[alvarez]

Hola buenas. Querría saber si pueden aportarme las soluciones de este problema. De momento sé hacer la parte del 1. de demostrar la relación de orden, pero ya no más. Cualquier ayuda la agradecería mucho. Un saludo.

P.D: espero haberlo escrito bien, soy nuevo en el Rincón y no sé si se visualizarán bien los signos.

Sean \( A \) y \[ B \] conjuntos no vacíos y sea \[ \leq{}  \] una relación de orden en \[ B \]. Denotemos por \[ B^A \] el conjunto de las aplicaciones \[ f : A \rightarrow{} B \] y consideramos en él la relación \[ \leq{}  \] definida por \[  f \leq{} g \] si y solo si, \[ f(a) \leq{} g(a) \] para todo \[ a \] de \( A \). Se pide:

1. Probar que\[  \leq{} \] es una relación de orden en \[ B^A \] e identificar todos los elementos maximales (resp. minimales) de \[ (B^A;\leq{}) \] en función de correspondientes elementos de \[ (B;\leq{}) \];

2. Probar que \[ (B^A;\leq{}) \] tiene máximo (resp. mínimo) si y solo si, lo tiene \[ (B;\leq{}) \].

3. Cuando \[ B = N \] (los naturales, demostrar que todo subconjunto no-vacío \[ F \] de \[ N^A \] tiene ínfimo. Calcular dicho ínfimo en el caso particular en que \[ A \] es un conjunto infinito y \[ F \] es el subconjunto de las aplicaciones suprayectivas \[ f : A \rightarrow{} N \].

[geómetracat]

Para que se vea el LaTeX es necesario encerrar las fórmulas entre etiquetas [ tex ] ... [ /tex ] (sin los espacios). También las puedes generar con el botón que tiene una \[ \Sigma \] de más a la izquierda. Esta vez te lo hemos arreglado desde moderación.

Deberías poner lo que has hecho y dónde tienes dudas. De todas maneras te dejo unas indicaciones.

Para los maximales, comprueba que \[ f \] es maximal en \[ B^A \] si y solo si \[ f(a) \] es maximal en \[ B \] para todo \[ a \in A \]. Análogamente con los minimales.

Una vez hecho esto, 2 es bastante directo recordando que un orden tiene máximo si y solo si tiene un único maximal, y en este caso el máximo es el único maximal (lo mismo con mínimo y minimal).

Para 3, la idea es considerar para cada \[ a \in A \] el conjunto \[ \{ f(a) | f \in F \} \]. Como es un conjunto de naturales no vacío tiene un mínimo, digamos \[ g(a) \]. Comprueba que la función \[ g:A \to \Bbb N \] definida así es el ínfimo.