[DRU]

Último Teorema de Fermat

Una demostración algebraica

Enunciado:
Si \( n \) es un número positivo mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos \( x, y, z \), tales que se cumpla la igualdad:

\( x^n + y^n = z^n \)

Para demostrarlo, se utilizará el método por Contraejemplo y se reformulará el enunciado anterior además se ampliará a los racionales, puesto que todo número racional es el cociente de dos números enteros. Tenemos entonces el siguiente enunciado:

Enunciado:
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad:

(REF.01)

\( a^n + b^n = c^n \)

Consideremos las siguientes condiciones:

   1. \( \mathbb{N}\subseteq n \)
   2. \( a<b<c \)
   3. \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \)

De las condiciones anteriores, podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene los siguientes rangos y dominios:
   Puesto que \( n \) contienen a todos los naturales, tiene su dominio en los enteros positivos, entonces:

\( n=1,\ \ldots,\ +\infty \)

   Ya que \( \left\{a,\ b,\ c\right\}\in\mathbb{Q} \) y estos son positivos, además están restringidos según Condición 3, entonces:

\( a=\ \frac{u}{v};\ \left\{u,\ v\right\}\in\mathbb{N};u\geq1,\ v\geq1,\ por\ tanto:\ \frac{u}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( b=a+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)
\( c=b+\frac{1}{v},\ \ldots,+\infty \)

Podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene las siguientes propiedades:

   1. Conmutativa:

Consideremos la expresión \( w_0^{n_1n_2} \) donde \( w_0\in\mathbb{Q} \); por las propiedades de los exponentes podemos reescribirla como \( \left(w_0^{n_1}\ \right)^{n_2} \) o como \( \left(w_0^{n_2}\ \right)^{n_1} \).

Considerando la expresión de (REF.01), podemos reescribirla utilizando la propiedad de los exponentes descrita anteriormente:

\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)

Donde \( k\in\mathbb{N} \)

   2. Terna de Unidad:

Si la expresión de (REF.01) es dividida entre \( c^n \) obtenemos:

(REF.02)

\( 1=\ \left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n \)        es equivalente a         \( 1=\ P^n+\ Q^n \)

               
Donde \( P,\ Q\in\mathbb{Q} \)
 
   3. Pertenencia:

Para \( n=1 \), tenemos el caso: \( a+b=c \).

Tomando en cuenta el dominio de (REF.01) habrá valores tales que:
 
\( a=\ a_1^n \)
\( b=\ b_1^n \)
\( c=\ c_1^n \)

donde \( a_1,\ b_1,\ c_1\in\mathbb{Q} \), tenemos entonces:

\( a_1^n+\ b_1^n=\ c_1^n \)

De modo que para el caso \( n=1 \), este contendrá las soluciones racionales \( a,\ b,\ c \) para cualquier \( n>1 \).

\( \left(soluciones\ a,b,c\ para\ n>1\right)\subseteq\left(soluciones\ a,b,c\ para\ n=1\right) \)

Con las propiedades descritas anteriormente, podemos establecer ciertos principios que cumple la expresión de (REF.01).

   1. Relación de estructura:

Reescribiendo la expresión de (REF.01) de acuerdo a la Propiedad Conmutativa:

\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \)

Podemos establecer que:

\( (a^{n/k})^k=A_0^k \)
\( (b^{n/k})^k=A_1^k \)
\( (c^{n/k})^k=A_2^k \)

Por tanto:

(REF.03)

\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)

                  

Sucede algo interesante, supóngase que encontremos una forma de generar racionales para el exponente \( k \) de acuerdo a la expresión de (REF.03) se sigue entonces que la expresión de (REF.01) es igual a (REF.03), por tanto:

(REF.04)

\begin{pmatrix}{(a^{n/k})^k=A_0^k}\\{(b^{n/k})^k=A_1^k}\\{(c^{n/k})^k=A_2^k}\end{pmatrix} Despejamos las expresiones \( a, b, c \) del lado izquierdo y tenemos: \begin{pmatrix}{a=\sqrt[ n]{A_0^k}}\\{b=\sqrt[ n]{A_1^k}}\\{c=\sqrt[ n]{A_2^k}}\end{pmatrix}

Esto nos demuestra dos cosas:

   1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
   2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).

Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:

\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)

Para lo cual tenemos dos casos:

CASO 1:
 \( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)

CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:

\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)

Podemos establecer:

\( 9 + 16 = 25 \)

Por lo cual:

\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)

Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como irracionales especiales.

Obsérvese en (REF.03) que esta es generada por los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) y que la expresión de (REF.01) para todo \( n \) tiene racionales positivos \( a,\ b,\ c \), por tanto \( A_0^k,\ A_1^k,\ A_2^k \) deben pertenecer a los racionales.

   2. Conjunto de ternas de unidad:
Consideremos \( a^n + b^n = c^n \); por la Propiedad Conmutativa podemos reescribirla:

\( (a^{n/k})^k \) + \( (b^{n/k})^k \) = \( (c^{n/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)

Podemos establecer:

\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)

Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_1}{A_3}\right)^k+\left(\frac{A_2}{A_3}\right)^k  \), eso implica que \( 1=\ P_1^k+\ Q_1^k \)

Si \( n=s;s\in\mathbb{N} \):

\( (a^{s/k})^k \) + \( (b^{s/k})^k \) = \( (c^{s/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)

Podemos establecer:

\( A_3^k\ \ \ +\ \ \ A_4^k\ \ \ =\ \ \ A_5^k \)

Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_3,\ A_4,\ A_5 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_3}{A_5}\right)^k+\left(\frac{A_4}{A_5}\right)^k  \), eso implica que \( 1=\ P_2^k+\ Q_2^k \)

