[franma]

Buenas,

El centro de masa es:

    \( P_{cm}=\alpha A+\beta B+\gamma C \)

con

    \( \alpha=\dfrac{m_1}{m_1+m_2+m_3} \),  \( \beta=\dfrac{m_2}{m_1+m_2+m_3} \)   y   \( \gamma=\dfrac{m_3}{m_1+m_2+m_3} \).

Nota que \( \alpha+\beta+\gamma=1 \) y que \( \alpha,\beta,\gamma\in (0,1) \).

Excelente mathtruco! Muchas gracias por toda la ayuda con este ejercicio.

Saludos,
Franco.

[mathtruco]

No sé si es evidente continuar el ejercicio hasta ahí, no he tirado lápiz, pero mi sospecha es que es análogo a lo anterior. Así que antes de cantar victoria, trata de resolverlo y nos cuentas cómo te va 

[Richard R Richard]

Si pudiese armar este "plano acotado" que pase por \( A,B,C \) luego podría intentar demostrar que el centro de masa pertenece a este "plano acotado".

Si te refieres a que si con A,B y C , que no estan en la misma recta , puedes trazar un plano que los contenga,
seguro que puedes demostrar que el CM de las tres masas pertenece al plano.
 
y si luego colocas una masa 4 en el punto D que pertenece al plano, o n masas sobre el mismo plano ,  seguro que puedes demostrar que el nuevo CM de las 4  o mas masas conjuntas pertenece al mismo plano.

[franma]

Buenas,

No sé si es evidente continuar el ejercicio hasta ahí, no he tirado lápiz, pero mi sospecha es que es análogo a lo anterior. Así que antes de cantar victoria, trata de resolverlo y nos cuentas cómo te va 

Parece que grite antes de tiempo  .

Llegue hasta aquí:

El plano  queda definido por: \( P=A+\lambda(AB)+\mu(AC) \)

\( \alpha A+\beta B+\gamma C = A+\lambda(AB)+\mu(AC) \)

\( A (\alpha - 1) +\beta B+\gamma C = \lambda(AB)+\mu(AC) \)

Recordar que:

\( \alpha = 1 - \beta - \gamma \)

\( A (- \beta - \gamma) +\beta B+\gamma C = \lambda(AB)+\mu(AC) \)

\( \beta (B-A) + \gamma (C-A) = \lambda(B-A)+\mu(C - A) \)

De aquí no se como seguir (creo que me falta una ecuación porque tengo 2 incógnitas y 1 ecuación), además creo que este no es el camino indicado ya que al igual que hoy no estaría probando que pertenece al triangulo si no solo al plano.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola Franco, si puedes demostrar que A,B,C son pertenecientes al mismo plano,  y llegar a probar que contienen al CM en el mismo plano, que ya vimos que es relativamente fácil , solo te queda probar como te indicó  Mathtruco, que \( \lambda \) y \( \mu \) toman valores entre 0 y 1,


cuando valen \( \lambda =0 \) estas en el punto A , cuando es \( \lambda =1 \) en estas en B por ejemplo, como \(  \lambda =\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \) es fácil de probarlo que esa relación siempre esta entre 0 y 1, luego el CM está dentro del triangulo. porque pasa lo mismo con \( \mu \)  en 0 estas en A y con 1 en C.


si tomas un CM armado entre los valores de \( m_2 \) y \( m_3 \) que esta la arista que une B y C, es facil probar que el CM total esta entre esa posición y la posición de A, por lo tanto dentro del triángulo,

[franma]

Buenas,

Hola Franco, si puedes demostrar que A,B,C son pertenecientes al mismo plano,  y llegar a probar que contienen al CM en el mismo plano, que ya vimos que es relativamente fácil , solo te queda probar como te indicó  Mathtruco, que \( \lambda \) y \( \mu \) toman valores entre 0 y 1,

cuando valen \( \lambda =0 \) estas en el punto A , cuando es \( \lambda =1 \) en estas en B por ejemplo, como \(  \lambda =\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \) es fácil de probarlo que esa relación siempre esta entre 0 y 1, luego el CM está dentro del triangulo. porque pasa lo mismo con \( \mu \)  en 0 estas en A y con 1 en C.

si tomas un CM armado entre los valores de \( m_2 \) y \( m_3 \) que esta la arista que une B y C, es facil probar que el CM total esta entre esa posición y la posición de A, por lo tanto dentro del triángulo,

No es necesario "demostrar" que A,B y C están en el mismo plano, ya que por 3 puntos pasa un único plano y es este plano que me armo para proceder con la demostración.

