Autor Tema: Espacio generado por un conjunto

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27 Junio, 2020, 08:16 pm
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Pa

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Hola,
En un ejercicio me piden determinar si el conjunto S={(2,1,-1),(1,3,2),(1,0,0),(2,-1,0)} genera el espacio \( {R}^3 \)
Adjunto la foto de como lo estaba haciendo, en la última parte no se si esta bien el decir que por tener infinitas soluciones el conjunto S genera a \( R^3 \)

27 Junio, 2020, 09:26 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola,
En un ejercicio me piden determinar si el conjunto S={(2,1,-1),(1,3,2),(1,0,0),(2,-1,0)} genera el espacio \( {R}^3 \)
Adjunto la foto de como lo estaba haciendo, en la última parte no se si esta bien el decir que por tener infinitas soluciones el conjunto S genera a \( R^3 \)

Hola.

La verdad es que no entiendo; ¿cómo usas los escalares “c”, dónde aparecen en la matriz? Ah, sí, ya veo, que no es un sistema, me he despistado.

Básicamente, para ver si generan ese espacio, tienes que comprobar si tres de ellos son linealmente independientes.

Saludos.

27 Junio, 2020, 09:55 pm
Respuesta #2

Pa

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Te entiendo, como tu dices es una forma de solucionarlo.
Pero como yo lo hice no se puede? Es que no se como interpretar la matriz escalonada que me dio.
No lo hice verificando si 3 de ellos son linealmente independientes porque puede ocurrir que elija 3 vectores linealmente dependientes y así podría perder más tiempo¿no?

27 Junio, 2020, 10:34 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola

Sí, lo genera. Lo genera por el hecho que \( \forall{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix}}\in{R^3} \) siempre existe una combinación lineal de los elementos , que es igual al vector \( \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{pmatrix} \), no es necesario que sean infinitas, basta que exista una.

Lo que propone feriva es totalmente válido, a veces a ojo se puede ver algunos elementos LI y este es el caso.

Saludos

27 Junio, 2020, 11:07 pm
Respuesta #4

feriva

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No lo hice verificando si 3 de ellos son linealmente independientes porque puede ocurrir que elija 3 vectores linealmente dependientes y así podría perder más tiempo¿no?

Es muy fácil verlo porque tienes el vector (1,0,0) que tiene dos ceros.

Si lo pones en columna...

\( \left(\begin{array}{ccc}
1 & .. & \,..\\
0 & .. & \,..\\
0 & .. & \,..
\end{array}\right)
  \)

ahora sólo tienes que mirar las coordenadas y,z de los otros vectores y encontrar dos vectores tales que el determinante de orden 2 no dé cero; se hace a simple vista, sin escribir.

Saludos.

27 Junio, 2020, 11:37 pm
Respuesta #5

Pa

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Vale, les entendí a ambos.
Intentare utilizar más el método de feriva.
Gracias :)

28 Junio, 2020, 08:46 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Vale, les entendí a ambos.
Intentare utilizar más el método de feriva.

Pero no es lo más óptimo que busques "a ojo" tres vectores independientes.

Pudes usar que la dimensión del espacio que generan es el rango de la matriz que forman los vectores. Entonces en tu caso generan \( \Bbb R^3 \) si y sólo si la matriz:

\( \begin{pmatrix}2&1&-1\\1&3&2\\1&0&0\\2&-1&0\\\end{pmatrix} \)

tiene rango tres.

La forma estandar de comprobar ese rango es escalonando la matriz.

Saludos.

P.D. Lo anterior es equivalente a comprobar que el sistema que tu planteabas es siempre compatible.

28 Junio, 2020, 09:25 am
Respuesta #7

feriva

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Vale, les entendí a ambos.
Intentare utilizar más el método de feriva.
Gracias :)

Bueno, no siempre será fácil, ya lo han dicho Delmar y Luis; habrá casos en los que será sencillo verlo sin más y otros no.

Saludos.