Si \( n=s+1;s\in\mathbb{N} \):

\( (a^{s+1/k})^k \) + \( (b^{s+1/k})^k \) = \( (c^{s+1/k})^k \); \( k\in\mathbb{N} \)

Podemos establecer:

\( A_6^k\ \ \ +\ \ \ A_7^k\ \ \ =\ \ \ A_8^k \)

Por (REF.01) se tiene que habrá racionales \( A_6,\ A_7,\ A_8 \)
Por (REF.02): \( 1=\ \left(\frac{A_6}{A_8}\right)^k+\left(\frac{A_7}{A_8}\right)^k  \), eso implica que \( 1=\ P_3^k+\ Q_3^k \)

Por tanto, habrá infinitas ternas. Ya que \( k\in\mathbb{N} \), y que \( \mathbb{N}\subseteq n \), entonces habrá infinitas ternas también para \( n \). Denotemos a estas ternas como:

(REF.05)

\( 1=\ P_n^n+\ Q_n^n \)

Donde \( P_n,\ Q_n\in\mathbb{Q} \)

   2.1 Multiplicación por terna de unidad:

Sea \( z_1 \) un racional positivo cualquiera, elevemos \( z_1\ \) a la potencia \( n \) y la multiplicamos por (REF.05), tenemos entonces:

(REF.06)

\( z_1^n=\ \left(z_1P_n\right)^n+\left(z_1Q_n\right)^n \)

Un número racional positivo \( z_1 \) cualquiera, al elevarlo a la potencia \( n \) puede escribirse como la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno.

Ya que (REF.05) tiene infinitas ternas, entonces (REF.06) tendrá también infinitas formas de ternas.

De lo anterior sucede algo interesante, si sustituimos \( z_1 \) con los racionales positivos \( a, b, c \) de (REF.01) en (REF.06) tenemos:

\begin{pmatrix}{a^n=\ \left(aP_n\right)^n+\ \left(aQ_n\right)^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( a^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno

(REF.07)

\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno

\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ b^n}\\{c^n=\ \left(cP_n\right)^n+\ \left(cQ_n\right)^n}\end{pmatrix} \( c^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno

Enfoquémonos en (REF.07) y consideremos la terna \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \) donde \( m_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \).
Sea \( m_1\ \)un valor específico, ¿es posible que exista un valor de \( b\ \) que cumpla dicha igualdad?
Comparemos (REF.07) con \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)

\( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \)

Podemos establecer:

\( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \)

Igualando: \( m_1^n=\ \left(bP_n\right)^n \),despejando \( b \) tenemos:

\( b=\ \frac{m_1}{P_n} \), luego \( r_1=\ \frac{m_1Q_n}{P_n} \)

Por tanto:

(REF.08)

                                            
Existe un valor de \( b \) tal que \( b^n=\ m_1^n+\ r_1^n \); donde \( {b,\ m}_1,\ r_1\ \in\mathbb{Q} \)  cuando  \( m_1 \) es un valor específico.

Para demostrar el enunciado (REF.01) utilizaremos sus propiedades y principios, recordemos que estas propiedades son verdaderas solo si el enunciado es verdadero
Sea la expresión:

(REF.09)

\( a_n^n+\ b_n^n=\ c_n^n \)

La expresión anterior es subgrupo de la expresión (REF.01), por tanto, todas sus propiedades y principios se heredan.
Por (REF.01), tenemos que \( a_n,\ b_n,\ c_n\ \in\mathbb{Q} \)

(REF.10)

Estudiemos el caso \( n=1 \), esto es: \( a_1+\ b_1=\ c_1 \)                   
Dentro del conjunto de soluciones racionales positivos de (REF.10) sabemos que, por la propiedad de Pertenencia, que las soluciones para  \( n>1 \), están contenidas en (REF.10).

(REF.11)

Entonces \( c_1 \) contendrá un valor racional para \( n>1 \).

(REF.12)

                  
Por (REF.06) podemos dividir \( c_1 \) en suma de racionales:
\( {c_1.1=\ c_1.P}_n+\ c_1.Q_n \), por tanto \( c_1=x+y;\ \ \ x,y\ \in\mathbb{Q} \)                               

Estudiemos el caso \( n=2 \), esto es:  \( a_2^2+\ b_2^2=\ c_2^2 \)                  

Por (REF.11), podemos tomar (REF.12), ya que \( c_{2\ }\subseteq\ c_1 \), tenemos:

\( a_2^2+\ b_2^2=\ \left(x+y\right)^2 \)

Desarrollando:

\( x^2+2xy+y^2=\ \left(x+y\right)^2 \)

Podemos establecer:

\begin{pmatrix}{a_2^2\ =\ x^x}\\{b_2^2=2xy+\ y^2}\\{c_2^2=\ \left(x+y\right)^2}\end{pmatrix}, eso implica que \begin{pmatrix}{a_2=x}\\{c_2=x+y}\\{}\end{pmatrix}

Evaluemos \( b_2^2=2xy+\ y^2 \)

Sea \( x=ky;k\ es\ entero\ o\ una\ fracción \)

Sustituyendo tenemos:

\( b_2^2=2ky^2+\ y^2 \), agrupando por factor común: \( b_2^2=y^2\left(2k+1\right) \)

Entonces: \( 2k+1=\ s^2;s\ es\ un\ entero\ o\ una\ fracción \)

Despejamos y tenemos:  \( k=\ \frac{s^2-1}{2} \)

Conociendo el valor de \( k \), entonces \( a_2,\ b_2,\ c_2 \) toman sus valores:

\begin{pmatrix}{a_2=\ \left(\frac{s^2-1}{2}\right)y}\\{b_2=sy}\\{c_2=\ \left(\frac{s^2+1}{2}\right)y}\end{pmatrix}, Terna racional para \( n = 2 \)

\( s,y \) enteros o racionales

Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:

(REF.13)

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)

Bastaría entonces determinar si existen valores \( s, y \) que puedan generar \( a_n,\ b_n,\ c_n \) como racionales.

