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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por franma en Hoy a las 02:35 am »
Buenas,

El método que has aplicado esta correcto; pero la solución del sistema de ecuaciones :

\( 9x+y-7=0 \)

\( -x-33y+11=0 \)

Es incorrecto revisa.

Saludos

\( 9x+y-7=0 \)
\( \displaystyle  9(\frac{55}{74})+\frac{23}{74}-7= \frac{518}{74} - 7 = \frac{518}{74} - \frac{518}{74} = 0 \)

\( -x-33y+11=0 \)
\( \displaystyle -(\frac{55}{74})-33(\frac{23}{74})+11= -\frac{55}{74} - \frac{759}{74} + 11 = -\frac{814}{74} + 11 = -\frac{814}{74} + \frac{814}{74}=0 \)

Creo que mi solución es correcta.

Saludos.
2
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Centro de masa.
« Último mensaje por franma en Hoy a las 02:28 am »
Buenas,

No se asusten por el nombre  >:D es sobre centro de masa pero con un enfoque geométrico.
El enunciado dice lo siguiente:
Si se tienen \( n \) partículas puntuales de masas \( m_i \) ubicadas en los puntos \( P_i \) el centro de masa se puede definir como:

\( \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_iP_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}} \)

Probar que:
a) El centro de masa de dos puntos esta en el segmento de recta por ellos.
b) Si n puntos están en una recta el centro de masa también esta en esa recta.
c) El centro de masa de tres puntos del plano esta en el triangulo que tiene estos puntos como vértices.

(a) La verdad no se bien por donde comenzar, se me ocurre al menos que al estar ponderando las posiciones por la masa del objeto y dividendo entre la masa total (al fin y al cabo solo se multiplican escalares por vectores colineales) así el centro de masa debe al menos estar en la recta que une ambos cuerpos. No sabría como acotar esto al segmento.

Para las otras partes estoy aun mas perdido.

Este ejercicio tengo ganas de terminarlo yo (así practico mas mi geometría  :laugh: :laugh:) así que por favor dadme consejos o ideas pero no la solución.

Saludos,
Franco.
3
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 02:26 am »
El método que has aplicado esta correcto; pero la solución del sistema de ecuaciones :

\( 9x+y-7=0 \)

\( -x-33y+11=0 \)

Es incorrecto revisa.

Saludos
4
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por franma en Hoy a las 01:38 am »
Buenas Delmar,

De mientras lo resolví con un método parecido, explico aquí mi solución:

\( r=(4,5,-2) + \lambda(-4,4,1) \)
\( s=(2,5,1) + \mu(2,2,-1) \)

Digamos que la distancia \( ||r(\lambda) - s(\mu)|| \) se minimiza en \( r(\lambda) =r(y) , s(\mu)=s(x) \) la recta \( r(y)s(x) \) es perpendicular a los vectores directores de r y s por lo tanto su vector director también , un posible vector director \( \vec{s(x)r(y)} \).

De aquí obtengo 2 ecuaciones.
\( \langle(s(x) - r(y)),\vec{V_s} \rangle = 0 \)
\( \langle(s(x) - r(y)),\vec{V_r} \rangle = 0 \)

Expandiendo \( (s(x) - r(y)) \):
\( (2+2x,5+2x,1-x)-(4-4y,5+4y,-2+y) = (-2+2x+4y,2x-4y,3-x-y) \)

Ahora hago los 2 productos internos:
1: \( \langle(-2+2x+4y,2x-4y,3-x-y),(2,2,-1)\rangle = 9x+y-7 \)
2: \( \langle(-2+2x+4y,2x-4y,3-x-y),(-4,4,1)\rangle = -x-33y+11 \)

Armo y resuelvo mi sistema de 2x2:
\( 9x+y-7 = 0 \)
\( -x-33y+11 = 0 \)

\( x=\frac{55}{74}, y=\frac{23}{74} \)

Remplazo x en \( s(\lambda) \) y y en \( r(\mu) \) obtengo los siguientes puntos:
\( A=(\frac{129}{37},\frac{240}{37},\frac{19}{74}) \)
\( B=(\frac{102}{37},\frac{231}{37},\frac{-125}{74}) \)

