[nktclau]

Hola Gente, necesito , por favor, una ayuda con el siguiente problema.

El juego de la Quiniela consiste en apostar al primer puesto, con 3 cifras, en este sorteo. Si el apostador gana, por cada peso que apostó le pagan \( 700 \).

a) Calcular la esperanza del juego e indicar si es conveniente jugarlo.

Lo he pensado de la siguiente manera, el apostador elige un número de tres cifras, los cuales salen 1 a 1 de un bolillero, por lo tanto la selección de la unidad, decena y centena son sucesos independientes.

Supongamos el número es ABC Como los tres eventos son independientes y cada bolillero tiene 10 bolillas numeradas del 0 al 9 entonces la probabilidad que saque  los números ABC es de \( \displaystyle\frac{1}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{1}{729} \)

Por lo tanto hay probabilidad que gane: \( G \) tal que \( P(G)=\displaystyle\frac{1}{729} \) y \( P(\bar{G})=\displaystyle\frac{728}{729} \)

la esperanza del juego es \( E(G)=\displaystyle\frac{1}{729} \cdot 700 \cdot x \) siendo x la plata apostada.

b) Cuanto debería cobrarse por cada peso apostado para que el juego sea estadísticamente equitativo?

Aqui me perdí

Gracias!!

Saludos

[martiniano]

Hola.

El juego de la Quiniela consiste en apostar al primer puesto, con 3 cifras, en este sorteo. Si el apostador gana, por cada peso que apostó le pagan \( 700 \).

a) Calcular la esperanza del juego e indicar si es conveniente jugarlo.

Lo he pensado de la siguiente manera, el apostador elige un número de tres cifras, los cuales salen 1 a 1 de un bolillero, por lo tanto la selección de la unidad, decena y centena son sucesos independientes.

Supongamos el número es ABC Como los tres eventos son independientes y cada bolillero tiene 10 bolillas numeradas del 0 al 9 entonces la probabilidad que saque  los números ABC es de \( \displaystyle\frac{1}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{1}{729} \)

Por lo tanto hay probabilidad que gane: \( G \) tal que \( P(G)=\displaystyle\frac{1}{729} \) y \( P(\bar{G})=\displaystyle\frac{728}{729} \)

la esperanza del juego es \( E(G)=\displaystyle\frac{1}{729} \cdot 700 \cdot x \) siendo x la plata apostada.

No me queda claro si las bolas salen de un sólo bolillero con diez bolas, o bien cada cifra sale de un bolillero diferente. En el primer caso los sucesos no serían independientes, en el segundo sí. En cualquier caso, si los sucesos fuesen independientes, la probabilidad de que salga la bola elegida es, por la ley de Laplace \( 1/10 \), no \( 1/9 \), ya que hay 10 cifras posibles y 1 favorable, ¿no te parece?

b) Cuanto debería cobrarse por cada peso apostado para que el juego sea estadísticamente equitativo?

Aqui me perdí

Una vez aclarada las cuestiones anteriores, el apartado b) es sencillo. Simplemente, si la probabilidad es \( 1/k \), pues se deberá pagar \( k \) unidades monetarias por cada una apostada. Así, si calculas la esperanza como ya has intentado, ésta es recuperar lo que se apostó.

Un saludo.

[nktclau]

Hola martiniano MUCHAS GRACIAS por responder!

No me queda claro si las bolas salen de un sólo bolillero con diez bolas, o bien cada cifra sale de un bolillero diferente.

Bien, aclaro. Supongamos que apostamos al número 526

Para el sorteo hay 3 bolilleros, cada uno de ellos con 10 bolillas numeradas 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, también hay tres "niños cantores" cada uno parado al lado de un bolillero.

El primer niño "canta" la bolilla de la unidad. Es decir en este ejemplo (y con mucha suerte) 6

El segundo nño "canta" la bolilla de la decena: 2

El tercer niño "canta" la bolilla de la centena: 5

En cualquier caso ese es el sistema que usa la loteria de acá, donde vivo. Como no es dato del problema, también podría suponer, que la probabilidad que gane la loteria, es que saque un sólo número de 3 cifras de entre 1000 números, para ello entonces la agencia de loteria debería de disponer de un software, pues un bolillero con 1000 bolillas, mmm... se complica.