Por (REF.06) podemos reescribir (REF.09) de la siguiente manera:

\( c_n^n=\left(c_nP_n\right)^n+\left(c_nQ_n\right)^n \), esto equivale a \begin{pmatrix}{a_n^n=\left(c_nP_n\right)^n}\\{b_n^n=\left(c_nQ_n\right)^n}\\{c_n^n=c_n^n}\end{pmatrix}

Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:

Caso 1: \( u_1,v_2 \) son racionales, por tanto:

\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)

Podemos establecer:

\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)

Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales}\end{pmatrix}

Caso 2: \( u_1,v_2 \) son irracionales especiales, por tanto:

\( a_n^n\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ b_n^n\ \ \ \ \ =\ \ \ \ \ \ c_n^n \)

Podemos establecer:

\( u_1^n.\left(v_1P_n\right)^n+u_1^n{.\left(v_1Q_n\right)}^n=\left(u_1\right)^n.\left(v_1\right)^n \)

Entonces: \begin{pmatrix}{a_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\\{c_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ irracionales\ especiales}\end{pmatrix}

Supongamos que \( u_1,v_2 \) son racionales, entonces \( b_n\ es\ el\ producto\ de\ dos\ racionales \).
Elevemos (REF.13) a la potencia \( n \) y tenemos:

Terna elevada a \( n \): \begin{pmatrix}{a_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}\\{b_n^n=y^2s^2}\\{c_n^n=\ y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}\end{pmatrix}

Por lo cual, las variables \( y^2{,s}^2 \) toman valores racionales, esto es: \( y^2=m^n, s^2=w^n \), donde \( m, w \) son racionales, entonces (REF.13) la reescribimos de la siguiente manera:

(REF.14)

Terna para cualquier \( n \): \begin{pmatrix}{a_n=\ m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=m.w}\\{m\sqrt[n]{\left(\frac{w^n+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}

Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).

Si despejamos \( m^n, w^n \) de \( a_n \) y \( c_n \) tenemos:

(REF.15)

\( m^n=\ c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n} \)

(REF.16)

\( w^n=\ \frac{c_n^n-a_n^n}{c_n^n+a_n^n+2\sqrt{c_n^na_n^n}} \)

Con los valores anteriores, podemos obtener \( a_n \) y \( c_n \) como racionales.
Si despejamos \( c_n^n \) en (REF.15) y lo sustituimos en (REF.16) tenemos:

\( m^n.w^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n}\  \), ya que \( m^n.w^n=\ b_n^n \), entonces:

\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \)

Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)

Entonces:

\( m^n+r^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Despejamos \( a_n \), luego tenemos la terna:

(REF.17)

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

(REF.17) es subconjunto de (REF.07).
Vemos que para los casos \( n=1 \), \( n=2 \); podemos obtener valores racionales para \( a_n,\ b_n,\ c_n \). Pero para \( n\geq3 \), vemos que \( a_n \) será un irracional, puesto que \( m,\ r\ \in\mathbb{Q} \)

Recordemos que (REF.09) es subconjunto de la expresión de (REF.01).
Aplicando las propiedades y principios de (REF.01) sobre (REF.09), se determinó que (REF.09) no cumple el enunciado (REF.01), por lo cual (REF.09) es un Contraejemplo de (REF.01), por tanto (REF.01) es falso.

 CORREGIDO

[feriva]

Enunciado:                                                  (REF.01)
Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad:
\( a^n + b^n = c^n \)

Consideremos las siguientes condiciones:
   \( \mathbb{N}\subseteq n \)
   \( a<b<c \)
   \( {a,\ b,\ c}\in\mathbb{Q} \)
De las condiciones anteriores, podemos establecer que la expresión de (REF.01) tiene los siguientes rangos y dominios:

Hola.
No sé aún de qué va, pero es obvio que no existen (teniendo en cuenta que el teorema ya está demostrado para enteros).

Suponiendo enteros a,b,c,x,y,z:

\( \dfrac{a}{x^{n}}^{n}+\dfrac{b^{n}}{y^{n}}=\dfrac{c^{n}}{z^{n}}
  \)

\( \dfrac{a^{n}}{x^{n}}(xyz)^{n}+\dfrac{b^{n}}{y^{n}}(xyz)^{n}=\dfrac{c^{n}}{z^{n}}(xyz)^{n}
  \)

\( (ayz)^{n}+(bxz)^{n}=(cxy)^{n}
  \)

Entonces, si la igualdad existiera para racionales, existiría para enteros también necesariamente.

Saludos.

[DRU]

Perdona, no había terminado de redactar. Tu observación ejemplifica mi punto, muchas gracias por tu aporte

[Luis Fuentes]

Hola

 La demostración no está bien.

 Los problemas empiezan en esta afirmación, que no tengo claro que significado le has querido dar exactamente.

Esto nos demuestra dos cosas:

   1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
   2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).

 Tal como está escrito (2) da a a entender que si tenemos racionales que cumplan \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \), podemos obtener para cualquier \( n \), racionales que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para cualquier \( n \). Lo cual NO es cierto. Porque lo que haces es tomar \( a=\sqrt[n]{A_0^k} \) (y lo análogo para las otras variables) que NO tiene porque ser racional.