Armo la recta con los 2 puntos:
\( \vec{AB} = B-A=(\frac{102}{37},\frac{231}{37},\frac{-125}{74}) - (\frac{129}{37},\frac{240}{37},\frac{19}{74}) = (\frac{-27}{37},\frac{-9}{37},\frac{-144}{74}) \)

Finalmente la recta buscada es \( (x,y,z)= (\frac{129}{37},\frac{240}{37},\frac{19}{74}) + \delta (-54,-18,-144)
 \)

No se si mi método es fatal o el ejercicio era engorroso, de todos modos MUCHAS GRACIAS a todos los que me ayudaron.

Saludos,
Franco.
5
Topología (general) / Re: Sea X, un espacio métrico demuestre que si....
« Último mensaje por angelabayona en Hoy a las 01:02 am »
 para convertir la secuencia en una subsecuencia completamente contenida en \(  A  \) o \( B  \). sea \(  (x_n) _ {n \in{}N}  \) una secuencia de Cauchy en \(  A \cup B  \). Entonces debe existir una subsecuencia \(  (x_ {n_k}) _ {k \in{}N} \) que esté completamente dentro de \(  A  \) o completamente dentro de \(  B  \) (ya que si no, entonces tanto \(  A  \) como \(  B \) contendría un número finito de términos en la secuencia, lo que significa que también \(  A \cup B  \) lo haría, lo cual es una contradicción).

si suponemos  que nuestra subsecuencia \(  (x_ {n_k}) _ {k \in{}  N}  \) está contenida en \( A  \). Dado que \(  A  \) está completo, y una subsecuencia de una secuencia de Cauchy sigue siendo Cauchy, \(  x_ {n_k} \ a x   \) para algunos \(  x \ en A  \). Sin embargo una secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente es en sí misma convergente con el mismo límite  Por lo tanto, \(  x_n \ ax  \) para \(  x \ en A \cup B  \), lo que significa que \(  A \cup B  \) está completo. es correcto? esta bien demostrado?
6
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por delmar en Hoy a las 12:31 am »
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Sean las rectas r y s definidas:

r:\begin{cases}{x = 4 − 4\lambda}\\y=5+4\lambda\\z=-2+\lambda\end{cases}

s:\begin{cases}{x=2+2\lambda}\\y=5+2\lambda\\z=1-\lambda\end{cases}

a) Encontrar la normal común a ambas rectas.
b) Calcular la distancia entre ambas rectas, y hallar puntos P y Q en r y s respectivamente, tales que
la distancia entre P y Q sea igual a la distancia entre r y s.

Lo único que se hacer de este ejercicio es calcular la distancia entre ambas rectas.

Se ve a primera instancia que las rectas no son paralelas así que calculare la distancia con la formula para 2 rectas no colineales.
Tomo un punto de s y uno de r:
\( P_r=(4,5,-2) \)
\( P_s=(2,5,1) \)

\( \vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (2,5,1) - (4,5,-2) = (-2,0,3) \)

Ahora hago el producto vectorial de sus vectores directores:

\( \vec{V_r} \)x\( \vec{V_s}=\begin{vmatrix}{i}&{j}&{k}\\{-4}&{4}&{1}\\{2}&{2}&{-1}\end{vmatrix}=(-6,-2,-16) \) Por simplicidad llamémosle \( v \).

\( \displaystyle d(r,s)=\frac{|\langle \vec{P_rP_s},v \rangle|}{||v||} = \frac{36}{\sqrt{296}} \)

Se me ocurre tal vez para encontrar puntos en ambas rectas que disten eso sustituir en la formula para distancia entre 2 puntos las ecuaciones paramétricas de r y s e intentar despejar lambda y mu pero no se si funcione.

Cualquier ayuda es bienvenida.

\( \color{red}{\text{Agrego:}} \)
Para el apartado (a) ¿bastaría con hacer el producto vectorial entre sus vectores directores? Ya que obtengo un vector perpendicular a ambas rectas. Si ese es el caso el resultado es el que utilice para el calculo de distancia \( v=(-6,-2,-16) \)

Saludos,
Franco.

