Resolución del ejercicio 1 por el método de substitución:\( y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x} \)
Realizamos el cambio de variable:
\( x=e^t \) \( dx=e^tdt \) \( y=\displaystyle\int_{}^{}t^2dt=\displaystyle\frac{t^3}{3}+Cte \)
y para deshacer el cambio de variable aplicamos la substitución inversa \( t=t^{-1}(x)=Ln(x) \), con lo que llegamos a la solución final:
\( \boxed{y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + Cte} \)
Resolución del ejercicio 1 por el método de composición:\( y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x} \)
Teniendo en cuenta que:
\( \displaystyle\frac{dx}{x}=d(Ln(x)) \)
resulta que:
\( y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}Ln^2(x)d(Ln(x))=\displaystyle\int_{}^{}u^2du=\displaystyle\frac{1}{3}u^3+Cte \)
que nos permite ya resolver directamente la integral por composición, obteniéndose, claro está, el mismo resultado que antes.
Quizás hay demasiadas "sutilezas" en todo esto, estoy completamente de acuerdo en el caso que nos ocupa, pero hay otras muchas integrales, y las veremos, donde no tener en cuenta este tipo de sutilezas puede llevarnos a errores garrafales.
Resolución del ejercicio 1 por partes (como producto) : También es posible usar integración por partes, ya que considerando que:
\( u=Ln^2(x) \) \( v=Ln(x) \)
resulta:
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)-2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx\qquad\longrightarrow{}\qquad 3\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x) \)
que nos conduce directamente a la solución.
Mañana os pongo algunas otras soluciones del resto de ejercicios, y comentamos la jugada.
Saludos, Jabato.