 Digo "da a entender" porque después, en un primer momento, parece que eres consciente de esto, cuando continúas:

Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:

\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)

Para lo cual tenemos dos casos:

CASO 1:
 \( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)

CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:

\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)

Podemos establecer:

\( 9 + 16 = 25 \)

Por lo cual:

\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)

Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como racionales especiales.

 Ahí si pareces notar que esa relación entre soluciones para exponente distintos es un tanto falaz ya que si son racionales para un mismo exponente nada garantiza que lo sean para el otro.

 Por cierto donde pusiste  racionales especiales no se si querías poner  irracionales especiales.

 El caso es que después llega un momento en que todo el razonamiento lo haces bajo la siguiente premisa:

Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:

(REF.13)

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)

 Nada te garantiza que una posible solución RACIONAL para \( n=3 \) provenga de una solución RACIONAL para \( n=2 \).

 Entonces si en lo sigue utilizas que \( y,s \) son racionales, sólo estás estudiando la posible existencia de soluciones racionales para otro exponente que al mismo tiempo provengan de soluciones racionales para exponente dos. Por tanto NO descartas que pudieran existir  soluciones racionales para exponente \( n>2 \) que NO provengan de soluciones racionales para exponente dos. Esto ya invalida la demostración.

 Por en medio hay alguna cosa rara. Dices:

Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:

 Cualquier número real se puede poner como producto de otros dos. Si el número es racional siempre se puede poner como producto de dos racionales. No veo para que haces ese estudio; y realmente no veo que lo uses después en nada útil.

Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).

 Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.

\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)

Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \) (**)

Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)

Aquí no se con que derecho supones que el \( m \) de (*) y el \( m \) de (**) que viene de la descomposición que razonas en REF.08 tienen que ser el mismo. A priori podrían ser "emes diferentes".

Saludos.

[DRU]

Hola

La demostración no está bien.

 Los problemas empiezan en esta afirmación, que no tengo claro que significado le has querido dar exactamente.

Esto nos demuestra dos cosas:

   1. Existe una relación de estructura de (REF.03) con la expresión de (REF.01).
   2. En consecuencia del punto anterior, si encontramos una estructura que genere racionales para (REF.03), podemos utilizar dicha estructura para determinar si también podemos generarlos para todo \( n \). Dicha relación se establece en (REF.04).

 Tal como está escrito (2) da a a entender que si tenemos racionales que cumplan \( A_0^k+A_1^k=A_2^k \), podemos obtener para cualquier \( n \), racionales que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para cualquier \( n \). Lo cual NO es cierto. Porque lo que haces es tomar \( a=\sqrt[n]{A_0^k} \) (y lo análogo para las otras variables) que NO tiene porque ser racional.

 Digo "da a entender" porque después, en un primer momento, parece que eres consciente de esto, cuando continúas:

Si sustituimos los valores de (REF.04) en la expresión de (REF.01) obtenemos:

\( A_0^k\ \ \ +\ \ \ A_1^k\ \ \ =\ \ \ A_2^k \)

Para lo cual tenemos dos casos:

CASO 1:
 \( A_0,\ A_1,\ A_2\in\mathbb{Q} \), eso se debe a que \( k \) es un número natural, entonces \( k\in\mathbb{N} \), por (REF.01) se tiene entonces que existirán racionales positivos \( A_0,\ A_1,\ A_2 \)

CASO 2:
\( A_0,\ A_1,\ A_2 \) son irracionales especiales, por ejemplo:

\( \left(\sqrt[3]{9}\right)^3 \)+\( \left(\sqrt[3]{16}\right)^3 \)=\( \left(\sqrt[3]{25}\right)^3 \)

Podemos establecer:

\( 9 + 16 = 25 \)

Por lo cual:

\( A_0=\ \sqrt[3]{9} \)
\( A_1=\ \sqrt[3]{16} \)
\( A_2=\ \sqrt[3]{25} \)

Esto nos demuestra que la hipotética estructura en (REF.03) puede contener a \( A_0,\ A_1,\ A_2 \) como racionales especiales.

Ahí si pareces notar que esa relación entre soluciones para exponente distintos es un tanto falaz ya que si son racionales para un mismo exponente nada garantiza que lo sean para el otro.

El propósito es demostrar efectivamente que existen tanto valores racionales como irracionales para esas variables.

Por cierto donde pusiste  racionales especiales no se si querías poner  irracionales especiales.

Efectivamente, perdón por el error.

El caso es que después llega un momento en que todo el razonamiento lo haces bajo la siguiente premisa:

Por (REF.04) podemos utilizar esta estructura para (REF.09), entonces tenemos:

(REF.13)

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix}, Terna para (REF.09)

Nada te garantiza que una posible solución RACIONAL para \( n=3 \) provenga de una solución RACIONAL para \( n=2 \).

Claro que una solución racional para determinado \( n \) no necesariamente pueda generar otra solución racional para otra \( n \), lo que interesa es ver la relación de estructura que existe en cada caso \( n \), dicha relación esta establecida en (REF.04), por ejemplo: considera esta expresión: \( a + b = c \), sustituimos las letras por paréntesis y tenemos esta estructura: (  ) + (  ) =  (  ), podemos utilizarla para realizar una suma, si nos enfocamos en los enteros positivos, por ejemplo sería: (5) + (4) = (9), pero también podemos utilizar esa misma ESTRUCTURA de suma para números enteros negativos: (-5) + (-6) = (-11), aunque la primera estructura nos funciona para números enteros positivos dándonos un resultado de entero positivo, también la podemos utilizar para suma de enteros negativos, lo que nos interesa es la ESTRUCTURA que genera \( a, b \) para obtener \( c \)

Entonces si en lo sigue utilizas que \( y,s \) son racionales, sólo estás estudiando la posible existencia de soluciones racionales para otro exponente que al mismo tiempo provengan de soluciones racionales para exponente dos. Por tanto NO descartas que pudieran existir  soluciones racionales para exponente \( n>2 \) que NO provengan de soluciones racionales para exponente dos. Esto ya invalida la demostración.

