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Temas - Hauss

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1
Hola, no sé si este sea el lugar correcto para la siguiente pregunta, pero la han puesto en mi curso de álgebra lineal aunque cuando busco información relacionada me dirige a tópicos de análisis numérico y otras cosas, bueno, la duda es la siguiente:

Definimos el número de condición respecto a la 2-norma como: \( \kappa_2(A)=||A||_2 ||A^{-1}||_2 \), el ejercicio es el siguiente:\( \\ \)
Relacionar el número de condición respecto a la 2-norma de \( X\in \Bbb R^{m\times n}\ (m\geq n) \) con el número de condición respecto a la 2-norma de las matrices:
\[ B=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
I_m & X\\
0 & I_n
\end{bmatrix}
\end{equation} \] y \[ C=\begin{equation}
\begin{bmatrix}
X\\
I_n
\end{bmatrix}
\end{equation}  \]

Bueno, hay una identidad que nos dice que si B es una submatriz de una matriz A, se tiene que \( ||B||_2\leq ||A||_2 \). Entonces traté de aplicar esto directamente, de la siguiente forma:
\[ k_2(X)=||X||_2 ||X^{-1}||_2\leq ||B||_2||B^{-1}||_2=k_2(B) \] y en el otro caso es muy similar, pero hice algunas pruebas numéricas para algunas matrices y no concuerdan los resultados, yo pienso que mi error radica en que no necesariamente se tendría que \( X^{-1} \) sea submatriz de \( C^{-1} \). Numéricamente obtengo la conjetura de que:\[ \kappa_2(C)\leq \kappa_2(X) \leq \kappa_2(B) \], pero no veo como probarlo.

Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar de antemano y una disculpa si no está publicada en el tópico correcto.

2
Teoría de Conjuntos / Propiedades de un subconjunto H
« en: 29 Enero, 2021, 04:09 pm »
Hola, tengo un problema que me resulta muy ambiguo, pues no comprendo que es lo que se me pide concretamente, pero he hecho un intento de acuerdo a lo que he entendido:

Sea \( H\subset \mathbb R \). ¿Qué propiedades de H expresan las siguientes fórmulas?

\( \text{a) }(\forall x\in \mathbb R)(\exists y\in H)(x<y) \)

\( \text{b) }(\forall x\in H)(\exists y\in \mathbb R)(x<y) \)

\( \text{c) }(\forall x\in H)(\exists y\in H)(x<y) \)

Lo que he intentado ha sido lo siguiente:

a) Aquí haciendo un dibujo lo que he notado es que H no está acotado superiormente
b) En un principio creía que esto implicaba que H tenia la misma cardinalidad que los reales, pero vi que no, tomando por ejemplo \( H=\{0\} \), así que está aun no la tengo
c) En esta creo que si se sigue que H tiene la misma cardinalidad que los reales

No sé si estoy en lo correcto o si esas son las propiedades del conjunto H o tiene algunas más simples, espero me puedan ayudar

3
Teoría de Conjuntos / Numerabilidad
« en: 29 Enero, 2021, 03:18 pm »
Hola, tengo el siguiente problema:

Sea \( S\subset \mathbb R \) no numerable. Demuestre que existe \( t\in \mathbb R \) tal que \( S\cap (-\infty, t) \) y \( S\cap (t,\infty) \) son ambos no numerables.

Intuitivamente es fácil ver que existe tal \( t \), tomándolo de modo que la intersección no es vacía y como la intersección es no vacía y de modo que no nos quede un conjunto con un solo punto tendremos que es no numerable. Lo que me cuesta trabajo es ¿Cómo mostrar que existe dicha \( t \)? Espero me puedan ayudar, de antemano muchas gracias.

4
Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que los vectores imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial de \( \dfrac{1}{z} \) también son ortogonales para toda \( z\in \mathbb{C} \)

Me han dado que la diferencial de la función se puede representar por la \begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}, donde \( u,v \) son las partes real e imaginaria respectivamente de la función y esto está identificado con la matriz \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix} de donde nos da el vector \( (a,b) \). Lo que he hecho entonces he obtenido que el diferencial es el siguiente:

\begin{pmatrix}{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\\{\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}\end{pmatrix}

(Teniendo que \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2} \))
Evaluando en \( (1,0) \) tenemos la matriz \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} que corresponde al vector \( (-1,0) \) y para el vector \( (0,1) \) obtenemos el vector \( (1,0) \), así las imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial son los vectores \( (1,0), (-1,0) \) pero estos vectores no son ortogonales.

