[Hauss]

Hola, estoy aprendiendo recién sobre ordenes en teoría de conjuntos y he encontrado un ejercicio que dice lo siguiente:

“Pruebe por medio de un ejemplo que si \( (P,\leq) \) y \( (Q,\leq) \) son conjuntos parcialmente ordenados y \( f:P\rightarrow Q \) es una biyección que preserva el orden, entonces \( f^{-1}:Q\rightarrow P \) no necesariamente preserva el orden.”

Este problema me ha causado conflicto porque me parece que la primera es la definición de un isomorfismo de orden y entonces por ende también su inversa seria un isomorfismo, pero no estoy muy seguro.

Espero me puedan ayudar con esto, gracias.

[geómetracat]

Que una aplicación biyectiva que preserva orden es un isomorfismo de órdenes es cierto para órdenes totales, pero no para órdenes parciales.

Intenta pensar a ver si se te ocurre un contraejemplo (los hay bastante sencillos, por ejemplo con órdenes de 3 elementos). Si no se te ocurre dilo y te pongo uno.

[Hauss]

Muchas gracias por ese dato, no sabía que eso sólo funcionaba con órdenes totales. Si he pensado en el contraejemplo, poniendo un elemento que no sea comparable, pero no logro culminarlo, te agradecería si me pudieras dar uno.

Gracias, saludos.

[geómetracat]

Considera como \( P \) el orden parcial de tres elementos \( P=\{0,a,b\} \) con \( 0 \leq a \), \( 0 \leq b \), de manera que \( a,b \) son incomparables. El diagrama de Hasse de este orden es una V con el 0 en el vértice inferior.
Como \( Q \) toma el orden total de tres elementos, pongamos \( Q=\{1,2,3\} \) con \( 1 \leq 2 \leq 3 \).

Entonces la aplicación \( f:P\to Q \) dada por \( f(0)=1,f(a)=2,f(b)=3 \) es una aplicación biyectiva que preserva el orden pero su inversa no preserva el orden, luego no es isomorfismo. Te dejo que lo compruebes.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sólo una observación... si es por simplicidad, incluso bastan dos elementos. \( P=\{a,b\} \) dos elementos incomparables y \( Q=\{1,2\} \) con \( 1\leq 2 \).

Saludos.

[geómetracat]

Hola

 Sólo una observación... si es por simplicidad, incluso bastan dos elementos. \( P=\{a,b\} \) dos elementos incomparables y \( Q=\{1,2\} \) con \( 1\leq 2 \).

Saludos.

Pues sí, más sencillo todavía. Lo primero que se me ocurrió fue el ejemplo que puse y ni me paré a pensar si había algo más simple.

[Hauss]

Muchas gracias geómetracat, ya he comprobado lo de su inversa. De igual forma gracias Luis por la observación