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Geometría y Topología / Re: Convergencia en espacios métricos
« en: Ayer a las 08:17 pm »
Hola:
Saludos
Yo no veo matiz alguno: a través del límite \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) (límite en \( \mathbb{R} \), sí) se define lo que significa la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) en el contexto de espacios métricos.Me refiero a que la expresión \( \{x_n\}\to a \) expresa que la sucesión \( \{x_n\}\subset X \) converge a \( a \) en el espacio métrico \( (X,d) \), es decir, \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( d(x_n,a)<\varepsilon \), lo cual, dado que la distancia es no negativa, equivale a \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) se cumple \( |d(x_n,a)|<\varepsilon \), es decir que la sucesión \( \{d(x_n,a)\}\subset\mathbb{R} \) converge a \( 0 \) en \( (\mathbb{R},\tau_u) \)
Eso es como si me dijeras que hay un matiz entre decir que \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \), para \( B \) un espacio de Banach separable, y decir que \( \int_{\mathbb{R}}\|f(x)\|\,d x<\infty \). Esto último es un límite real también (si nos ceñimos a la definición de integral de Lebesgue) y sin embargo \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \) es una relación de pertenencia.
Saludos