No sé si yo tengo un error o si lo que piden demostrar es incorrecto, espero me puedan ayudar por favor, gracias.

5
Hola, tengo el siguiente problema y hay unas partes que me confunden:

Supongamos que \( f:\mathbb{C^{*}}\rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa. Demostrar que si \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \), entonces \( f(z) \) se puede escribir de la forma:

\( f(z)=\dfrac{a_{k}}{z^{k}}+...+\dfrac{a_{1}}{z}+a_{0}+b_{1} z+...+b_{l} z^{l} \)

Bueno, mi solución fue la siguiente:

La condición de \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow 0 \) implica que \( f \) tiene un polo en el origen. Sea \( k \) el orden de dicho polo. Entonces \( g(z)=z^{k} f(z) \) tiene una singularidad removible en el origen y por lo tanto se puede extender de manera holomorfa a una función entera.

Anteriormente había resuelto un problema que decía:

Muestre que si \( f \) es entera y \( f(z)\rightarrow \infty \) cuando \( z\rightarrow \infty \) entonces \( f \) es un polinomio.

Entonces usando ese resultado, podemos mostrar que \( g(z) \) es un polinomio y así entonces \( f(z)=\dfrac{g(z)}{z^{k}} \)

Que es la forma que buscamos en el resultado. Con eso me parece que queda el resultado, pero tengo problemas en el sentido de que al ver en un principio dicho ejercicio, busqué relacionar los coeficientes \( a_{i} \) y \( b_{i} \) con la serie de Laurent de la función.

Espero puedan ayudarme para ver si es correcta la prueba o ver que puede corregirse.

Gracias de antemano.

6
Variable compleja y Análisis de Fourier / Homotopía de lazos.
« en: 07 Enero, 2021, 10:41 pm »
Hola, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

Considera los lazos \( \gamma(t)=e^{2i \pi t}, \alpha(t)=e^{-2i \pi t} \) basados en 1. Demostrar que son homotópicos en \( \mathbb{C} \). Demostrar que no son homotópicos en el anillo \( \dfrac{1}{2}<|z|<1 \)

Para la parte de la homotopía en \( \mathbb{C} \), si consideramos la función \( H(s,t)=(1-t)\gamma(s)+t \alpha(s) \) se verifica que los lazos son homotópicos en todo el plano complejo. Con la parte que tengo problema, es con la parte de que no son homotópicos en el anillo que menciona el ejercicio. He pensado ver que son homotópicos en el complemento, pero creo que ese razonamiento no tiene sentido por el punto en el que están basados los lazos, no sé si hacerlo por contradicción seria una buena opción, pero no veo de donde se llegaría a una contradicción. Espero me puedan ayudar, muchas gracias.

7
Variable compleja y Análisis de Fourier / Logaritmo bien definido.
« en: 27 Diciembre, 2020, 12:10 am »
Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( U \subset \mathbb{C} \) es dominio simplemente conexo y \( \alpha \in \mathbb{C}\setminus U \) entonces log\( (z-\alpha) \) está bien definido para todo \( z\in U \)

Lo unico que he intentado es probar que \( \dfrac{1}{z-\alpha} \) tienen antiderivada en \( U \), eso se me ha ocurrido únicamente por como se da en el caso real, de que la antiderivada de \( \dfrac{1}{x} \) es log\( (x) \), pero no sé si es correcto aplicar lo mismo en el caso complejo.

Les agradeceria mucho cualquier ayuda que pueda brindarme, gracias.

8
Hola, tengo la siguiente duda:

¿Existe una función \( f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{C} \) que sea holomorfa y suprayectiva?

Esto nos lo ha mencionado mi profesor cuando nos estaba presentando el grupo de automorfismos del disco unitario, él dijo que no era posible la existencia de tal función, pero a mi no me ha quedado claro ¿por qué?, lo he pensado bastante y no logro ver cual es el motivo de que no exista tal función. Desde el punto de vista topológico creo que lo que se puede ver es que no hay una continua que haga eso (creo), por el hecho de que las continuas mandan compactos en compactos y el disco es compacto, pero la holomorfia de la función es a mi parecer un poco más fuerte que la continuidad.

