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Mensajes - Hauss

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Hola.

No sé si funcione, aunque creo yo que no, pero también se da una fórmula alternativa para la \( \kappa_2(A)=\dfrac{\sigma_{max}}{\sigma_{min}} \), donde \( \sigma_{max}, \sigma_{min} \) representan el mayor y el menor valor singular respectivamente.

Digo que no creo que funcione, pues la deducción que conozco proviene de la existencia de la inversa. Aunque con esto, si consideramos el teorema de descomposición en valores singulares, para toda matriz podríamos obtener el número de condición respecto a la 2-norma.

Cómo nota, esto último y el ejercicio mismo, lo encontré en el libro de Golub, "Matrix computations".

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Hola, no sé si este sea el lugar correcto para la siguiente pregunta, pero la han puesto en mi curso de álgebra lineal aunque cuando busco información relacionada me dirige a tópicos de análisis numérico y otras cosas, bueno, la duda es la siguiente:

Definimos el número de condición respecto a la 2-norma como: \( \kappa_2(A)=||A||_2 ||A^{-1}||_2 \), el ejercicio es el siguiente:\( \\ \)
Relacionar el número de condición respecto a la 2-norma de \( X\in \Bbb R^{m\times n}\ (m\geq n) \) con el número de condición respecto a la 2-norma de las matrices:
\[ B=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
I_m & X\\
0 & I_n
\end{bmatrix}
\end{equation} \] y \[ C=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
X\\
I_n
\end{bmatrix}
\end{equation}  \]

Bueno, hay una identidad que nos dice que si B es una submatriz de una matriz A, se tiene que \( ||B||_2\leq ||A||_2 \). Entonces traté de aplicar esto directamente, de la siguiente forma:
\[ k_2(X)=||X||_2 ||X^{-1}||_2\leq ||B||_2||B^{-1}||_2=k_2(B) \] y en el otro caso es muy similar, pero hice algunas pruebas numéricas para algunas matrices y no concuerdan los resultados, yo pienso que mi error radica en que no necesariamente se tendría que \( X^{-1} \) sea submatriz de \( C^{-1} \). Numéricamente obtengo la conjetura de que:\[ \kappa_2(C)\leq \kappa_2(X) \leq \kappa_2(B) \], pero no veo como probarlo.

Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar de antemano y una disculpa si no está publicada en el tópico correcto.

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Teoría de Conjuntos / Re: Numerabilidad
« en: 29 Enero, 2021, 09:52 pm »
Muchas gracias a todos por sus respuestas, me sirven mucho para aprender como atacar este tipo de problemas.

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Teoría de Conjuntos / Propiedades de un subconjunto H
« en: 29 Enero, 2021, 04:09 pm »
Hola, tengo un problema que me resulta muy ambiguo, pues no comprendo que es lo que se me pide concretamente, pero he hecho un intento de acuerdo a lo que he entendido:

Sea \( H\subset \mathbb R \). ¿Qué propiedades de H expresan las siguientes fórmulas?

\( \text{a) }(\forall x\in \mathbb R)(\exists y\in H)(x<y) \)

\( \text{b) }(\forall x\in H)(\exists y\in \mathbb R)(x<y) \)

\( \text{c) }(\forall x\in H)(\exists y\in H)(x<y) \)

Lo que he intentado ha sido lo siguiente:

a) Aquí haciendo un dibujo lo que he notado es que H no está acotado superiormente
b) En un principio creía que esto implicaba que H tenia la misma cardinalidad que los reales, pero vi que no, tomando por ejemplo \( H=\{0\} \), así que está aun no la tengo
c) En esta creo que si se sigue que H tiene la misma cardinalidad que los reales

No sé si estoy en lo correcto o si esas son las propiedades del conjunto H o tiene algunas más simples, espero me puedan ayudar

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Teoría de Conjuntos / Re: Numerabilidad
« en: 29 Enero, 2021, 03:53 pm »
Muchas gracias!

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Teoría de Conjuntos / Numerabilidad
« en: 29 Enero, 2021, 03:18 pm »
Hola, tengo el siguiente problema:

Sea \( S\subset \mathbb R \) no numerable. Demuestre que existe \( t\in \mathbb R \) tal que \( S\cap (-\infty, t) \) y \( S\cap (t,\infty) \) son ambos no numerables.

Intuitivamente es fácil ver que existe tal \( t \), tomándolo de modo que la intersección no es vacía y como la intersección es no vacía y de modo que no nos quede un conjunto con un solo punto tendremos que es no numerable. Lo que me cuesta trabajo es ¿Cómo mostrar que existe dicha \( t \)? Espero me puedan ayudar, de antemano muchas gracias.