Ya explique este punto, lo que se demuestra en (REF.04) es que existe una relación de estructura, pondré un ejemplo numérico:
Utilizaremos la expresión de (REF.13)

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},

Ahora sustituimos n=3:

\begin{pmatrix}{a_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_3=\sqrt[3]{y^2s^2}}\\{c_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},

Dando valor a las variables \( y, s \)

\( y = 19 \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{35}{19}} \)
Obtenemos:

\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{665})^3 = (9)^3 \)

\( y = \frac{\sqrt[ ]{125}}{\sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}}} \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}} \)
Obtenemos:

\( (3)^3+(5)^3 = (\sqrt[3]{152})^3 \)

\( y = 2 \), \( s = 3 \)
Obtenemos:

\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{36})^3 = (\sqrt[3]{100})^3 \)

\( y = 2 \), \( s = \sqrt[ ]{2} \)

\( (1)^3+(2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 \)

Como ves, la ESTRUCTURA es la misma para cualquier \( n \), tal como se describe esta relación en (REF..04), por lo tanto, habría que determinar si existen valores \( s, y \) que generen racionales para todo \( n \)

Por en medio hay alguna cosa rara. Dices:

Si \( c_n=u_1.v_1 \); \( c_n \) es el producto de dos variables, entonces tenemos dos casos:

Cualquier número real se puede poner como producto de otros dos. Si el número es racional siempre se puede poner como producto de dos racionales. No veo para que haces ese estudio; y realmente no veo que lo uses después en nada útil.

Claro que sí y esta es muy importante, esto nos permite dividir \( c_n \) en el producto de dos números ya sean racionales o irracionales, para que luego los valores \( a_n, b_n \) se pueda dividir en producto de dos números ya sean racionales o irracionales, lo que deriva en las variables \( m, w \)

Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).

Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.

Efectivamente esa es la idea.

\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) (*)

Por (REF.08) sabemos que habrá un valor de \( b_n^n \) tal que:
\( b_n^n=\ m^n+r^n \) (**)

Donde \( b_n,m,\ r\ \in\mathbb{Q}\ \)

Aquí no se con que derecho supones que el \( m \) de (*) y el \( m \) de (**) que viene de la descomposición que razonas en REF.08 tienen que ser el mismo. A priori podrían ser "emes diferentes".

Si te sitúas en (REF.08) el valor de \( m_1 \), al que se refiere, es a un valor ESPECÍFICO, quiere decir que puede ser CUALQUIER VALOR, por tanto puede ser \( m \)
Voy a ejemplificarlo para el caso n = 2
Usemos la expresión de (REF.08)

\( b^2=\ m_1^2+\ r_1^2 \)

Sea el valor específico \( m_1 \) = 3, entonces tenemos:

\( (5)^2=\ 3^2+\ (4)^2 \)

\( (\frac{39}{5})^2=\ 3^2+\ (\frac{36}{5})^2 \)

\( (\frac{75}{7})^2=\ 3^2+\ (\frac{72}{7})^2 \)

Como ves, \( m_1 \), puede ser cualquier valor, siempre existirá un valor de \( b \) que lo cumpla

Saludos.

Saludos a ti también, muchas gracias por haberlo leído y por tus comentarios

[Luis Fuentes]

Hola

El propósito es demostrar efectivamente que existen tanto valores racionales como irracionales para esas variables.

 No entiendo. El Teorema de Fermat lo que afirma es que para \( n\geq 3 \) NO existen racionales cumpliendo \( a^n+b^n=c^n \).

 Si pretendes demostrarlo tienes que probar entonces que NO existen racionales para esas variables. Irracionales verificando la ecuación es trivial que existen y eso no nos dice nada a favor o en contra del Teorema de Fermat.

 Entonces no comprendo que has querido decir con esa frase.

Claro que una solución racional para determinado \( n \) no necesariamente pueda generar otra solución racional para otra \( n \), lo que interesa es ver la relación de estructura que existe en cada caso \( n \), dicha relación esta establecida en (REF.04), por ejemplo: considera esta expresión: \( a + b = c \), sustituimos las letras por paréntesis y tenemos esta estructura: (  ) + (  ) =  (  ), podemos utilizarla para realizar una suma, si nos enfocamos en los enteros positivos, por ejemplo sería: (5) + (4) = (9), pero también podemos utilizar esa misma ESTRUCTURA de suma para números enteros negativos: (-5) + (-6) = (-11), aunque la primera estructura nos funciona para números enteros positivos dándonos un resultado de entero positivo, también la podemos utilizar para suma de enteros negativos, lo que nos interesa es la ESTRUCTURA que genera \( a, b \) para obtener \( c \)

 Sinceramente esta respuesta no responde nada sobre el fondo de mi crítica. Desde mi punto de vista sólo has estudiado la posiblidad de que una solución racional para \( n>2 \) provenga de otra racional para \( n=2 \) y entiendo que has descartado que eso pueda darse. Pero eso no llega para probar el Teorema de Fermat por el motivo que te expuse en mi anterior mensaje. Incido en esto después.

 Adicionalmente incluso en ese caso, como también te he indicado, hay puntos oscuros en lo que has hecho.

