Rincón Matemático

Información General => Dudas y sugerencias del foro => Mensaje iniciado por: Marcos Castillo en 06 Abril, 2021, 11:35 am

Título: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 06 Abril, 2021, 11:35 am
Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: sugata en 06 Abril, 2021, 11:47 am
No veo problemas en continuar por aquí poniendo el link a PF y mirando las dudas.
Aunque poner un problema de matemáticas en un foro de Física me parece un poco meh.....
 >:D >:D >:D
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Abril, 2021, 11:56 am
Hola

Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo.

Puedes preguntas cuantas veces sea necesario. En ningún caso resultarás pesado. Entre otras cosas, ¡para eso está el foro!. Tampoco te preocupes por si abrir un nuevo hilo o continuar en el mismo. Haz lo que te parezca más adecuado. En todo caso, nosotros nos encargaríamos de separarlo en dos hilos u unirlos si lo viésemos muy necesario.

Citar
La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

Si puedes preguntar lo que quieras haciendo referencia a los enlaces externos que quieras. No somos celosos.

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Masacroso en 06 Abril, 2021, 11:58 am
Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)

Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)

existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.

Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones al mismo valor implica la convergencia en la sucesión original.

Citar
La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!

El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.

Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 06 Abril, 2021, 07:22 pm
Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)

Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)

existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.

Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones implica la convergencia en la sucesión original.

Este teorema, creo, está en el centro de la resolución que plantea PF. Y no lo tengo en el libro de texto "Cálculo", de Robert A. Adams. El libro de texto sólo afirma que "Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) converge, entonces \( \lim_{n \to \infty}{a_n}=0 \)". La demostración es un cuerpo de texto pequeño (dos líneas).


El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.

Efectivamente.


Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.

Voy a publicar este fin de semana. Mi objetivo inicial es exploratorio, es decir, desconozco el desenlace, pero se ha despertado mi curiosidad.

¡Un saludo, y gracias, RM!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 11 Abril, 2021, 06:32 am
Hola, estimado RM

Bien, lo que he hecho es esto:

\( \{i_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{e}{n} \)

\( \{r_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{1}{n} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{e}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{e}{n}}} \) si \( f=6(x-3)+9 \), y me da 6.

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{1}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{1}{n}}} \) si \( f=x^2 \), y me da 18.

Así que creo que bien: los límites funcionales son 6 y 18.

¿Correcto?.

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Fernando Revilla en 11 Abril, 2021, 10:35 am
¿Correcto?.

No, no es correcto. Has elegido dos sucesiones concretas, y el teorema de caracterización de límtes por sucesiones (https://fernandorevilla.es/blog/2021/03/25/caracterizacion-de-limites-de-funciones-en-espacios-metricos-por-sucesiones/) se refiere a toda sucesión. Una forma de resolver el problema de hallar \( f^\prime (3) \) para

        \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)

es la siguiente: las funciones \( G,H:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) dadas por \( G(x)=x^2 \) y \( H(x)=6(x-3)+9 \) satisfacen 

        \( G^\prime (3)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{G(3+h)-G(3)}{h}=\ldots =6,\quad H^\prime (3)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{H(3+h)-H(3)}{h}\ldots =6. \)

Ahora usamos el conocido teorema:

Si \( F:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) con \( a \) punto de acumulación de \( A \), \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in A}{F(x)}=L \) y \( B\subset A \) con \( a \) punto de acumulación de \( B \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in B}{F(x)}=L \).

Entonces, al ser \(  \mathbb Q\subset \mathbb{R} \), \(  (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{R} \) y \( a=3 \) punto de acumulación tanto de \( \mathbb{Q} \) como de \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), concluimos que \( f^\prime (3)=6. \)
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 11 Abril, 2021, 01:29 pm
Con sucesiones:
Sea \( \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( a_n \) es irracional para todo natural.
2.)\( a_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 3  \).

Sea \( \{b_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) una sucesión tal que todos sus elementos cumplen:
1.) \( b_n \) es racional para todo natural.
2.)\( b_n \neq 3 \) para todo natural
3.)\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} b_n = 3  \).