Hola

Para el apartado a es correcto lo que supones, luego un vector normal a ambas rectas es (-6,-2,-16) luego para hallar los puntos P y Q en r y s respectivamente, considera  la recta normal a ambas rectas, que pasa por un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) de la recta s denominando \( p_0 \) a esta recta, se tiene que para que el  punto \( (x_0,y_0,z_0) \) sea Q, la recta \( p_0 \) ha de cortar necesariamente a la recta r (el punto de corte será P) esas propiedades equivalen a :

Recta normal a ambas rectas (recta \( p_0 \)) que pasa por un punto \( (x_0,y_0,z_0)\in{s} \) es \( p_0: \ (x,y,z)=(2+2\lambda_0,5+2\lambda_0,1-\lambda_0)+\mu(-6,-2,-16)\Rightarrow{(x,y,z)=(2+2\lambda_0-6 \mu,5+2\lambda_0-2 \mu,1-\lambda_0-16 \mu)} \) hay un parámetro \( \mu \)

Si corta a la recta r se tiene que se cumplirá :

\( 2+2\lambda_0-6 \mu=4-4\alpha \)

\( 5+2\lambda_0-2 \mu=5+4\alpha \)

\( 1-\lambda_0-16 \mu=-2+\alpha \)

\( \alpha \) es un paramétro, 3 ecuaciones 3 incógnitas se puede resolver

\( \lambda_0 \) se corresponde con el punto \( Q=(2+2\lambda_0,5+2\lambda_0,1-\lambda_0) \) y el punto \( P=(2+2\lambda_0-6 \mu,5+2\lambda_0-2 \mu,1-\lambda_0-16 \mu) \)

Obvio que la longitud de PQ es la distancia entre las dos rectas.

Saludos
7
- Otros - / Re: Ejercicio sobre interés
« Último mensaje por mifg en Hoy a las 12:23 am »
Esto realice:

a) i = 8% anual
    i = 8/4 = 2% (trimestral)
    A= 25000
    n = 10

F = A/i *[(1+i)^n -1]
F = 25000/0,02 [(1+0,02)^10-1]
F = $273743,025

b) i = 8% anual
    i = 8/12 = 0,66% (mensual)
    A= 40000
    n = 6

P = 40000(1+0,0066)^-1 + 40000(1+0,0066)^-2 + 40000(1+0,0066)^-3 + 40000(1+0,0066)^-4 + 40000(1+0,0066)^-5 + 40000(1+0,0066)^-6
P = 234552,14432
8
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por feriva en Ayer a las 11:59 pm »
No tengo claro como calcular esos puntos de corte.



Gracias y saludos,
Franco.

Con los puntos genéricos que te dan las paramétricas, punto menos punto igual coordenada de vector (que las tienes) de ésas ecuaciones te tiene que salir; sino, mañana te lo hago o ya te lo hace alguien que pase, que aquí es tarde ya.
Saludos.

Saludos.
9
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por franma en Ayer a las 11:52 pm »

Gracias por la respuesta feriva, es que estas rectas no se cortan y se como encontrar esos puntos que piden (uno en cada recta y que disten lo mismo que las rectas).

Saludos,
Franco.

Pues entonces cualquiera de los puntos donde se cruzan, es decir, donde la normal las interseca.

Saludos.

Te adjunto una imagen de las rectas (en colores) y el resultado de su producto vectorial (en negro), ¿Debería ser algo como mover ese producto vectorial sobre una recta hasta que este interseque a la otra? No tengo claro como calcular esos puntos de corte.



Gracias y saludos,
Franco.
10
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Recta normal común a 2 rectas
« Último mensaje por feriva en Ayer a las 11:48 pm »

Gracias por la respuesta feriva, es que estas rectas no se cortan y se como encontrar esos puntos que piden (uno en cada recta y que disten lo mismo que las rectas).

Saludos,
Franco.

Pues entonces cualquiera de los puntos donde se cruzan, es decir, donde la normal las interseca.

Saludos.
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