Ya explique este punto, lo que se demuestra en (REF.04) es que existe una relación de estructura, pondré un ejemplo numérico:
Utilizaremos la expresión de (REF.13)

\begin{pmatrix}{a_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_n=\sqrt[n]{y^2s^2}}\\{c_n=\ \sqrt[n]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},

Ahora sustituimos n=3:

\begin{pmatrix}{a_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2-1}{2}\right)^2}}\\{b_3=\sqrt[3]{y^2s^2}}\\{c_3=\ \sqrt[3]{y^2\left(\frac{s^2+1}{2}\right)^2}}\end{pmatrix},

Dando valor a las variables \( y, s \)

\( y = 19 \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{35}{19}} \)
Obtenemos:

\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{665})^3 = (9)^3 \)

\( y = \frac{\sqrt[ ]{125}}{\sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}}} \), \( s = \sqrt[ ]{\frac{179}{125}+\sqrt[ ]{\frac{65664}{62500}}} \)
Obtenemos:

\( (3)^3+(5)^3 = (\sqrt[3]{152})^3 \)

\( y = 2 \), \( s = 3 \)
Obtenemos:

\( (4)^3+(\sqrt[ 3]{36})^3 = (\sqrt[3]{100})^3 \)

\( y = 2 \), \( s = \sqrt[ ]{2} \)

\( (1)^3+(2)^3 = (\sqrt[3]{9})^3 \)

Como ves, la ESTRUCTURA es la misma para cualquier \( n \), tal como se describe esta relación en (REF..04), por lo tanto, habría que determinar si existen valores \( s, y \) que generen racionales para todo \( n \)

 Esto lo entiendo perfectamente. El problema es que luego usas de manera decisiva que \( y,s \) son racionales (de ahí deduces que \( m,w \) son racionales; y finalmente de ahí que \( a_n \) es irracional). Si tratas el asunto con generalidad, \( y,s \) pudieran ser irracionales y tu argumento ya no funciona. No descarta que \( a_n \) pudiera ser racional.

Claro que sí y esta es muy importante, esto nos permite dividir \( c_n \) en el producto de dos números ya sean racionales o irracionales, para que luego los valores \( a_n, b_n \) se pueda dividir en producto de dos números ya sean racionales o irracionales, lo que deriva en las variables \( m, w \)

Yo lo sigo viendo como algo intrascendente... ¡es obvio que cualquier número racional se puede poner tanto como producto de racionales y uno irracional como producto de irracionales!. Pero en cualquier caso no es que vea ningún error ahí; simplemente algo innecesario. Así que dejemos ese punto aparcado por ahora.

Si \( u_1,v_2 \) fueran irracionales, entonces habría que considerar a \( m, w \) como irracionales especiales tales que cumplan (REF.14) con \( a_n,\ b_n,\ c_n \in\mathbb{Q} \).

Aquí parece que te das cuenta de la crítica que te hacía; pareciera que dejas la puerta abierta a explorar que ocurre si realmente la terna de racionales para el caso \( n \) proviene de una terna de NO racionales para el caso \( n=2 \); digo parece porque no se si quisiste decir eso. Sea como sea es un camino que NO explorar. Queda en el olvido en lo que sigue.

Efectivamente esa es la idea.

¿Esa es la idea?¿Pero dónde has estudiado ese caso?¡Por qué es el caso interesante!. Es lo que te falta. Como te he dicho antes en este mensaje y también en mi primera respuesta te falta estudiar que ocurre si \( y,s \) son irracionales.

Si te sitúas en (REF.08) el valor de \( m_1 \), al que se refiere, es a un valor ESPECÍFICO, quiere decir que puede ser CUALQUIER VALOR, por tanto puede ser \( m \)
Voy a ejemplificarlo para el caso n = 2
Usemos la expresión de (REF.08)

\( b^2=\ m_1^2+\ r_1^2 \)

Sea el valor específico \( m_1 \) = 3, entonces tenemos:

\( (5)^2=\ 3^2+\ (4)^2 \)

\( (\frac{39}{5})^2=\ 3^2+\ (\frac{36}{5})^2 \)

\( (\frac{75}{7})^2=\ 3^2+\ (\frac{72}{7})^2 \)

Como ves, \( m_1 \), puede ser cualquier valor, siempre existirá un valor de \( b \) que lo cumpla

Ojo, pero es que en tu argumento tanto \( m \) como \( b \) están fijados previamente: ¡los dos!. Por una parte tienes:

\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)  (*)

y por otra afirmas que existe \( r^n \) tal que:

\( b_n^n=m^n+r^n \) (**)

En realidad tu dices que hay un valor de \( b_n \) tal que...., pero para que luego puedas continuar como lo haces necesitas que ese \( b_n  \) de (**) sea el mismo que el de (*) ya que luego igualas ambas expresiones para despejar \( a \) y afirmar que es irracional.

Saludos.

[DRU]

Hola

Ojo, pero es que en tu argumento tanto \( m \) como \( b \) están fijados previamente: ¡los dos!. Por una parte tienes:

\( b_n^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)  (*)

y por otra afirmas que existe \( r^n \) tal que:

\( b_n^n=m^n+r^n \) (**)

En realidad tu dices que hay un valor de \( b_n \) tal que...., pero para que luego puedas continuar como lo haces necesitas que ese \( b_n  \) de (**) sea el mismo que el de (*) ya que luego igualas ambas expresiones para despejar \( a \) y afirmar que es irracional.