\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(a_n) - f(3)}{a_n-3}  =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{6\cdot(a_n-3) + 9 - 9}{a_n-3} = 6  \)

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{f(b_n)-f(3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{b_n^2 -9}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(b_n -3) \cdot (b_n +3)}{b_n-3} = \lim_{n \to +\infty}  b_n + 3 = 6 \)

Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 12 Abril, 2021, 04:40 am
Hola, estimado Rincón

Fernando, tu resolución es meridiana, pero necesito un tiempo para familiarizarme con conceptos básicos de topología: por ejemplo el de espacio topológico. Tomemos como referencia http://fernandorevilla.es/blog/2018/05/04/punto-de-acumulacion/.

El enunciado 1 de los ejercicios resueltos sobre puntos de acumulación parte de un espacio topológico, y las definición que encuentro en Wikipedia es engorrosa para mí, o poco formal en YouTube. ¿Qué es un espacio topológico?; ¿por qué \( G \) debe ser abierto?

Juan Pablo:

\( a_n=\dfrac{1}{n}+3 \)

\( b_n=\dfrac{\pi}{n}+3 \)

¿O estoy de nuevo particularizando?.

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Fernando Revilla en 12 Abril, 2021, 06:53 am
Fernando, tu resolución es meridiana, pero necesito un tiempo para familiarizarme con conceptos básicos de topología

Entiendo, no sabía si habíais estudiado conceptos básicos de topología en \( \mathbb{R}. \)

Juan Pablo: \( a_n=\dfrac{1}{n}+3 \) \( b_n=\dfrac{\pi}{n}+3 \)  ¿O estoy de nuevo particularizando?.

Sí, estás particularizando y has de hacerlo para toda sucesión. Fíjate en que Juan Pablo lo hace para sucesiones genéricas en las condiciones del conocido teorema de caracterización del límite de una función por sucesiones.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 12 Abril, 2021, 06:41 pm
Hola

Puede haber una forma de evitar la topología, y las sucesiones que no consigo visualizar. Son tres preguntas que me sugirieron en Physics Forums:

1- ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando restringimos \( c \) a \( \mathbb{Q} \)?

No existe. El cálculo se basa en las propiedades de los reales, y los racionales carecen de completitud.

2-  ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando \( c\notin{Q} \)?

Tampoco existe, por el mismo motivo.

3- ¿Qué precisa \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) para existir cuando \( c \) puede ser cualquier número real?

Precisa un entorno continuo y no abrupto. ¿También podría dar la definición formal de límite?.

Un saludo
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 12 Abril, 2021, 07:35 pm
Puedes usar :
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.msg464969#msg464969

Será \( \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)  \) o \( \displaystyle \lim_{c \to x} f(c)  \) supongo.
Es que la definición de límite es más fina y se debe usar lo que te dice Fernando:

Si \( F:A\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) con \( a \) punto de acumulación de \( A \), \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in A}{F(x)}=L \) y \( B\subset A \) con \( a \) punto de acumulación de \( B \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to a\; x\in B}{F(x)}=L \).

Entonces, al ser \(  \mathbb Q\subset \mathbb{R} \), \(  (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{R} \) y \( a=3 \) punto de acumulación tanto de \( \mathbb{Q} \) como de \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \), concluimos que \( f^\prime (3)=6. \)


Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2021, 09:52 pm
Hola

 No sé si en estas preguntas te refieres a la función \( f(x) \) concreta con la que trabajabas antes o una cualquiera general.

 En principio para una general:
1- ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando restringimos \( c \) a \( \mathbb{Q} \)?

No existe. El cálculo se basa en las propiedades de los reales, y los racionales carecen de completitud.

 La definición de límite es exactamente la misma que en los reales, pero simplemente indicando que \( c\in \mathbb{Q} \).
 
 Así que el límite puede existir perfectamente; otra cosa es que para una función concreta tal límite no exista,

Citar
2-  ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando \( c\notin{Q} \)?

Tampoco existe, por el mismo motivo.

Si existe por el mismo motivo.  :D

Citar
3- ¿Qué precisa \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) para existir cuando \( c \) puede ser cualquier número real?

