Siguiendo con el vacío, se puede preguntar si para un conjunto ordenado \( E \) con orden \( \le \) existen \( \inf \emptyset \) y \( \sup \emptyset \) pues al contrario que con el máximo y mínimo, el ínfimo y el supremo de un conjunto no necesariamente han de pertenecer al conjunto.
Para todo \( a\in E \), las implicaciones \( x\in\emptyset\Rightarrow x\le a \) y \( x\in\emptyset\Rightarrow a\le x \) son ciertas (antecedente falso) por tanto todo elemento de \( E \) es a la vez cota inferior y superior de \( \emptyset \) (como ya comentó Carlos). Por tanto, \( \inf \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \max E \), siendo \( \inf \emptyset =\max E \) y \( \sup \emptyset \) existe sí y sólo si existe \( \min E \), siendo \( \sup \emptyset =\min E \).
Por ejemplo en \( \mathbb{R} \) con el orden usual, no existe ni \( \inf \emptyset \) ni \( \sup \emptyset \) pero en \( \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) con el orden usual, tenemos \( \inf \emptyset=+\infty \) y \( \sup \emptyset=-\infty \). Aquí se da la aparente paradoja de que el ínfimo de un conjunto es mayor que su supremo, pero ya sabemos como se las gasta el conjunto vacío
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