Autor Tema: Si un conjunto tiene dos minimales distintos entonces no tiene mínimo.

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01 Diciembre, 2020, 08:19 pm
Respuesta #10

Carlos Ivorra

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Este paso no es por la propiedad antisimétrica, sino por la definición de minimal, o sea que esas palabras sobran, ¿no?

Cierto. Disculpa que lo pasara por alto.

01 Diciembre, 2020, 08:27 pm
Respuesta #11

w a y s

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Este paso no es por la propiedad antisimétrica, sino por la definición de minimal, o sea que esas palabras sobran, ¿no?

Cierto. Disculpa que lo pasara por alto.

No te preocupes, ha sido culpa mía por no prestar la suficiente atención al escribirlo.

A partir de esto se me plantea otra duda, si yo escribo la demostración así:

Supongamos que $$A$$ tiene dos minimales distintos $$m_1$$ y $$m_2$$ y supongamos que además tiene un mínimo $$m$$.Por ser $$m_1$$ y $$m_2$$ minimales y puesto que $$m\in A$$ por ser mínimo, se tiene que $$m_1Rm$$ y $$m_2Rm$$. Por ser $$m$$ mínimo se tiene que $$m$$ es cota inferior de $$A$$, luego $$mRm_1$$ y $$mRm_2$$ y puesto que $$m_1$$ y $$m_2$$ son minimales no puede ser que $$m$$ sea anterior a $$m_1$$ y a $$m_2$$ estrictamente, luego por la propiedad antisimétrica se tiene que $$m=m_1$$ y $$m=m_2$$ de lo que se deduce que $$m_1=m_2$$, en contradicción con la hipótesis.

¿Estaría mal? Si está mal ¿es la deducción en rojo la que falla? Me quiere parecer que sí porque no sé si puedo deducir eso de la definición de minimal.

01 Diciembre, 2020, 08:32 pm
Respuesta #12

Carlos Ivorra

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En efecto, la frase en rojo es incorrecta. Un minimal no tiene por qué ser menor que un elemento dado del conjunto. Eso significaría que es mínimo. Piensa por ejemplo en la relación "divide a" sobre el conjunto \( \{2, 3, 6, 9\} \). Tienes dos minimales, y no es cierto que el minimal \( 2 \) sea menor que todos los elementos del conjunto. No es menor que \( 3 \) ni que \( 9 \).

01 Diciembre, 2020, 08:33 pm
Respuesta #13

w a y s

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Ahora ya lo tengo claro del todo. Muchas gracias por tu ayuda Carlos.

Saludos. ;D