Precisa un entorno continuo y no abrupto. ¿También podría dar la definición formal de límite?.

Aquí de nuevo: la definición de límite en un punto \( x \) puede hacerse siempre que \( x \) sea un punto de acumulación del dominio de la función.

Otra cosa es que dependiendo de la función y el punto, el límite exista o no (pero ese problema no tiene nada que ver con en que conjunto estamos trabajando).

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 13 Abril, 2021, 11:21 am
Bueno, hay una cuarta alternativa :): estudiarlo mejor. Y otra más, que tampoco descarto: un profesor particular al que ya he acudido en otras ocasiones, muy bueno.
Pero en principio, voy a necesitar tiempo, para estudiarlo mejor: sucesiones, topología... Vamos, la asignatura de la Uned en la que estoy matriculado (sólo me he matriculado en esta, Análisis).
¡Un saludo, RM!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 22 Abril, 2021, 03:23 pm
Hola, estimado RM

El profesor particular no responde. Acudí al tutor de la Uned con las siguientes preguntas:

-¿Cuál es el dominio de la función?
- Probar que la función es derivable sólo en \( x=3 \)
- Probar que es discontinua si \( x\neq 3 \)
Mi objetivo era solucionar estas preguntas prescindiendo de la topología, con argumentos no topológicos :banghead:

Me ha respondido ayer: "Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua, por lo tanto, cuando \( x=3 \), la función existe y además es continua, ya que para todo valor diferente de \( x=3 \) al ser irracional, no existirá.
Si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) desde menos infinito a más infinito."

No entiendo esta respuesta, aunque estoy seguro de que, a pesar de ser expeditiva, es la respuesta.

Dudas:

- ¿Cuál es el dominio de la función?
- En este hilo se demostró, por sucesiones, y topológicamente, que es derivable sólo (sólo, ¿verdad? :-[) en \( x=3 \). En un principio he intentado hacer una aproximación a la topología: YouTube, internet...No lo consigo; por otra parte he decidido no entrar en este área, por centrarme más en cuestiones de análisis, la asignatura que tengo entre manos. Resumiendo, que me ciño al enunciado del Teorema de Caracterización de Límites por Sucesiones. ¿Cuál es en inglés este teorema?. No encuentro nada.
- ¿Tiene algo que ver en el teorema la densidad de \( \mathbb Q \) y \( \mathbb R\setminus{\mathbb Q} \) en \( \mathbb R \)?. No consigo visualizar el concepto de "para toda sucesión \( \left\{{x_n}\right\}_{n\in\mathbb N} \) tal que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left\{{x_n}\right\}}=c \)"

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Abril, 2021, 05:13 pm
Hola

 Entiendo que estás hablando de esta función:

 \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  a de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

-¿Cuál es el dominio de la función?

El dominio de una función es aquellos puntos en los que está definida. En tu caso la función está definida para cualquier número real. Por tanto el dominio es todo \( \Bbb R \).

Si \( x=a \) un número racional su imagen será \( a^2 \).
Si \( x=b \) un número irracional su imagen será \( 6(b-3)+9 \).

Por ejemplo \( f(1/2)=(1/2)^2=1/4 \). Ó \( f(\sqrt{2})=6(\sqrt{2}-3)+9 \).

Citar
- Probar que la función es derivable sólo en \( x=3 \)
- Probar que es discontinua si \( x\neq 3 \)
Mi objetivo era solucionar estas preguntas prescindiendo de la topología, con argumentos no topológicos :banghead:

Antes de nada; en realidad la continuidad es un concepto topológico, por definición. Eso no lo vas poder evitar.

Entonces hay una cosa clave: no se trata de que uses o no argumentos topológicos. Se base en que te bases en RESULTADOS Y DEFINICIONES QUE TU HAYAS ESTUDIADO.

Entonces antes de seguir plantéate:

1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.
2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.
3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.

Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).

Me ha respondido ayer: "Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua, por lo tanto, cuando \( x=3 \), la función existe y además es continua, ya que para todo valor diferente de \( x=3 \) al ser irracional, no existirá.
Si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) desde menos infinito a más infinito."

Insisto en no contestarte más hasta que especifiques que resultados conoces para apoyarte en ellos.

