Autor Tema: Teorías aritméticas como interpretaciones de AP

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29 Agosto, 2017, 01:51 pm
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geómetracat

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Hola,

En el apartado 3.4 del libro de lógica matemática de Carlos Ivorra se da la definición de teoría axiomática y se demuestra que las teorías axiomáticas son las que interpretan a AP. En la demostración de este hecho se afirma que es fácil ver que si \( T \) es una teoría aritmética entonces \( \vdash_T \bigwedge mn \in \mathbb{N} (m+n \in \mathbb{N}) \)  y esto se demuestra por inducción en \( T \).

No consigo ver cómo se demuestra esto en \( T \).  Me gustaría aplicar el principio de inducción a la fórmula \( \varphi(n,m) = m + n \in \mathbb{N} \) pero no puedo hacerlo porque esta fómula no es aritmética. ¿Cómo se demuestra esto?

Saludos y gracias de antemano
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

29 Agosto, 2017, 03:02 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Cuando dices "teoría axiomática" querrás decir "teoría aritmética".

Lo que pasa es que \( m+n\in \mathbb N \) es lógicamente equivalente a \( \bigvee k\in \mathbb N\ k = m+n \), que sí que es aritmética (o, más exactamente, lógicamente equivalente a una fórmula aritmética, expresando el particularizador en términos del generalizador).

La idea de fondo es que la definición de "fórmula aritmética" está pensada para que todas las afirmaciones sobre números naturales (y nada más que sobre números naturales) puedan expresarse mediante fórmulas aritméticas, y \( m+n\in \mathbb N \) no podía ser una excepción.

29 Agosto, 2017, 03:14 pm
Respuesta #2

geómetracat

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