Autor Tema: Independencia lineal

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20 Junio, 2020, 04:06 pm
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Pa

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Hola
En un ejemplo consideran el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas. Y piden determinar si los vectores \( v=e^x, u=\sen x, w=\cos x \) son linealmente independientes.
Lo que hacen es darle valores particulares a x y formar un sistema de ecuaciones 3x3, no me queda claro por qué se puede hacer eso, ¿no debería ser para cualquier x en general?

20 Junio, 2020, 07:02 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

La razón, se encuentra en el significado de independencia lineal :

v,u,w son LI si y solo si existen \( C_1,C_2,C_3 \) constantes únicas tal que \( C_1v+C_2u+C_3w=0, \ \forall{x}\in{R} \)

Al ser válidas para todo x real, han de ser válidas para valores particulares, la validez para cada valor particular implica una condición que han de cumplir las constantes, es como un filtro y en este caso tres filtros serán suficientes, para demostrar que únicamente, \( C_1=0,C_2=0,C_3=0 \) cumplen para todo x. Como  ejemplo de valores particulares se tiene \( 0,\frac{\pi}{2},\frac{-\pi}{2} \)


Saludos

20 Junio, 2020, 07:23 pm
Respuesta #2

Pa

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Aún sigo confundida. :-[
Para probar que cumple para todo \( x \) no sería tomar algo general? Si me dijeran sobre la existencia de algunos \( x \) si tomo los valores particulares ¿no?
Porque puede ser que esos 3 valores particulares de \( x \) si me satisfagan la definición de independencia lineal pero eso no me asegura que exista algún \( x \) para el cual las constantes no son necesariamente cero.

20 Junio, 2020, 07:42 pm
Respuesta #3

delmar

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Es que \( C_1=0,C_2=0,C_3=0 \) cumplen para todo \( x\in{R} \)

Saludos

21 Junio, 2020, 12:56 am
Respuesta #4

Pa

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Vale, ya entendí.
Muchas gracias.

21 Junio, 2020, 09:33 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Para completar la idea, si por el contrario dieses tres valores a \( x \) y llegases a un sistema de tres ecuaciones con solución distinta de la trivial, eso NO llegaría para afirmar que son dependientes; simplemente te indicaría una posible relación de dependencia pero tendrías que ver si es cierta para todo \( x \).

 Fíjate que eso es distinto de lo que plante delmar; porque si da un sistema que tiene como única solución la trivial, se prueba que esa (las constantes nulas) es la únicas posible relación de dependencia y por tanto son independientes.

Saludos.