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 23 Abril, 2021, 01:22 am
1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.

Definición. Se dice que una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \)

Con la terminología épsilon-delta la definición de continuidad es de la siguiente forma:

Definición. Una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \), tal que \( |f(x)-f(a)|<\epsilon \) siempre que \( |x-a|<\delta \)

Continuidad por la derecha, por la izquierda, continuidad en un intervalo abierto, en un intervalo cerrado, operaciones con funciones continuas (suma, resta, multiplicación, división y composición)

Teoremas fundamentales sobre las funciones continuas en intervalos

Teorema. Sean \( I \) un intervalo y \( f:I\rightarrow{\mathbb R} \) una función continua. Entonces el conjunto \( f(I)=\{f(x):x\in \mathbb R\} \) es bien un intervalo o bien un punto.

Teoremas de los valores intermedios, Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, continuidad de la función inversa


2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.

Funciones derivables

Tasa de variación media de una función
Tasa de variación instantánea
Derivada de una función en un punto. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Interpretación geométrica de la derivada
Función derivada. Derivadas sucesivas
Derivadas de las operaciones con funciones
Derivadas de las funciones elementales
Interpretación física de la derivada
Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites: L'Hopital, indeterminaciones...
Teoremas de Rolle y del Valor Medio

3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.

Sí. Las funciones definidas a trozos me resultan familiares: determinación de la continuidad en los puntos donde la función cambia de expresión.

Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).

Entendido.

Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.

En el foro Physics Forums me recomiendan plantear al tutor qué camino seguir en el último post

Os dejo un enlace al hilo

https://www.physicsforums.com/threads/thoughts-on-the-derivative-of-a-function.1001549/page-2#post-6483992

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Abril, 2021, 10:31 am
Hola

Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.

Si, SI es una función a trozo. Un trozo son los racionales en los que está definida de una manera y otro trozo los irracionales en los que está definida de otra.

Entonces por definición es derivable en \( 3 \) si existe el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 3}{}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} \) (*)

Ese límite se desdobla en dos, distinguiendo si \( x \) es racional o irracional:

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3} \)

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3} \)

Para que el límite (*) existe los otros dos tienen que existir y tomar el mismo valor, lo cuál puedes demostrar fácilmente.

Formalmente lo que estamos usando es que si tienes \( g:\Bbb D\to \Bbb R \), \( D=A\cup B \) y consideras las restricciones:

\( g_1:\Bbb A\to \Bbb R,\quad g_1(x)=g(x) \)
\( g_2:\Bbb B\to \Bbb R,\quad g_2(x)=g(x) \)

Entonces si:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g_1(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}{}g_2(x)=L \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=L \)

Si nunca te han dado este resultado deberías de intentar probarlo con epsilon-deltas, es bastante sencillo. Antes deberías de entender que lo que dice es muy razonable; si divides tu dominio en dos subconjuntos y acercándote a un punto \( a \), por cualquier de los dos subconjunto tu función se acerca a un mismo valor, entonces la función se acerca a ese valor al acercarse a \( a \) por todo el domino.

Podrías hacer la demostración específica para tu caso particular, es decir, usando que los dos límites separados tiene el mismo valor demostrar que el límite original lo tiene. Pero sería perder el tiempo en un caso particular, cuando con el mismo esfuerzo puedes demostrar el caso general.

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 23 Abril, 2021, 02:43 pm
¡Muchas gracias, Luis!

Tengo que estudiar tu mensaje, y hacer los deberes. Te confieso que en un rápido vistazo me ha sonado todo, pero debo leerlo más detenidamente. Ya tengo toda la información en mis manos. En una semana os escribo. Mi objetivo, o mejor dicho, mi decisión, es: o bien lo soluciono por mí mismo, o bien lo abandono y retomo el libro de la asignatura en la que estoy matriculado (Análisis, del primer curso del grado de físicas). Pero no más mensajes. Arrastro el ejercicio desde hace mucho tiempo. Son muchos mensajes en dos foros diferentes, y ningún avance significativo por mi parte hasta el momento.

