Autor Tema: Dimensión de un espacio

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26 Junio, 2020, 05:24 pm
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Pa

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Hola
Estaba viendo un ejemplo en el cual mostraban que la dimensión de las matrices de tamaño mxn es mn .
Pero después, en otro ejemplo dicen que para las matrices de orden n que tienen traza igual a cero la dimensión es \( n^2-1 \)
(Traza es la suma de los elementos de la diagonal)
Mi pregunta es porque para estas matrices la dimensión no es \( n^2 \), si son un caso particular de las matrices de tamaño mxn.

26 Junio, 2020, 06:07 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola
Estaba viendo un ejemplo en el cual mostraban que la dimensión de las matrices de tamaño mxn es mn .
Pero después, en otro ejemplo dicen que para las matrices de orden n que tienen traza igual a cero la dimensión es \( n^2-1 \)
(Traza es la suma de los elementos de la diagonal)
Mi pregunta es porque para estas matrices la dimensión no es \( n^2 \), si son un caso particular de las matrices de tamaño mxn.

Primero observa que es un subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^{n\times n} \) ya que la combinación lineal de matrices \( n\times n \) con traza nula produce otra matriz de traza nula, y sin embargo sabemos que no toda matriz \( n\times n \) tiene traza nula, por eso debe ser un subespacio propio con dimensión menor a \( n^2 \), ya que de otro modo tendría la misma dimensión que \( \mathbb{R}^{n\times n} \) y estaría contenida en \( \mathbb{R}^{n\times n} \), pero de ahí se podría demostrar que sería entonces \( \mathbb{R}^{n\times n} \), lo cual es una contradicción.

Si una matriz tiene traza nula entonces siempre debe darse el caso de que una de las entradas de la diagonal esté en función de las otras entradas diagonales, por ejemplo siempre debe darse el caso de que \( a_{n,n}=-\sum_{k=1}^{n-1}a_{j,j} \), y eso es por lo que tiene una dimensión menos: puedes elegir libremente cualquier entrada de una matriz de traza nula exceptuando una entrada en la diagonal que debe estar en función de las otras.

O dicho de otro modo: el subespacio de matrices de traza nula viene determinado por combinaciones lineales de la base ortogonal definida por las matrices \( A_{j,k} \) con \( j,k\in\{1,\ldots,n\} \) exceptuando la matriz \( A_{n,n} \), y donde \( [A_{j,k}]_{h,l}=1 \) si y solo si \( (j,k)=(h,l) \) y en cualquier otro caso \( [A_{j,k}]_{h,l}=0 \) (la notación \( [A]_{h,l} \) se refiere al coeficiente en posición \( (h,l) \) de la matriz \( A \)).

26 Junio, 2020, 07:31 pm
Respuesta #2

Pa

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Vale, muchas gracias.
Lo intentare procesar  :laugh: