[fermon]

Sea \( \mathscr A=\{A _\alpha \in \mathscr I\} \) una familia no vacía de subconjuntos de \( \mathbb R \) que no son vacíos y están acotados superiormente. Sea \( B = \{sup A_{\alpha}: \alpha \in \mathscr I\} \). Demuestre que \( A = \bigcup _{\alpha \in \mathscr I} A _\alpha  \) está acotado superiormente si y sólo si B está acotado superiormente. ¿Qué relación hay entre sup A y sup B, si existen?

He estado sentado pensando y se me ocurre que como A es igual a a la unión, A está acotada superiormente, entonces existe s=supA, por lo que para algún \( \alpha \in \mathscr I \) sup \( A_{\alpha} \).
Entonces, para cada \( \beta \in \mathscr I \), \( \beta \neq \alpha \), sup\( A_{\beta} \leq s \).

Ahora, como para algún \( \alpha \in \mathscr I \), supA=s=sup\( A_{\alpha} \), \( s \in B \). Además \( B =\{sup[t A_{\alpha} : \alpha \in \mathscr I\} \), entonces para cada \( t \in B \), \( t \leq s \), entonces t es cota superior de B, por lo que s=supB pues \( s \in B \).
Por lo tanto B está acotada superiormente.

Siguiendo con el regreso:
B acotada superiormente implica que existe s=sup B, entonces para cada \( t \in B, t \leq s \),si y sólo sí para cada \( \alpha \in \mathscr I \), sup\( A_{\alpha} \leq s \). Entonces para cada \( \alpha \in \mathscr I \) y para cada \( x \in A_{\alpha} \), \( x \leq s \). Por lo que para cada \( x \in A \), \( x \leq s \).
Por lo tanto, A está acotada superiormente.

La relación que veo es que sup A=sup B.

Cualquier corrección y sugerencia es bienvenida. Muchas gracias.

[geómetracat]

No es cierto ni que \[ A \] tenga que estar acotada superiormente ni que, en el caso en que lo esté, \[ \sup A = \sup A_\alpha \] para algún \[ \alpha \in \mathscr{I} \].

Por ejemplo, si \[ A_n = (-\infty,n) \] y \[ \mathscr{I}=\Bbb Z \] todos los conjuntos están acotados superiormente, pero \[ A=\Bbb R \] no está acotado superiormente.
Por otro lado, si \[ A_n=(-\infty,-1/n) \] con \[ \mathscr{I}=\Bbb Z_{>0} \], entonces \[ A=(-\infty,0) \], de manera que \[ \sup A = 0 \], pero sin embargo \[ \sup A_n=-1/n \] no es nunca \[ 0 \].

Para ver que \[ A \] acotado superiormente implica \[ B \] acotado superiormente, observa que si \[ s \] es una cota superior de \[ A \], entonces es una cota superior de cada \[ A_\alpha \]. En particular, \[ \sup A_\alpha \leq s \] para todo \[ \alpha \in \mathscr{I} \], lo que implica que \[ s \] es cota superior de \[ B \] y \[ B \] está acotado superiormente.

Siguiendo con el regreso:
B acotada superiormente implica que existe s=supB, entonces para cada \( t \in B, t \leq s \),si y sólo sí para cada \( \alpha \in \mathscr I \), sup\( A_{\alpha} \leq s \). Entonces para cada \( \alpha \in \mathscr I \) y para cada \( x \in A_{\alpha} \), \( x \leq s \). Por lo que para cada \( x \in A \), \( x \leq s \).
Por lo tanto, A está acotada superiormente.

Este lado está bien.

La relación que veo es que supA=supB.

Bien, pero hay que justificarlo.