En cuanto al hilo que abrí en Physics Forums, no voy a aburrirles más. Voy a informarles de mi decisión: un último mensaje en RM en torno a este ejercicio, en este hilo, dentro de una semana, y un mensaje que voy a redactar a continuación, en el que, lo mejor que pueda, comunico mi intención de dejar de importunarles con mis preguntas.

¡Un abrazo, RM!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 27 Abril, 2021, 05:51 pm
Hola, estimado RM.

No sé si he hecho bien el razonamiento. Estoy bastante seguro de los primeros pasos, pero no de la segunda parte. He dividido en dos el mensaje: (1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \); y (2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?. Gracias de antemano, RM. Ahí va:

¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) tiene derivada sólo en \( x=3 \)?

(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)

Este límite se convierte en dos:

(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)

Prueba de (a)

Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):

\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)

Prueba de (b)

Para \( x\in \mathbb I\;\forall{\epsilon_2>0}\;\exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{|h(x)-9|=|(6(x-3)+9)-9|<\epsilon_2} \):

\( \delta_2=\dfrac{\epsilon_2}{6} \)

\( \delta=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3},\dfrac{\epsilon_2}{6}}\right ) \)


Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto \( a \) por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.

Prueba:

\( f:\mathbb R\rightarrow{\mathbb R} \)

\( h:\mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \)

\( g:\mathbb R\setminus{\mathbb Q}\rightarrow{\mathbb R} \)

(2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?

Asumamos que \( h(x)\neq g(x) \) si \( x\neq 3 \)

Tomamos \( \epsilon=|g(x)-h(x)|/2 \)

Como \( h \) es continuo en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|h(x)-6|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-6|=|h(x)-6|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-6|}\geq |g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-h(3)|\geq\epsilon \)

Por otra parte, como \( g \) es continua en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|g(x)-9|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-9|=|g(x)-9|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-9|}\geq|g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-g(3)|\geq\epsilon \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \delta>0 \) y \( \epsilon>0 \) y \( \begin{cases}{|f(x)-h(3)|\geq\epsilon}\\|f(x)-g(3)|\geq\epsilon\end{cases} \)

Por lo tanto

\( \exists{\epsilon>0}\;\forall{\delta>0}\;\exists{x\in \mathbb R\setminus{\{3\}}}:\;0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-f(3)|\geq\epsilon \)

¿Correcto?

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 03 Mayo, 2021, 12:19 pm
Hola, estimado foro

Este ejercicio ha puesto a prueba mis conocimientos sobre conjuntos, cálculo, diferenciabilidad, continuidad, funciones... He elaborado en Word otra propuesta de solución, que en su primera parte (correspondiente a la pregunta sobre porqué es derivable en \( x=3 \)) no modifico respecto al último mensaje publicado en este hilo, pero cambio respecto a la segunda parte (por qué no es derivable en \( x\neq 3 \)); aunque persisten las dudas.

He confeccionado el documento en Word, porque mi primera intención era que la Uned me proporcionara la posibilidad de encontrar un graduado al que remunerar en una relación vía correo electrónico y postal...Esto se sale del ámbito del Rincón y de la Uned, por el contexto que vivimos, que ha hecho que el tablón de anuncios se retire. He explorado la vía de encontrar un profesor en la red, pero me genera mucha incertidumbre sobre su efectividad, e incluso inseguridad.

No se ha respondido a mi anterior mensaje. ¿Qué os parece que adjunte otra propuesta? Es menos delirante, pero sigue siendo especulativa y está llena de dudas; pero dudas concisas. El problema es el formato. Pero eso tiene arreglo: puedo teclearla en un día o dos en LaTeX.

¡Un saludo!
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Mayo, 2021, 12:31 pm
Hola
 
 En un rato (que pueden ser algunas horas, hasta 50 pongamos...  ;)) te lo miró.

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 03 Mayo, 2021, 03:01 pm
Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 03 Mayo, 2021, 04:09 pm
Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).

