Último Teorema de Fermat
Una demostración algebraica
Enunciado:
Si \( n \) es un número positivo mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos \( x, y, z \), tales que se cumpla la igualdad:
\( x^n + y^n = z^n \)
Para demostrarlo, se utilizará el método por Contraejemplo y se reformulará el enunciado anterior además se ampliará a los racionales, puesto que todo número racional es el cociente de dos números enteros. Tenemos entonces el siguiente enunciado:
Enunciado:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad:
(REF.01)
\( a^n + b^n = c^n \)
Consideremos las siguientes condiciones:
1. \( \mathbb{N}\subseteq n \)
2. \( a<b<c \)
3. \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \)
De las condiciones anteriores, podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene los siguientes rangos y dominios:
Puesto que \( n \) contienen a todos los naturales, tiene su dominio en los enteros positivos, entonces:
\( n=1,\ \ldots,\ +\infty \)
Ya que \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \) y estos son positivos, además están restringidos según Condición 3, entonces:
\( a=\ \frac{u}{v};\ \left\{u,\ v\right\}\in\mathbb{N};u\geq1,\ v\geq1,\ por\ tanto:\ \frac{u}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( b=a+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( c=b+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)
Podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene las siguientes propiedades:
1. Conmutativa:Consideremos la expresión \( w_0^{n_1n_2} \) donde \( w_0\in\mathbb{Q} \); por las propiedades de los exponentes podemos reescribirla como \( \left(w_0^{n_1}\ \right)^{n_2} \) o como \( \left(w_0^{n_2}\ \right)^{n_1} \).
Considerando la expresión de (REF.01), podemos reescribirla utilizando la propiedad de los exponentes descrita anteriormente:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)
Donde \( k\in\mathbb{N} \)
2. Terna de Unidad: Si la expresión de (REF.01) es dividida entre \( c^n \) obtenemos:
(REF.02)
\( 1=\ \left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n \) es equivalente a \( 1=\ P^n+\ Q^n \)
Donde \( P,\ Q\in\mathbb{Q} \)
3. Pertenencia:Para \( n=1 \), tenemos el caso: \( a+b=c \).
Tomando en cuenta el dominio de (REF.01) habrá valores tales que:
\( a=\ a_1^n \)
\( b=\ b_1^n \)
\( c=\ c_1^n \)
donde \( a_1,\ b_1,\ c_1\in\mathbb{Q} \), tenemos entonces:
\( a_1^n+\ b_1^n=\ c_1^n \)
De modo que para el caso \( n=1 \), este contendrá las soluciones racionales \( a,\ b,\ c \) para cualquier \( n>1 \).
\( \left(soluciones\ a,b,c\ para\ n>1\right)\subseteq\left(soluciones\ a,b,c\ para\ n=1\right) \)
Con las propiedades descritas anteriormente, podemos establecer ciertos principios que cumple la expresión de (REF.01).
1. Relación de estructura:Reescribiendo la expresión de (REF.01) de acuerdo a la Propiedad Conmutativa:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)
Podemos establecer que:
\( (a^{n/k})^k=A_0^k \)
\( (b^{n/k})^k=A_1^k \)
\( (c^{n/k})^k=A_2^k \)
Por tanto:
(REF.03)
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Sucede algo interesante, supóngase que encontremos una forma de generar racionales para el exponente \( k \) de acuerdo a la expresión de (REF.03) se sigue entonces que la expresión de (REF.01) es igual a (REF.03), por tanto:
(REF.04)
\begin{pmatrix}{(a^{n/k})^k=A_0^k}\\{(b^{n/k})^k=A_1^k}\\{(c^{n/k})^k=A_2^k}\end{pmatrix} Despejamos las expresiones \( a, b, c \) del lado izquierdo y tenemos: \begin{pmatrix}{a=\sqrt[ n]{A_0^k}}\\{b=\sqrt[ n]{A_1^k}}\\{c=\sqrt[ n]{A_2^k}}\end{pmatrix}
Esto nos demuestra dos cosas:
1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).
Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Para lo cual tenemos dos casos:
CASO 1: \( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
CASO 2:\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:
\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)
Podemos establecer:
\( 9 + 16 = 25 \)
Por lo cual:
\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)
Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como
irracionales especiales.
Obsérvese en (REF.03) que esta es generada por los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) y que la expresión de (REF.01) para todo \( n \) tiene racionales positivos \( a,\ b,\ c \), por tanto \( A_0^k,\ A_1^k,\ A_2^k \) deben pertenecer a los racionales.