En cuanto a tus comentarios anteriores y este, los contestaré usando ejemplos numéricos y una aplicación de ESTRUCTURA, espero hacerme entender.
Para esto nos situaremos en el final de todo el razonamiento (REF.17), esto es:

\begin{pmatrix}{a_n=\frac{r^2}{m}\sqrt[ n]{\frac{1}{4}}}\\{b_n^n=\ m^n+r^n}\\{c_n=\ \sqrt[n]{\left(\sqrt{m^n}+\frac{r^n}{2\sqrt{m^n}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Veamos el caso \( n=1 \)

\begin{pmatrix}{a_1=\frac{r^2}{4m}}\\{b_1=\ m+r}\\{c_1=\ \left(\sqrt{m}+\frac{r}{2\sqrt{m}}\right)^2}\end{pmatrix}

Ubiquémonos en \( b_1= m+r \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_1= m+r \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, partiendo de esto entonces:
Sea \( m = 1, r = 2 \), obtenemos:

(1) + (3) = (4)

Sea \( m = 1, r = 4 \), obtenemos:

(4) + (5) = (9)

Sea \( m = 2, r = 3 \), obtenemos:

\( (\frac{9}{8}) + (5) = (\frac{49}{8}) \)

En este caso \( m, r \) son racionales

Ahora mira esto, cuando he dicho que las variables \( y, s, u_1, v_1 \) pueden ser racionales o irracionales especiales, si existen números que generen los racionales \( a, b, c \) en la expresión de (REF.01) con las variables \( y, s, u_1, v_1 \) como racionales, también habrán variables \( y, s, u_1, v_1 \) como irracionales especiales, las variables \( m, r \) derivan de las variables \( y, s, u_1, v_1 \)
espero que ahora si comprendas esto:

Sea \( m =4 -\sqrt[ ]{12} , r = -2+\sqrt[ ]{12} \), obtenemos:

(1) + (2) = (3)

Sea \( m =6 -\sqrt[ ]{12} , r = -2+\sqrt[ ]{20} \), obtenemos:

(1) + (4) = (5)

Vemos que en este caso \( m, r \) son irracional, sin embargo obtuvimos valores racionales para \( a, b, c \)

Veamos el caso \( n=2 \)

\begin{pmatrix}{a_2=\frac{r^2}{2m}}\\{b_2^2=\ m^2+r^2}\\{c_2= m + \frac{r^2}{2m}}\end{pmatrix}

Ubiquémonos en \( b_2^2= m^2+r^2 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_2^2= m^2+r^2 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, partiendo de esto entonces:

Sea \( m = 3, r = 4 \), obtenemos:

\( (\frac{8}{3})^2 + (5)^2 = (\frac{17}{3})^2 \)

Sea \( m = 6, r = 8 \), obtenemos:

\( (\frac{16}{3})^2 + (10)^2 = (\frac{34}{3})^2 \)

En este caso \( m ,r \) son racionales

Ahora mira esto,

Sea \( m = 2, r = \sqrt[ ]{45} \), obtenemos:

\( (\frac{45}{4})^2 + (7)^2 = (\frac{53}{4})^2 \)

Sea \( m = 1, r = \sqrt[ ]{8} \), obtenemos:

\( (4)^2 + (3)^2 = (5)^2 \)

En este caso \( r \) es irracional especial, sin embargo obtuvimos valores racionales para \( a_2, b_c, c_2 \)

Como ves, las variables \( m ,r \) pueden ser racionales o irracionales especiales, y esto se deriva de las variables \( y, s, u_1, v_1 \). ¡Ojo! no todos los irracionales \( m, r, \) pueden producir racionales \( a_n, b_n, c_n \), por lo cual no podemos abarcar a todos los irracionales .
Pero es importante notar, que si existen racionales \( a, b, c \) en la expresión de (REF.01) las variables \( m, r \) podrán ser racionales o irracionales especiales.

Veamos el caso \( n = 3 \)

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Ubiquémonos en \( b_3^3= m^3+r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_3^3= m^3+r^3 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, pero aquí ocurre el absurdo, puesto que según el enunciado por lo menos un valor de \( m, r \) pertenecería a los racionales, luego vemos en \( a_3 \) que el cociente de \( \frac{r^2}{m} \) es racional pero al multiplicarlo por \( \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), se convertiría en un irracional

Que pasa si consideramos que solo existan irracionales especiales para \( m, r \), cuando \( n>2 \) si así fuese, estaríamos contradiciendo el enunciado: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), puesto que estaríamos afirmando que no existe por lo menos un valor \( m ,r \) que sea racional

Como ves, cuando \( n>2 \) el valor de \( a_n \) será irracional si \( m, r \) son racionales y según el enunciado debería haber por lo menos un valor de de \( m, r \) como racionales.

Espero que hayas comprendido la relación de ESTRUCTURA que existe en (REF.04), como ves, se puede aplicar para cualquier \( n \), no es que una solución de n=2, podamos extraer las soluciones para todo \( n \), sino, que se refiere a la ESTRUCTURA que puede utilizarse para cualquier \( n \), te pondré este ejemplo, donde podemos utilizar una estructura para encontrar valores racionales en una expresión totalmente diferente:

Sea la expresión:

\( y^2=x^2+ax \)

Queremos encontrar las soluciones racionales \( x, y \) siendo \( a \) una constante.
Por la Propiedad Conmutativa de (REF.01) podemos reescribirla:

\( y^2=(x)^2+(\sqrt[ ]{ax})^2 \)

Usando la terna racional para \( n = 2 \), podemos establecer los valores:

\begin{pmatrix}{x=\ \left(\frac{w^2-1}{2}\right)m}\\{\sqrt[ ]{ax}=mw}\\{y=\ \left(\frac{w^2+1}{2}\right)m}\end{pmatrix}

Despejamos \( m \) de \( \sqrt[ ]{ax}=mw \), y lo sustituimos en el resto de variables, tenemos:
\begin{pmatrix}{x = (\frac{w^2-1}{2w})\sqrt[ ]{ax}}\\{y = (\frac{w^2+1}{2w})\sqrt[ ]{ax}}\\{}\end{pmatrix}
Despejamos \( x \) en la primera expresión, entonces tenemos:

\( x = a(\frac{w^2-1}{2w})^2 \)

\( y = a(\frac{w^4-1}{4w^2}) \)

Donde \( w \) pertenece a los racionales o \( w^2 \) pertenece a los racionales.