Es que mi problema es que aprobé el Curso de Acceso, pero no tengo ni idea de nada. Este ejercicio me lo ha demostrado. Voy a intentar subir el documento de Word que estaba destinado al profesor particular que esperaba conseguir a través de la Uned. Si no lo consigo, disculpad. No quiero salir del contexto de este documento. Es como comenzar de cero.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Mayo, 2021, 07:52 pm
Hola

Citar
"Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua"

 Simplemente:

 1) Una condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que la función esté definida en un punto.

 Ejemplos: Tu función \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) está definida en todo punto, porque para cualquier \( x\in \Bbb R \) está definido cuanto vale \( f(x). \)

 La función \( f(x)=1/x \) sin embargo no está definida para \( x=0 \). Sería absurdo plantearse la derivabilidad en \( x=0. \)

 2) Otra condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que sea continua. Si NO es continua ya no puede ser derivable. Si es continua, puede ser derivable en ese punto o puede no serlo.

 Recuerda que condición necesaria para que se cumpla una propiedad, es una condición que, si NO se cumple es seguro que la propiedad no se verifica; pero si se cumple, la propiedad podría ser cierta o no.

 Por ejemplo para ganar a lotería es condición necesaria jugar; si no juegas es imposible que la ganes. Ahora, jugar no te garantiza que ganes.

Citar
si  \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \)  , desde menos infinito a mas infinito

 Olvida esta frase; sinceramente pudo querer decir cualquier cosa.

(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)

Este límite se convierte en dos:

(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)

Prueba de (a)

Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):

\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)

Aunque la idea es buena, el problema es que lo que tenías que acotar por \( \varepsilon \) es:

\( \dfrac{x^2-9}{x-3}-6 \)

Tu has estudiado el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}x^2-9=0 \)

en lugar de

\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

Un error análogo lo has cometido en el trozo sobre los irracionales.

Citar
¿Por qué puedo definir límites dentro de los racionales, que tienen huecos en la recta real (viceversa para los irracionales)?

Para definir el concepto de límite en un punto tienes que poder acercarte a él tanto como quieras, simplemente. Puede ser por todos los números reales que hay en medio o dejar algún hueco. No hay ningún problema. Técnicamente no hay más que especificar que la variable \( x \) se mueve en un cierto conjunto \( D \). Y si calculamos el límite en \( x_0 \), tiene que haber puntos en \( D \) distintos de \( x_0 \) a distancia de \( x_0 \) "tan próxima" como queramos.

Citar
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto   por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.

Supón que tienes:

\( f(x)=\begin{cases}{f_1(x)}&\text{si}& x\in A\\f_2(x) & \text{si}& x\in B\end{cases} \)

y

1) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in A}{}f_1(x)=L \)

2) \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in B}{}f_2(x)=L \)

(*) Entonces por (1) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_1<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_1 \), \( x\in A \) entonces \( |f_1(x)-L|<\varepsilon \)

(**) Por (2) dado \( \varepsilon>0 \) existe un \( \delta_2<0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta_2 \), \( x\in B \) entonces \( |f_2(x)-L|<\varepsilon \)

Tomando \( \delta=\min(\delta_1,\delta_2) \) si \( 0<|x-x_0|<\delta \) tenemos:

- Si \( x\in A \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_1 \) y por (*) \( |f(x)-L|=|f_1(x)-L|<\varepsilon \)
- Si \( x\in B \), \( 0<|x-x_0|<\delta\leq \delta_2 \) y por (**) \( |f(x)-L|=|f_2(x)-L|<\varepsilon \)

Es decir, en cualquier caso si  \( 0<|x-x_0|<\delta \) entonces  \( |f(x)-L|<\varepsilon \)

 Después para ver la NO derivabilidad en \( x\neq 3 \), lo más cómodo es ver que tan siquiera es continua (recuerda que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad).

 Para ello basta ver que sobre cada un de los dos conjuntos de definición (racionales e irracionales) el límite de la función en un punto \( x_0\neq 3 \) es diferente:

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}f(x)=x_0^2 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}f(x)=6x_0-9 \)

y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \).

Saludos.
Título: Re: Trabajar a dos bandas, con dos foros a la vez, para resolver una duda
Publicado por: Marcos Castillo en 04 Mayo, 2021, 05:39 am
¡Gracias!. Voy a trabajar un poco el asunto.
Un saludo