Hola Campion9999
Me refería a la fórmula
\( F_{m+n}=F_m\cdot F_n+F_{m-1}\cdot F_{n-1} \)
Los argumentos por inducción demuestran pero no muestran y prefieron usar la inducción cuando no me queda más remedio.
A veces, más que interesarme la demostración de un resultado, me interesa más cómo llegar a él, aunque sea heurísticamente.
Me preguntaba si no hay algún argumento que permita deducir esa fórmula. No sé si estoy confundido, pero creo haber visto alguna vez un argumento combinatorio que probaba esa fórmula.
Con respecto a que dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci son coprimos, de hecho, se puede probar que
\( D(F_m,F_n)=F_{D(m,n)} \)
donde \( D \) significa máximo común divisor (la notación \( (a,b) \) me parece un abuso porque se confunde con par ordenado y con intervalo abierto, así que me niego a usarla).
Una observación interesante es la siguiente: aplicando el Algoritmo de Euclides se puede probar \( D(F_m,F_{m+1})=1 \) (como ya han indicado) pero, de paso cañazo, si no aplicamos inducción, se obtiene la Fórmula de Cassini
\( F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n \)
Para los que les interese Álgebra Lineal, se podría publicar en el foro correspondiente un "problema guiado" que permite hallar la Fórmula de Binet, la Fórmula de Cassini, la
\( F_{m+n}=F_m\cdot F_n+F_{m-1}\cdot F_{n-1} \), entre otras.
Gracias,
SebasUy