Le agradecería mucho su ayuda para aclararme esta duda y de antemano, gracias.



9
Teoría de Conjuntos / Preservación de orden.
« en: 09 Diciembre, 2020, 06:31 am »
Hola, estoy aprendiendo recién sobre ordenes en teoría de conjuntos y he encontrado un ejercicio que dice lo siguiente:

“Pruebe por medio de un ejemplo que si \( (P,\leq) \) y \( (Q,\leq) \) son conjuntos parcialmente ordenados y \( f:P\rightarrow Q \) es una biyección que preserva el orden, entonces \( f^{-1}:Q\rightarrow P \) no necesariamente preserva el orden.”

Este problema me ha causado conflicto porque me parece que la primera es la definición de un isomorfismo de orden y entonces por ende también su inversa seria un isomorfismo, pero no estoy muy seguro.

Espero me puedan ayudar con esto, gracias.

10
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Si \( f:B_2 (0) \rightarrow \mathbb{C} \) es holomorfa tal qué \( f(\mathbb{S}^{1})\subset B_{r}(z_{0}) \) entonces \( f(\mathbb{B}^{2})\subset B_{r}(z_{0}) \)

Donde:
\( B_{r}(z_{0})=\{z \in \mathbb{C} : |z-z_{0}|<r \} \)
\( \mathbb{B}^{2}=\{z \in \mathbb{C} : |z|< 1 \} \)
\( \mathbb{S}^{1}=\{z \in \mathbb{C} : |z|= 1 \} \)

Cuando leí acerca de la fórmula integral de Cauchy, mencionaban que "los valores de una función dentro de un disco quedan determinados por su frontera", entonces creo que este resultado se desprende de esto.
Otra manera en la que he pensado atacar el problema es usar el principio del máximo a \( g(z)=f(z)-z_{0} \), pero de igual forma este se desprende de la fórmula integral de Cauchy y no sé como expresar esta prueba, les agradezco de antemano cualquiera ayuda que me puedan brindar, gracias.

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Análisis Matemático / Homeomorfismo.
« en: 28 Agosto, 2020, 06:30 am »
Hola, tengo el siguiente problema:

Demostrar que si \( I=[0,1] \subseteq \mathbb{R} \) y \( \sim \) es la relación de equivalencia \( x \sim x´  \) si y sólo si \( \{x,x´\}=\{0,1\} \) o \( x=x´ \) entonces \( I/ \sim \) es homeomorfo a \( S^{1}=\{x \in \mathbb{R^{2}} \ : ||x||=1 \} \)

Lo que he hecho ha sido identificar a \( \mathbb{R^{2}} \) con el plano complejo y utilizar la función \( f(x)=e^{2 i \pi x} \), la cuál me parece que funciona como homeomorfismo, en lo que tengo duda es, esta función es casi biyectiva, a excepción de que \( f(1)=f(0) \), pero me parece que con la relación de equivalente lo que nos dice es que \( [0]=[1] \) y entonces con esto ya se convierte en una función continua, biyectiva y con inversa continua. ¿Me podrían decir si es esto correcto por favor?

De antemano, gracias.

12
Hola, me he encontrado con el siguiente resultado:

Sean \( f, g : (X, d_X ) → \mathbb{R}  \) funciones continuas. Probar que el conjunto \( \{x\in X:f (x) = g(x)\} \) es cerrado en \( X \).

Podrían ayudarme a demostrarlo por favor o en su defecto, ver si es falso, gracias.

13
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Probar que si \( (x_n ) \) es una sucesión en \( (X, d) \) que converge a un punto \( x \), entonces {\( x_n \)}\( _{n∈\mathbb{N}}\cup \) {\( x \)} es un espacio compacto.

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Hola, qué tal, podrían ayudarme con el siguiente problema por favor:

Encuentre el mapeo conforme del disco \( |z − 4i| < 2 \) al semiplano \( v < u \), \( (w = u + iv) \) tal que el centro del disco se mapee al punto \( 4 \) y el punto \( 2i \) se mapee al origen.