2. Conjunto de ternas de unidad:Consideremos \( a^n + b^n = c^n \); por la Propiedad Conmutativa podemos reescribirla:
\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
Podemos establecer:
\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_1}{A_3}\right)^k+\left(\frac{A_2}{A_3}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_1^k+\ Q_1^k \)
Si \( n=s;s\in\mathbb{N} \):
\( (a^{s/k})^k \) + \( (b^{s/k})^k \) = \( (c^{s/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
Podemos establecer:
\( A_3^k\ \ \ +\ \ \ A_4^k\ \ \ =\ \ \ A_5^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_3,\ A_4,\ A_5 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_3}{A_5}\right)^k+\left(\frac{A_4}{A_5}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_2^k+\ Q_2^k \)
Si \( n=s+1;s\in\mathbb{N} \):
\( (a^{s+1/k})^k \) + \( (b^{s+1/k})^k \) = \( (c^{s+1/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)
Podemos establecer:
\( A_6^k\ \ \ +\ \ \ A_7^k\ \ \ =\ \ \ A_8^k \)
Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_6,\ A_7,\ A_8 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_6}{A_8}\right)^k+\left(\frac{A_7}{A_8}\right)^k \), eso implica que \( 1=\ P_3^k+\ Q_3^k \)
Por tanto, habrá infinitas ternas. Ya que \( k\in\mathbb{N} \), y que \( \mathbb{N}\subseteq n \), entonces habrá infinitas ternas también para \( n \). Denotemos a estas ternas como:
(REF.05)
\( 1=\ P_n^n+\ Q_n^n \)
Donde \( P_n,\ Q_n\in\mathbb{Q} \)
2.1 Multiplicación por terna de unidad:Sea \( z_1 \) un racional positivo cualquiera, elevemos \( z_1\ \) a la potencia \( n \) y la multiplicamos por (REF.05), tenemos entonces:
(REF.06)
\( z_1^n=\ \left(z_1P_n\right)^n+\left(z_1Q_n\right)^n \)
Un número racional positivo \( z_1 \) cualquiera, al elevarlo a la potencia \( n \) puede escribirse como la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno.
Ya que (REF.05) tiene infinitas ternas, entonces (REF.06) tendrá también infinitas formas de ternas.
De lo anterior sucede algo interesante, si sustituimos \( z_1 \) con los racionales positivos \( a, b, c \) de (REF.01) en (REF.06) tenemos:
\begin{pmatrix}{a^n=\ \left(aP_n\right)^n+\ \left(aQ_n\right)^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( a^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
(REF.07)
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ \left(cP_n\right)^n+\ \left(cQ_n\right)^n}\end{pmatrix} \( c^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno
Enfoquémonos en (REF.07) y consideremos la terna \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \) donde \( m_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \).
Sea \( m_1\ \)un valor específico, ¿es posible que exista un valor de \( b\ \) que cumpla dicha igualdad?
Comparemos (REF.07) con \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)
\( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \)
Podemos establecer:
\( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)
Igualando: \( m_1^n=\ \left(bP_n\right)^n \),despejando \( b \) tenemos:
\( b=\ \frac{m_1}{P_n} \), luego \( r_1=\ \frac{m_1Q_n}{P_n} \)
Por tanto:
(REF.08)
Existe un valor de \( b \) tal que \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \); donde \( {b,\ m}_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \) cuando \( m_1 \) es un valor específico.
Para demostrar el enunciado (REF.01) utilizaremos sus propiedades y principios, recordemos que estas propiedades son verdaderas solo si el enunciado es verdadero
Sea la expresión:
(REF.09)
\( a_n^n+\ b_n^n=\ c_n^n \)
La expresión anterior es subgrupo de la expresión (REF.01), por tanto, todas sus propiedades y principios se heredan.
Por (REF.01), tenemos que \( a_n,\ b_n,\ c_n\ \in\mathbb{Q} \)
(REF.10)
Estudiemos el caso \( n=1 \), esto es: \( a_1+\ b_1=\ c_1 \)
Dentro del conjunto de soluciones racionales positivos de (REF.10) sabemos que, por la propiedad de Pertenencia, que las soluciones para \( n>1 \), están contenidas en (REF.10).
(REF.11)
Entonces \( c_1 \) contendrá un valor racional para \( n>1 \).
