Autor Tema: Idea para una demostración de subespacio

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Junio, 2020, 02:56 pm
Leído 297 veces

Pa

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 20
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola!
Estaba leyendo que todos los subespacios de \( \mathbb{R}^2 \) son de la forma ax+by=0 ( exceptuando el espacio nulo y \( \mathbb{R}^2 \)).
Alguien me podría dar una idea de cómo demostrarlo?

11 Junio, 2020, 03:27 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,344
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( L \subseteq \Bbb R^2 \) un subespacio vectorial. Como \( 0 \leq \dim(L) \leq \dim(\Bbb R^2) = 2 \), o bien \( \dim(L)=0 \) y entonces \( L \) es el espacio nulo, o bien \( \dim(L)=2 \) y entonces \( L= \Bbb R^2 \), o bien \( \dim(L)=1 \).
En este último caso, sea \( L=\langle (a,b) \rangle \). Entonces \( L \) consiste en los vectores múltiplos de \( (a,b) \) es decir, de la forma \( (\lambda a, \lambda b) \) con \( \lambda \in \Bbb R \).
Pero estos son precisamente los vectores \( (x,y) \) que satisfacen la ecuación \( bx-ay=0 \).

Recíprocamente, puedes ver que toda ecuación del tipo \( ax+by=0 \) (con \( a,b \) no ambos cero) es la ecuación de un subespacio vectorial de dimensión \( 1 \). De hecho, \( L=\langle (-b,a) \rangle \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Junio, 2020, 05:36 pm
Respuesta #2

Pa

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 20
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Muchas gracias por responder!
En la primera parte me confundí, entiendo que esos vectores satisfacen la ecuación bx-ay=0 pero porque se toma exactamente esa ecuación? No podrían existir otras ecuaciones (cuadráticas por ejemplo) que también se satisfacen tomando estos mismos vectores?

11 Junio, 2020, 05:53 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
  • Administrador
  • Mensajes: 11,413
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
    • Fernando Revilla
No podrían existir otras ecuaciones (cuadráticas por ejemplo) que también se satisfacen tomando estos mismos vectores?

Lo que te piden es demostrar que todo subespacio de \( \mathbb{R}^2 \) de dimensión \( 1 \) de puede expresar como soluciones de la ecuación \( ax+by=0 \). Bien, esto no descarta que se puedan expresar de otra forma. Por ejemplo la ecuación \( ax^2+2abxy+b^2y^2=0 \) es equivalente a \( (ax+by)^2=0 \) que a su vez es equivalente a \( ax+by=0 \).

Nota. Las equivalencias entre las ecuaciones escritas son en cuanto al conjunto de las soluciones, no en cuanto a su multiplicidad algebraica.


11 Junio, 2020, 06:00 pm
Respuesta #4

Pa

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 20
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Entiendo. Muchísimas gracias! :)