Como ves, en \( y^2=x^2+ax \) habia una estructura similar al caso \( n =2 \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Nada de lo que te has escrito responde a las críticas que te he hecho. Me centro en el caso \( n=3 \), y si quieres en lo sucesivo podemos centrarnos en ese caso que es el primero no trivial.

Veamos el caso \( n = 3 \)

\begin{pmatrix}{a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}}}\\{b_3^3=\ m^3+r^3}\\{c_3=\ \sqrt[3]{\left(\sqrt{m^3}+\frac{r^3}{2\sqrt{m^3}}\right)^2}}\end{pmatrix}

Ubiquémonos en \( b_3^3= m^3+r^3 \), según el enunciado (REF.01), esto es: Para todo \( n ≥ 1 \), existen racionales positivos \( a, b , c \), tales que se cumpla la igualdad: \( a^n + b^n = c^n \), entonces para \( b_3^3= m^3+r^3 \), deberían existir por lo menos un valor de \( m, r \) que pertenezcan a los racionales, pero aquí ocurre el absurdo, puesto que según el enunciado por lo menos un valor de \( m, r \) pertenecería a los racionales, luego vemos en \( a_3 \) que el cociente de \( \frac{r^2}{m} \) es racional pero al multiplicarlo por \( \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \), se convertiría en un irracional

Vuelves a caer en lo mismo. Entiendo que de la existencia de una sola terna de racionales \( (P,Q,R) \) que cumpla \( \color{red}P\color{black}^3+Q^3=R^3 \), razonas que fijado un \( b_n \) cualquiera existen racionales \( m,\color{red}r\color{black} \) tales que \( b_n^3=m^3+r^3 \). Es lo que has razonado en lo que llamas (REF.07) y está bien. Es decir, digamos que estoy de acuerdo con lo que he marcado en azul.

Pero el problema es que ese \( m \) no tiene porque coincidir con el \( m \) que apareció en tus cálculos previos y que usaste de manera decisiva para poder deducir \( a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}} \). Usas dos "emes" a priori distintos y tu los consideras sin justificación alguna iguales.

Saludos.

CORREGIDO

[DRU]

Hola

Vuelves a caer en lo mismo. Entiendo que de la existencia de una sola terna de racionales \( (P,Q,R) \) que cumpla \( Q^3+Q^3=R^3 \), razonas que fijado un \( b_n \) cualquiera existen racionales \( m,n \) tales que \( b_n^3=m^3+r^3 \). Es lo que has razonado en lo que llamas (REF.07) y está bien. Es decir, digamos que estoy de acuerdo con lo que he marcado en azul.

Pero el problema es que ese \( m \) no tiene porque coincidir con el \( m \) que apareció en tus cálculos previos y que usaste de manera decisiva para poder deducir \( a_3=\frac{r^2}{m}\sqrt[ 3]{\frac{1}{4}} \). Usas dos "emes" a priori distintos y tu los consideras sin justificación alguna iguales.

Pues esto es lo más fácil de comprender
Dirijámonos en (REF.07)

\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno

Enfoquemnos en esto: \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), en algún momento, las expresiones del lado derecho me refiero a esto: \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) producirán esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)

Ahora, ya que \( b^n = m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) y \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), donde prácticamente es lo mismo, entonces hacemos la igualdad:

\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

En algún momento la expresión del lado derecho me refiero a esto: \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \), será igual a esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)

Obtenemos:

\( m^n+r^n=\ m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pues esto es lo más fácil de comprender
Dirijámonos en (REF.07)

\begin{pmatrix}{a^n=\ a^n}\\{b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n}\\{c^n=\ c^n}\end{pmatrix} \( b^n \) es la suma de dos racionales positivos elevados a la potencia \( n \) cada uno

Enfoquemnos en esto: \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), en algún momento, las expresiones del lado derecho me refiero a esto: \( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) producirán esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)

Eso es cierto, pero con el siguiente matiz. Si tomas \( b = \frac{m}{P_n} \) los valores de \( b \) y \( m \) no son los que tu quieres. Hay una relación entre ambos. El valor de b queda determinado por el de \( m \) o al revés. No puedes escoger el par de valores \( (b,m) \) que tu quieras.

Ahora, ya que \( b^n = m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \) y \( b^n=\ \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \), donde prácticamente es lo mismo, entonces hacemos la igualdad:

\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

En algún momento la expresión del lado derecho me refiero a esto: \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \), será igual a esto: \( m^n+r^n \), ¿en que me base para afirmar esto?, simplemente cuando \( b = \frac{m}{P_n} \)

De

\( \left(bP_n\right)^n+\ \left(bQ_n\right)^n \) = \( m^n+2\sqrt{a_n^nm^n} \)

NO se deduce necesariamente que:

\( \left(bP_n\right)^n=m^n \)
\( \left(bQ_n\right)^n=2\sqrt{a_n^nm^n} \)

Es decir en general de \( R+S=T+U \) no se deduce que \( R=T \) y \( S=U \).

Por ejemplo:

\( 5^3+12^3=7^3+1510 \)

pero obviamente \( 5^3\neq 7^3 \) y \( 12^3\neq 1510 \).

Saludos.