(REF.12)
Por (REF.06) podemos dividir \( c_1 \) en suma de racionales:
\( {c_1.1=\ c_1.P}_n+\ c_1.Q_n \), por tanto \( c_1=x+y;\ \ \ x,y\ \in\mathbb{Q} \)
Estudiemos el caso \( n=2 \), esto es: \( a_2^2+\ b_2^2=\ c_2^2 \)
Por (REF.11), podemos tomar (REF.12), ya que \( c_{2\ }\subseteq\ c_1 \), tenemos:
\( a_2^2+\ b_2^2=\ \left(x+y\right)^2 \)
Desarrollando:
\( x^2+2xy+y^2=\ \left(x+y\right)^2 \)
Podemos establecer:
\begin{pmatrix}{a_2^2\ =\ x^x}\\{b_2^2=2xy+\ y^2}\\{c_2^2=\ \left(x+y\right)^2}\end{pmatrix}, eso implica que \begin{pmatrix}{a_2=x}\\{c_2=x+y}\\{}\end{pmatrix}
Evaluemos \( b_2^2=2xy+\ y^2 \)
Sea \( x=ky;k\ es\ entero\ o\ una\ fracción \)
Sustituyendo tenemos:
\( b_2^2=2ky^2+\ y^2 \), agrupando por factor común: \( b_2^2=y^2\left(2k+1\right) \)
Entonces: \( 2k+1=\ s^2;s\ es\ un\ entero\ o\ una\ fracción \)
Despejamos y tenemos: \( k=\ \frac{s^2-1}{2} \)
Conociendo el valor de \( k \), entonces \( a_2,\ b_2,\ c_2 \) toman sus valores:
\begin{pmatrix}{a_2=\ \left(\frac{s^2-1}{2}\right)y}\\{b_2=sy}\\{c_2=\ \left(\frac{s^2+1}{2}\right)y}\end{pmatrix}, Terna racional para \( n = 2 \)
\( s,y \) enteros o racionales
Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:
(REF.13)
\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)
Bastaría entonces determinar si existen valores \( s, y \) que puedan generar \( a_n,\ b_n,\ c_n \) como racionales.
Por (REF.06) podemos reescribir (REF.09) de la siguiente manera:
\( c_n^n=\left(c_nP_n\right)^n+\left(c_nQ_n\right)^n \), esto equivale a \begin{pmatrix}{a_n^n=\left(c_nP_n\right)^n}\\{b_n^n=\left(c_nQ_n\right)^n}\\{c_n^n=c_n^n}\end{pmatrix}
Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:
Caso 1: \( u_1,v_2 \) son racionales, por tanto:
\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)
Podemos establecer:
\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)
Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\end{pmatrix}
Caso 2: \( u_1,v_2 \) son irracionales especiales, por tanto:
\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)
Podemos establecer:
\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)
Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\end{pmatrix}
Supongamos que \( u_1,v_2 \) son racionales, entonces \( b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales \).
Elevemos (REF.13) a la potencia \( n \) y tenemos:
Terna elevada a \( n \): \begin{pmatrix}{a_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}\\{b_n^n=y^2s^2}\\{c_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}\end{pmatrix}
Por lo cual, las variables \( y^2{,s}^2 \) toman valores racionales, esto es: \( y^2=m^n, s^2=w^n \), donde \( m, w \) son racionales, entonces (REF.13) la reescribimos de la siguiente manera:
(REF.14)
Terna para cualquier \( n \): \begin{pmatrix}{a_n=\ m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=m.w}\\{m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}
Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).
Si despejamos \( m^n, w^n \) de \( a_n \) y \( c_n \) tenemos:
(REF.15)
\( m^n=\ c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n} \)
(REF.16)
\( w^n=\ \frac{c_n^n-a_n^n}{c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n}} \)
Con los valores anteriores, podemos obtener \( a_n \) y \( c_n \) como racionales.
Si despejamos \( c_n^n \) en (REF.15) y lo sustituimos en (REF.16) tenemos:
\( m^n.w^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n}\ \), ya que \( m^n.w^n=\ b_n^n \), entonces:
\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \)
Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)
Entonces:
\( m^n+r^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)
Despejamos \( a_n \), luego tenemos la terna:
(REF.17)
\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}
(REF.17) es subconjunto de (REF.07).
Vemos que para los casos \( n=1 \), \( n=2 \); podemos obtener valores racionales para \( a_n,\ b_n,\ c_n \). Pero para \( n\geq3 \), vemos que \( a_n \) será un irracional, puesto que \( m,\ r\ \in\mathbb{Q} \)
Recordemos que (REF.09) es subconjunto de la expresión de (REF.01).
Aplicando las propiedades y principios de (REF.01) sobre (REF.09), se determinó que (REF.09) no cumple el enunciado (REF.01), por lo cual (REF.09) es un Contraejemplo de (REF.01), por tanto (REF.01) es falso.
CORREGIDO