Autor Tema: Soluciones de un sistema de ecuaciones

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14 Junio, 2020, 04:18 pm
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Pa

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Hola!
Cuando tengo un sistema con más incógnitas que ecuaciones ¿El sistema tiene infinitas soluciones? (En el caso en que alguna ecuación se pueda escribir como combinación lineal de la otra y en el caso que no).

14 Junio, 2020, 05:54 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola!
Cuando tengo un sistema con más incógnitas que ecuaciones ¿El sistema tiene infinitas soluciones? (En el caso en que alguna ecuación se pueda escribir como combinación lineal de la otra y en el caso que no).

Hola.

Puede tener infinitas o ninguna.

Sí; perdona que he leído al revés.

editado


Saludos.

14 Junio, 2020, 06:41 pm
Respuesta #2

Pa

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La única opción es que tenga infinitas?

14 Junio, 2020, 07:01 pm
Respuesta #3

feriva

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La única opción es que tenga infinitas?

Sí, si entiendo bien, por la descripción que haces es compatible indeterminado. Si tuviera tantas ecuaciones como incógnitas, entonces podría ser compatible determinado o incompatible; esto lo ves por el teorema de Rouché-Frobenius.

No, es como dice Geómetracat y como había puesto yo al principio en el tachado.

Saludos.

14 Junio, 2020, 07:07 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Suponiendo que el sistema sea lineal y sobre los reales, o tiene infinitas o ninguna. En sistemas no lineales puede pasar cualquier cosa.

La explicación es que si tienes un sistema lineal de \( n \) ecuaciones con \( m \)  incógnitas y \( m>n \) la matriz de coeficientes \( A \) del sistema tiene como mucho rango \( n \). Ahora, el teorema de Rouché-Frobenius te dice que si el rango de la matriz ampliada no coincide con el de la matriz de coeficientes el sistema es incompatible (luego no hay solución), y si ambos rangos coinciden el espacio de soluciones tiene dimensión \( m-rg(A) \geq n-m >0 \), luego en particular tiene infinitas soluciones.

PD: He visto la respuesta de feriva. El sistema puede ser incompatible aunque tenga más incógnitas que ecuaciones, por ejemplo:
\( x+y +z =0 \)
\( x+y +z=1 \)
es un sistema incompatible.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

14 Junio, 2020, 07:29 pm
Respuesta #5

feriva

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PD: He visto la respuesta de feriva. El sistema puede ser incompatible aunque tenga más incógnitas que ecuaciones, por ejemplo:
\( x+y +z =0 \)
\( x+y +z=1 \)
es un sistema incompatible.

Ah, pues sí; muchas gracias, Geómetracat. Me desdigo de lo que taché entonces; edito.

Saludos.

14 Junio, 2020, 07:42 pm
Respuesta #6

Pa

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Muchas gracias a ambos, pensaba que siempre eran infinitas soluciones pero ya veo que no.