Ahora si me cuadra con el resto:
\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)
Saludos.
Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.
El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( A=\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \); \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \); \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)
\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.
Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)
Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)