Hola, estimado RM.
No sé si he hecho bien el razonamiento. Estoy bastante seguro de los primeros pasos, pero no de la segunda parte. He dividido en dos el mensaje: (1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \); y (2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?. Gracias de antemano, RM. Ahí va:
¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) tiene derivada
sólo en \( x=3 \)?
(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)
Este límite se convierte en dos:
(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)
(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)
Prueba de (a)
Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):
\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)
Prueba de (b)
Para \( x\in \mathbb I\;\forall{\epsilon_2>0}\;\exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{|h(x)-9|=|(6(x-3)+9)-9|<\epsilon_2} \):
\( \delta_2=\dfrac{\epsilon_2}{6} \)
\( \delta=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3},\dfrac{\epsilon_2}{6}}\right ) \)
Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto \( a \) por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.
Prueba:
\( f:\mathbb R\rightarrow{\mathbb R} \)
\( h:\mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \)
\( g:\mathbb R\setminus{\mathbb Q}\rightarrow{\mathbb R} \)
(2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)? Asumamos que \( h(x)\neq g(x) \) si \( x\neq 3 \)
Tomamos \( \epsilon=|g(x)-h(x)|/2 \)
Como \( h \) es continuo en \( x=3 \)
\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|h(x)-6|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)
Ahora, por la desigualdad triangular
\( |f(x)-6|=|h(x)-6|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-6|}\geq |g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-h(3)|\geq\epsilon \)
Por otra parte, como \( g \) es continua en \( x=3 \)
\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|g(x)-9|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)
Ahora, por la desigualdad triangular
\( |f(x)-9|=|g(x)-9|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-9|}\geq|g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que
\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-g(3)|\geq\epsilon \)
En consecuencia, hemos encontrado \( \delta>0 \) y \( \epsilon>0 \) y \( \begin{cases}{|f(x)-h(3)|\geq\epsilon}\\|f(x)-g(3)|\geq\epsilon\end{cases} \)
Por lo tanto
\( \exists{\epsilon>0}\;\forall{\delta>0}\;\exists{x\in \mathbb R\setminus{\{3\}}}:\;0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-f(3)|\geq\epsilon \)
¿Correcto?
¡Un saludo!