No estoy seguro si estoy bien encaminado con lo que propuse en mi ultimo mensaje, pero creo que no estamos lejos de llegar a la conclusión que necesitamos.

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para la última parte del problema antes de manipular centro de masas alguno tienes que tener claro un criterio para decidir cuando un punto está dentro de un triángulo de vértices \( A,B,C \), siendo \( A,B,C \) tres puntos no colineales.

 1) Todo punto \( X \) del plano \( ABC \) se escribe de manera única como:

 \( X=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \)

Spoiler

En efecto dado que las ecuaciones paramétricas, del plano \( ABC \) son \( X=A+u\vec{AB}+v\vec{AC} \) se tiene que:

\(  X=(1-u-v)A+uB+vC \)

 de manera que tomando \( a=1-u-v \), \( b=u \), \( c=v \) se tienen los coeficientes en las condiciones indicadas.

 En cuanto a la unicidad si:

\(  X=(1-b-c)A+bB+cC=(1-b'-c')A+b'B+c'C \)

 se tiene que:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).

[cerrar]

 2) Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).

Spoiler

Primero notamos lo siguiente. Que un punto \( P \) esté dentro de un triángulo equivale a que esté en el mismo semiplano que cada vértice \( A \) respecto a la división del plano que hace la recta que contiene al lado opuesto.

 Es decir \( A \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( BC \). \( B \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AC \). \( C \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AB \).

 Ahora todo punto interior del segmento \( AP \) puede escribirse de la forma \( (1-t)A+tP \) con \( t\in (0,1) \). Que \( A \) y \( P \) estén en el mismo semiplano que define la recta \( BC \), significa que el segmento \( AP \) no puede cortar a la recta \( BC \). Pero calculemos tal intersección:

\( (1-t)A+tP=sB+(1-s)C \)
\( (1-t)A+taA+tbB+tcC=sB+(1-s)C \)

\( A(1-t+ta)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc-s+s)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( (tb-s)(B-A)+(tc-1+s)(C-A)=0 \)
\( (tb-s)\vec{AB}+(tc-1+s)\vec{AC}=0 \)

Como \( \vec AB \) y \( \vec AC \) son independientes:

\( tb-s=0 \)
\( tc-1+s=0 \)

Sumando:

\( t(b+c)=1 \)

\( t=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{1-a} \) (*)

Ahora para que el punto de corte esté en \( AP \), \( t\in (0,1) \) y en (*) eso equivale a que \( a<0 \).

En otras palabras \( A,P \) están al mismo lado del semiplano delimitado por la recta \( BC \) si y sólo si \( a\geq 0 \).

Haciendo lo análogo con los otros vértices y lados concluimos que:

Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).

[cerrar]

 Ahora la cuestión del centro de masa es inmediata.

Saludos.

[franma]

Buenas,

Hola

 Para la última parte del problema antes de manipular centro de masas alguno tienes que tener claro un criterio para decidir cuando un punto está dentro de un triángulo de vértices \( A,B,C \), siendo \( A,B,C \) tres puntos no colineales.

 1) Todo punto \( X \) del plano \( ABC \) se escribe de manera única como:

 \( X=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \)

Spoiler

En efecto dado que las ecuaciones paramétricas, del plano \( ABC \) son \( X=A+u\vec{AB}+v\vec{AC} \) se tiene que:

\(  X=(1-u-v)A+uB+vC \)

 de manera que tomando \( a=1-u-v \), \( b=u \), \( c=v \) se tienen los coeficientes en las condiciones indicadas.

 En cuanto a la unicidad si:

\(  X=(1-b-c)A+bB+cC=(1-b'-c')A+b'B+c'C \)

 se tiene que:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).

[cerrar]

 2) Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).

