Autor Tema: Función entre conjuntos

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03 Diciembre, 2020, 03:43 am
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Mr Picudo

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Buen día, estoy estudiando un ejercicio que dice:

Sea $$X = \left\{{1,2,...,10}\right\}.$$ Encuentra una función $$f: X \longrightarrow{} X$$ que simultáneamente safisfaga las siguientes condiciones:
$$ 1) f^{-1} [\left\{{1,2,3}\right\}] = \emptyset \\ 2) f^{-1} [\left\{{4,5}\right\}] = \left\{{1,3,7}\right\} \\ 3) f^{-1} [\left\{{8,10}\right\}] = \left\{{8,10}\right\}$$

Estoy tratando de resolverlo a partir de la definición de función inversa, sea $$f: A \longrightarrow{} B \quad f^{-1}(B_1) = \left\{{x\in{}A: \quad f(x) \in{} B_1}\right\} $$ con $$B_1 \subseteq{} B$$

Lo que se me ocurrió es definir la función a trozos, pero siento que estoy mal, pues simplemente pongo:

f(x)=\begin{cases}{\left\{{1,2,3}\right\}}&\text{si}& x = \emptyset\\ \left\{{4,5}\right\} & \text{si}& x = \left\{{1,3,7}\right\}\\\left\{{8,10}\right\} & \text{si}& x = \left\{{8,10}\right\}\end{cases}

¿Cómo definirían ésta función?
Agradezco de antemano su atención :)

03 Diciembre, 2020, 08:25 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Sea $$X = \left\{{1,2,...,10}\right\}.$$ Encuentra una función $$f: X \longrightarrow{} X$$ que simultáneamente safisfaga las siguientes condiciones:
$$ 1) f^{-1} [\left\{{1,2,3}\right\}] = \emptyset \\ 2) f^{-1} [\left\{{4,5}\right\}] = \left\{{1,3,7}\right\} \\ 3) f^{-1} [\left\{{8,10}\right\}] = \left\{{8,10}\right\}$$

Verifica que la siguiente función \( f:X\to X \) satisface las condiciones dadas,

        \( \begin{aligned}
&f(1)=4\\
& f(2)=9\\
& f(3)=4\\
& f(4)=9\\
&f(5)=9\\
&f(6)=6\\
& f(7)=5\\
& f(8)=8\\
& f(9)=9\\
&f(10)=10.
\end{aligned} \)