He intentado lo siguiente para buscar el mapeo, pero hay una parte en la que tengo duda:
Con \( w_1=z-4i \) llevamos el disco al origen, con \( w_2=\dfrac{w_1}{2} \) lo convertimos al disco unitario, lo llevamos al semiplano superior con \( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2+i} \) y con \( w_4=i\dfrac{\log(w_3)}{\alpha} \) con \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \) llevamos al semiplano superior al semiplano que buscamos.
Por tanto la transformación que hace lo que buscamos es \( w(z)=w_4(w_3(w_2(w_1(z)))) \)

Aun me falta ver que cumpla con las condiciones requeridas, pero mi duda principalmente es lo que he señalado con rojo, intuyo que cumple con lo que busco, pero no sé si estoy en lo correcto.
Agradecería si me dijeran que tengo mal o si ustedes tienen alguna otra forma de resolverlo.

Gracias.

15
Variable compleja y Análisis de Fourier / Mapeos conformes.
« en: 28 Junio, 2020, 04:08 am »
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Encuentre el mapeo conforme del angulo \( −\frac{\pi}{4} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \) al semiplano derecho \( Re(w) > 0 \) tal que \( w(1 − i) = 2, w(i) = 1, w(0) = 0. \)

He visto un ejemplo similar con \( −\frac{\pi}{2} < Arg (z) < \frac{\pi}{2} \), he intentado seguir el mismo patrón, pero no he podido, por la apertura de ese angulo. Agradeceria mucho si me ayudara, gracias.

16
Variable compleja y Análisis de Fourier / Ceros y polos.
« en: 27 Junio, 2020, 11:26 pm »
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sea \( f \) analítica en \( \overline{D} \) menos un número finito de puntos interiores donde \( f \) tiene polos. Demuestre que si \( 0 < |f(z)| < 1 \) sobre \( ∂D \), entonces el número de polos de \( f \) en \( D \) es igual al número de raíıces de la ecuación \( f(z) = 1 \) en \( D \).

He intentado lo siguiente:
Escribimos \( 1-f=\frac{g}{h} \) con \( g,h \) analiticas en el disco unitario cerrado y entonces tenemos que \( 0<|1-\frac{g}{h}|<1 \) en la frontera, entonces \( g,h \) tienen el mismo número de ceros en el disco unitario; los  ceros de \( g \) son soluciones de \( 1-f=0 \) y los ceros de \( h \) son polos de \( f \), entonces concluimos.

Me podrían decir si mi argumento es correcto o si tienen algun otro por favor. Gracias.

17
Hola, podrían ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Demostrar que para todo \( n ≥ 3 \), el polı́gono regular de \( n \) lados está inscrito en un cı́rculo.

Es un hecho que se me hace muy evidente, pero no sé como escribir la demostración y les agradecería mucho que me ayudarán

18
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Suponer que \( C  \) es cı́rculo con centro \( O \) y \( P \) es un punto fuera de \( C \).
(a) Demostrar que si \( Q, R ∈ C \) son tales que \( PQ \) y \( PR \) son tangentes a \( C \), entonces \( PQ= PR. \)
(b) Demostrar que el cuadrilátero \( PQOR \) es cı́clico.
(c) Suponer que trazamos la recta determinada por \( P O \) y que dicha recta intersecta a \( C \) en \( M \) y \( N \) . Demostrar que \( P M · P N = P Q^2 \)  .

He logrado probar a) y b). Les agradeceria si me ayudaran con el inciso c) por favor.

Gracias.

19
Triángulos / Propiedad de la bisectriz de un triángulo.
« en: 26 Junio, 2020, 07:14 am »
Hola, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Supongase que \( ABC \) es un triángulo rectángulo con \( \angle A=\frac{\pi}{2} \). Demostrar que la bisectriz por \( A \) bisecta también al ángulo entre la mediana por \( A \) y la altura por \( A \) de \( ABC \)

Gracias.

20
Geometría sintética (Euclídea, Plana) / Polígonos regulares
« en: 26 Junio, 2020, 05:56 am »
Hola que tal, podría ayudarme con el siguiente ejercicio por favor:

Suponga que \( P \) es un polı́gono regular de \( n \) lados y que cada lado tiene longitud \( l \). Demostrar que el polígono que se obtiene al unir los puntos medios de las aristas de \( P \) también es regular y calcular las longitudes de sus lados en términos de \( l \).

Gracias.

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