En este caso lo que sucede es que \[ Rp \notin P(W) \]. Por su definición tienes que \[ Rp\subseteq P(W) \], luego \[ Rp \in P(P(W)) \], pero no hay manera posible de concluir que \[ Rp \in P(W) \].
Por ejemplo, si asumes el axioma de regularidad, que implica que ningún conjunto se pertenece sí mismo, tendrías que \[ Rp=P(W) \]. Pero \[ P(W) \notin P(W) \].
Creo que es difícil encontrar paradojas en ZFC o en NBG que sean tan sencillas de reproducir. Si fuera así de fácil a estas alturas ya se conocerían.
Estimado geómetracat, muchas gracias por tus respuestas.
El objetivo no es simplemente "encontrarle defectos" a un sistema famoso, sino explorar sus límites, para construir un sistema alternativo, basado en principios constructivistas/intuicionistas. Aunque están invisibilizadas en los ambientes académicos, estas corrientes subsisten. Adjunto un artículo sobre el tema.
En cuanto a la sencillez, el recurso planteado por von Neuman y Zermelo contra las contradicciones es aún más sencillo que las objeciones que propongo, tal vez demasiado sencillo: sólo agrega un conjunto "cortafuegos", sin evitar el círculo vicioso cuando x=y, y haciendo caso omiso a las objeciones del intuicionismo a las excepciones al tercio excluso .
Propongo que por un momento consideremos un sistema en el que no vale el axioma de regularidad.
Entonces, supongamos que tenemos el siguiente conjunto:
\( W=\{ a, b, c \} \)
No automiembros:
\( W' = \{ a, b\} \)
\( P(W)=\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\} \} \)
\( Vv=W \cup P(W) \)
\( Vv=\{ a, b, c, \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}\} \)
\( Vu=Vv \cup P(Vv) \)
Instancia del axioma de especificación, con Rp en \( y \) y la fórmula de Russell:
\( \forall{x} [ x \in Rp \Longleftrightarrow{} x \in Vu \wedge x \notin x ] \)
Si instanciamos x con Rp
\( Rp \in Rp \Longrightarrow{} Rp \in Vu \wedge Rp \notin Rp \)
\( Rp \) puede ser igual a
\( Rp=W'=\{ a, b \} \),
o bien
\( Rp=\{ a, b, \{ a, b \} \}=\{ a, b, Rp \} \)
...pero en cualquier caso \( Rp \in Vu \).
\( Rp \in Rp \Longrightarrow{} Rp \notin Rp \)
Si suponemos que \( Rp \notin Rp \) :
\( Rp \in Vv \wedge Rp \notin Rp \Longrightarrow{} Rp \in Rp \)
\( Rp \notin Rp \Longrightarrow{} Rp \in Rp \)
\( Rp \in Rp \Longleftrightarrow{} Rp \notin Rp \)
Puedes encontrar interpretaciones reales de esto sin ir a las galaxias externas: en informática comercial se plantea todos los días, cuando quieres construir una carpeta que contenga todas las carpetas contenidas en otra que no tengan un enlace hacia sí mismas. Frecuentemente pasa que el programa que intenta construirla entra en círculos sin salida, porque el sistema crea la nueva carpeta en la misma carpeta que aquellas que está examinando. La gente de informática comercial no le presta atención a la teoría de conjuntos, pero es la concreción práctica de la paradoja de Russell en el sistema de Frege. Las modificaciones de Zermelo y von Neumann serían considerar sólo las carpetas que estén en un segundo nivel de pertenencia, pero esto no soluciona el problema real, porque eso de "R es una clase propia" no tiene una traducción eficaz en la vida práctica. Sería como "dar una excusa" para explicar por qué el programa entra en círculos, pero ninguna solución.
La gente de informática lo soluciona con facilidad: crea la nueva carpeta fuera del alcance de la parte del programa que busca subcarpetas. Esa sería la solución de Russell con su teoría de tipos.
Pero Zermelo se negaba a aceptar el principio del círculo vicioso de Russell y Poincaré. Tampoco aceptaba las críticas de Brouwer para restringir (no eliminar) la ley del tercio excluso. Tanto él como Hilbert decían que era como matar a las matemáticas superiores. Creo que sentían que les cortaban las alas. Pero si la TC ha de ser útil, ya hay que separar los campos, y para ello hay que ver qué queda de las teorías de alto vuelo en alguna que sirva a la industria.