Spoiler

Primero notamos lo siguiente. Que un punto \( P \) esté dentro de un triángulo equivale a que esté en el mismo semiplano que cada vértice \( A \) respecto a la división del plano que hace la recta que contiene al lado opuesto.

 Es decir \( A \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( BC \). \( B \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AC \). \( C \) y \( P \) deben de estar en el mismo semiplano que define la recta \( AB \).

 Ahora todo punto interior del segmento \( AP \) puede escribirse de la forma \( (1-t)A+tP \) con \( t\in (0,1) \). Que \( A \) y \( P \) estén en el mismo semiplano que define la recta \( BC \), significa que el segmento \( AP \) no puede cortar a la recta \( BC \). Pero calculemos tal intersección:

\( (1-t)A+tP=sB+(1-s)C \)
\( (1-t)A+taA+tbB+tcC=sB+(1-s)C \)

\( A(1-t+ta)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( A(1-tb-tc-s+s)+B(tb-s)+C(tc-1+s)=0 \)
\( (tb-s)(B-A)+(tc-1+s)(C-A)=0 \)
\( (tb-s)\vec{AB}+(tc-1+s)\vec{AC}=0 \)

Como \( \vec AB \) y \( \vec AC \) son independientes:

\( tb-s=0 \)
\( tc-1+s=0 \)

Sumando:

\( t(b+c)=1 \)

\( t=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{1-a} \) (*)

Ahora para que el punto de corte esté en \( AP \), \( t\in (0,1) \) y en (*) eso equivale a que \( a<0 \).

En otras palabras \( A,P \) están al mismo lado del semiplano delimitado por la recta \( BC \) si y sólo si \( a\geq 0 \).

Haciendo lo análogo con los otros vértices y lados concluimos que:

Un punto  \( P=aA+bB+cC \) con \( a+b+c=1 \) está dentro del triangulo \( A,B,C \) si y sólo si \( a,b,c\geq 0 \).

[cerrar]

 Ahora la cuestión del centro de masa es inmediata.

Saludos.

Creo que lo entendí todo, así que ya con esas 2 "propiedades" o proposiciones se demuestra directo.
Lo que no termino de sacar es la demostración de la 1era proposición pero porque todavía no vimos espacios vectoriales ni bases etc. (Aunque si lo veremos próximamente, cuando ese sea el caso volveré y lo intentare entender de nuevo).

Saludos,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que lo entendí todo, así que ya con esas 2 "propiedades" o proposiciones se demuestra directo.
Lo que no termino de sacar es la demostración de la 1era proposición pero porque todavía no vimos espacios vectoriales ni bases etc. (Aunque si lo veremos próximamente, cuando ese sea el caso volveré y lo intentare entender de nuevo).

¿Pero qué parte es la que no entiendes? Prácticamente dodo puede escribirse de manera autocontenida, sin demasiados conocimientos previos. Si te refieres a esto:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).[/spoiler]

Simplemente si:

\( b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

entonces:

\( (b-b')\vec AB=(c'-c)\vec AC \) (*)

Pero dado que los puntos \( A,B,C \) NO son colineales, los vectores \( \vec AB \) y \( \vec AC \) no son paralelos ni nulos, por tanto la única posibilidad en (*) es que \( b-b'=c-c'=0 \).

Saludos.

[franma]

Buenas,

Si te refieres a esto:

\(  \vec{AX}=b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

 Dado que \( \{\vec{AB},\vec{AC}\} \) son base por la unicidad de las coordenadas de un vector respecto de una base \( b=b' \), \( c=c' \), \( a=1-b-c=1-b'-c'=a' \).[/spoiler]

Simplemente si:

\( b\vec{AB}+c\vec{AC}=b'\vec{AB}+c'\vec{AC} \)

entonces:

\( (b-b')\vec AB=(c'-c)\vec AC \) (*)

Pero dado que los puntos \( A,B,C \) NO son colineales, los vectores \( \vec AB \) y \( \vec AC \) no son paralelos ni nulos, por tanto la única posibilidad en (*) es que \( b-b'=c-c'=0 \).

Saludos.

Era eso si, muchas gracias Luis.

Saludos,
Franco.