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Muy bien, muchas gracias, ya entiendo.

Saludos.

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Muchas gracias Luis, ya lo he hecho, si me quedó como dices. Nadamas para confirmar si entendí, entonces la imagen de los vectores \( (1,0),(0,1) \) bajo la diferencial de la función son los vectores columna de la matriz, es decir, son funciones? (para este caso en particular)

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Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que los vectores imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial de \( \dfrac{1}{z} \) también son ortogonales para toda \( z\in \mathbb{C} \)

Me han dado que la diferencial de la función se puede representar por la \begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}, donde \( u,v \) son las partes real e imaginaria respectivamente de la función y esto está identificado con la matriz \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix} de donde nos da el vector \( (a,b) \). Lo que he hecho entonces he obtenido que el diferencial es el siguiente:

\begin{pmatrix}{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\\{\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}\end{pmatrix}

(Teniendo que \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2} \))
Evaluando en \( (1,0) \) tenemos la matriz \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} que corresponde al vector \( (-1,0) \) y para el vector \( (0,1) \) obtenemos el vector \( (1,0) \), así las imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial son los vectores \( (1,0), (-1,0) \) pero estos vectores no son ortogonales.

No sé si yo tengo un error o si lo que piden demostrar es incorrecto, espero me puedan ayudar por favor, gracias.

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Anda pues perdona, es que a veces significa plano complejo ampliado. Olvida lo que puse.

No pasa nada, disculpen ustedes por no especificar eso, gracias por la atención de cualquier forma!.

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No entiendo exactamente qué problemas ves o en que sentido contradice algo que has hecho antes.

Hola, \( \mathbb{C^{*}} \) denota el plano complejo menos el cero.

El único problema que tenia es que pensaba que los coeficientes debían ser especiales o algo así, pero creo que es solo notación, solo eso me causaba confusión, muchas gracias!

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Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.

Gracias de antemano.

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Muy bien, muchísimas gracias, creo que el otro método que mencionas se sale del alcance de mis cursos, solo queda la prueba mediante el teorema de Cauchy :D

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Muchas gracias por la ayuda, no se me había ocurrido esa forma de resolverlo.

Nadamas por mera curiosidad, me podrías mencionar algún otro método para demostrar que no son homotópos?

Gracias de antemano.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Homotopía de lazos.
« en: 07 Enero, 2021, 10:41 pm »
Hola, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Considera los lazos \( \gamma(t)=e^{2i \pi t}, \alpha(t)=e^{-2i \pi t} \) basados en 1. Demostrar que son homotópicos en \( \mathbb{C} \). Demostrar que no son homotópicos en el anillo \( \dfrac{1}{2}<|z|<1 \)

Para la parte de la homotopía en \( \mathbb{C} \), si consideramos la función \( H(s,t)=(1-t)\gamma(s)+t \alpha(s) \) se verifica que los lazos son homotópicos en todo el plano complejo. Con la parte que tengo problema, es con la parte de que no son homotópicos en el anillo que menciona el ejercicio. He pensado ver que son homotópicos en el complemento, pero creo que ese razonamiento no tiene sentido por el punto en el que están basados los lazos, no sé si hacerlo por contradicción seria una buena opción, pero no veo de donde se llegaría a una contradicción. Espero me puedan ayudar, muchas gracias.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo bien definido.
« en: 28 Diciembre, 2020, 08:03 pm »
Pero ¿hay que especificarla o en general se entiende que si no se pone es la principal?

Bueno, a mi entender la elección del \( z_0 \) da la elección de la franja del logaritmo que se ha de usar, una vez que se escoge \( z_0 \), el término \( \log(z_0-\alpha) \) queda determinada en \( U \).

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo bien definido.
« en: 28 Diciembre, 2020, 06:03 pm »
Muchas gracias por la respuesta Luis, me ha quedado todo claro.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Logaritmo bien definido.
« en: 27 Diciembre, 2020, 12:10 am »
Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

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Muchas gracias, ya me ha quedado muy claro

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Muchas gracias, es en el disco abierto, en el link que adjuntas lo que hacen es una sobreyectiva \( f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{H}-i \), haciendo una traslación y la composición bastaría para obtener la función que se busca?

Edición: me ha surgido una duda más, con la construcción que se hace e identificando el plano complejo con \( \mathbb{R}^2 \), entonces se puede concluir que estos espacios son homeomorfos?

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