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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: lina.galvism en 06 Diciembre, 2020, 01:09 pm

Título: Conjuntos finitos
Publicado por: lina.galvism en 06 Diciembre, 2020, 01:09 pm
Hola a todos, espero se encuentren bien, tengo la siguiente idea sobre este ejercicio:

"Sea A y B conjuntos finitos dijuntos dos a dos. Use inducción para probar que si \( A\equiv m \) y \( B\equiv n \), entonces \( A\cup B \equiv m+n \). Concluya que la unión de conjuntos finitos es un conjunto finito. (Para esta notación \( \equiv \) significa equipotencia)"

La idea que tengo sobre el ejercicio es hacer inducción tomando a C={\( m+n\in\omega \) donde \( A\equiv m \) y \( B\equiv n \mid \) \( A\cup B\equiv m+n \) }, probar que es inductivo, sin embargo tengo la duda de si podría salir de esa forma.

Gracias!!!



Título: Re: Conjuntos finitos
Publicado por: mathtruco en 07 Diciembre, 2020, 12:17 am
Hola lina.galvism.

Lo primero, si son dos conjuntos, no es necesario escribir "disjuntos dos a dos", basta con decir "disjuntos".

Para la demostración, supone que tienes un conjunto con \( A \) con \( m \) elementos y un conjunto \( B \) con \( n \) elementos. La inducción que debes probar es sobre \( n \).

Proposición:  Si el conjjunto \( A \) tiene \( m \) elementos y el conjunto \( B \) tiene \( n \) elementos, y estos conjuntos son disjuntos, entonces el conjunto \( A\cup B \) tiene \( m+n \) elementos.

Probemos el resultado anterior para \( n=1 \). Como \( A \) tiene \( m \) elementos, existe una biyección \( f:A\rightarrow\{1,\dots m\} \). Como \( n=1 \), entonces \( B=\{b_1\} \). Es fácil ver que la siguiente función es una biyección: \( g:\{1,\dots m,m+1\} \),  definida por \( g(i)=f(i) \) para \( i=1,2,\dots m \) y \( g(m+1)=b_1 \).

Te dejo la pregunta, ¿Por qué crees imprescindible que los conjuntos sean disjuntos?

Entendido hasta acá, es fácil terminar la demostración vía inducción.
Título: Re: Conjuntos finitos
Publicado por: lina.galvism en 14 Diciembre, 2020, 03:10 am
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Te dejo la pregunta, ¿Por qué crees imprescindible que los conjuntos sean disjuntos?

Entendido hasta acá, es fácil terminar la demostración vía inducción.

Entiendo que los conjuntos son disjuntos para que este bien definida la función con unión. Muchas gracias, tratare de redactar la demostración y te la presento.
Título: Re: Conjuntos finitos
Publicado por: mathtruco en 14 Diciembre, 2020, 04:30 am
Sin dudas es lo mejor, que redactes acá la demostración y entre todos la discutimos.