Mensaje corregido desde la administración.

15 Julio, 2020, 09:32 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Es conveniente que nuevamente leas las reglas del foro, los enunciados han de digitarse y las fórmulas han de escribirse en LATEX.

Hay un teorema que dice : Existe una y sola una transformación lineal  \( T:V\rightarrow{W} \), donde V y W son espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, tal que \( T(v_1)=w_1, \ T(v_2)=w_2, \ ... \ T(v_n)=w_n \) donde \( \left\{{v_1,v_2,...,v_n}\right\} \) es una base de V y \( w_1,w_2,...,w_n \) son elementos cualesquiera  de W

En este caso \( V=P_2, \ W=R^3 \) las dimensiones serán respectivamente n=3, m=3
Por el teorema, si se considera los elementos de la base \( \beta \) de V y se los relaciona con  elementos de \( R^3 \) como \( w_1,w_2,w_3 \) respectivamente, se tiene que existe una transformación lineal única tal que :

\( T(1+x+x^2)=w_1 \)

\( T(2+3x+x^2)=w_2 \)

\( T(-1-5x+x^2)=w_3 \)

Para que sea un isomorfismo, ha de ser inyectiva y sobreyectiva; para que una transformación lineal sea inyectiva el núcleo ha de ser \( Ker(T)=\left\{{O}\right\}\Rightarrow{dim \ Ker(T)=0} \), luego el teorema de dimensiones para la transformación lineal dice :
\( dim \ V=dim \ Ker(T)+dim \  Im(T)\Rightarrow{dim \  Im(T)=3} \)

Para que esto ocurra \( w_1,w_2,w_3 \) tienen que ser linealmente independientes.

Con esto creo puedes resolver.

Saludos

15 Julio, 2020, 10:04 pm
Respuesta #2

Pa

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Si me sirvió el teorema, ya lo había visto pero no lo había entendido bien.
Y disculpa por no escribirlo en LATEX aún no me acostumbro, trataré de usarlo más a menudo.
Muchas gracias!