Entonces me inclino por el primer sistema. No entiendo a que se refiere "calcular la esperanza del juego", ¿se espera que se pague "tanto" al apostador ganador? ¿Se espera que tanto % de los apostadores ganen? o ¿ cuantos se esperan ganen la loteria?

Aqui es donde no supe como definir \( X \) para determinar las probabilidades y asi poder calcular a esperanza.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Bien, aclaro. Supongamos que apostamos al número 526

Para el sorteo hay 3 bolilleros, cada uno de ellos con 10 bolillas numeradas 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, también hay tres "niños cantores" cada uno parado al lado de un bolillero.

El primer niño "canta" la bolilla de la unidad. Es decir en este ejemplo (y con mucha suerte) 6

El segundo nño "canta" la bolilla de la decena: 2

El tercer niño "canta" la bolilla de la centena: 5

De acuerdo, entonces sí que son sucesos independientes. Aclarada esa cuestión. Pero sigo sin entender por qué has puesto \( 1/9 \) a la probabilidad de acertar una de las cifras. Yo pienso que es \( 1/10 \), pues de cada bolillero pueden salir 10 números diferentes y sólo nos favorece uno.

En cualquier caso ese es el sistema que usa la loteria de acá, donde vivo. Como no es dato del problema, también podría suponer, que la probabilidad que gane la loteria, es que saque un sólo número de 3 cifras de entre 1000 números, para ello entonces la agencia de loteria debería de disponer de un software, pues un bolillero con 1000 bolillas, mmm... se complica.

Bueno, no te creas. Por aquí creo que el sorteo de Navidad se hace con un número del 0 al 9999 en cada bola.

No entiendo a que se refiere "calcular la esperanza del juego", ¿se espera que se pague "tanto" al apostador ganador? ¿Se espera que tanto % de los apostadores ganen? o ¿ cuantos se esperan ganen la loteria?

Pero yo creo que esa parte la haces bien. Entiendo que es lo que se espera ganar por cada peso apostado. Supongamos que la probabilidad de ganar fuese \( 1/1000 \), entonces como te pagan \( 700 \) pesos por cada peso que hayas apostado al número ganador, pues lo que te piden es:

\( \displaystyle\frac{1}{1000}\cdot{700}=0.7 \)

En tal caso, para que el juego fuese justo, te deberían pagar \( 1000  \) pesos por cada peso apostado al número ganador. Así, si por ejemplo apuestas 1 peso a cada número, pues seguro que empatas. En cambio si haces lo mismo y sólo te pagan \( 700 \), pues seguro que pierdes \( 300  \) pesos.

Espero que esto te sirva. Un saludo.

[nktclau]

Hola Martiniano

De acuerdo, entonces sí que son sucesos independientes. Aclarada esa cuestión. Pero sigo sin entender por qué has puesto \( 1/9 \) a la probabilidad de acertar una de las cifras. Yo pienso que es \( 1/10 \), pues de cada bolillero pueden salir 10 números diferentes y sólo nos favorece uno.

Claro!!! tienes toda la razón  le erré ahí.

No entiendo a que se refiere "calcular la esperanza del juego", ¿se espera que se pague "tanto" al apostador ganador? ¿Se espera que tanto % de los apostadores ganen? o ¿ cuantos se esperan ganen la loteria?

Pero yo creo que esa parte la haces bien. Entiendo que es lo que se espera ganar por cada peso apostado. Supongamos que la probabilidad de ganar fuese \( 1/1000 \), entonces como te pagan \( 700 \) pesos por cada peso que hayas apostado al número ganador, pues lo que te piden es:

\( \displaystyle\frac{1}{1000}\cdot{700}=0.7 \)

En tal caso, para que el juego fuese justo, te deberían pagar \( 1000  \) pesos por cada peso apostado al número ganador. Así, si por ejemplo apuestas 1 peso a cada número, pues seguro que empatas. En cambio si haces lo mismo y sólo te pagan \( 700 \), pues seguro que pierdes \( 300  \) pesos.

Espero que esto te sirva. Un saludo.

MUCHÍSIMO, me ayudo MUCHÍSIMO tu aclaración MILLÓN DE GRACIAS!!

[TuringCompleto]

Veo mucho que se tiene en cuenta la esperanza para determinar si un juego es conveniente jugar, pero la varianza es importante también.